普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案 81届.doc

1981年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一（本题满分6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A=有理数，B=无理数，试写出：1.AB, 2.AB.解：1.AB=实数,2.AB=二（本题满分8分）化简：解：原式=三（本题满分6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果解：1.选举种数P42=12（种）所有可能的选举结果：AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC2.选举种数C43=4（种）所有可能的选举结果：ABC、ABD、ACD、BCD四（本题满分10分）求函数f(x)=sinx+cosx在区间（-，）上的最大值解：五（本题满分10分）写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明答： B a D c E A C b证：引AD垂直BC于D;引BE垂直CA的延长线于E设ABC的面积为S，则将上式除以得：六（本题满10分）已知正方形ABCD的相对顶点A（0，-1）和C（2，5），求顶点B和D的坐标解：设AC中点为M（x,y）,则有又设AC斜率为k，则k=3因此得BD的斜率为故有直线BD的方程：又以M点为圆心，|MA|为半径的圆的方程为解方程（1）、（2）得B、D的坐标为（4，1）及（-2，3）（注：用复数法解亦可）七（本题满分17分）设1980年底我国人口以10亿计算（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？下列对数值可供选用：lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060解：1.所求人口数x（亿）是等比数列10,101.02,10（1.02）2，的第21项，即x=10（1.02）20,两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,x=14.859（亿)2设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10（1+y%)2012，（1+y%)201.2.根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)lg1.2.即 lg(1+y%)0.00396.1+y%1.0092,y%0.0092.答：略八（本题满分15分）ABCD-A1B1C1D1为一正四棱柱，过A、C、B1三点作一截面，求证：截面ACB1对角面DBB1D1 D1 C1 A1 B1 D C O A B证：设AC、BD交于O点作截面ACB1、对角面BB1D1D以及它们的交线OB1的图形由于AC1是正四棱柱，所以ABCD是正方形，故ACBD;又BB1底面ABCD，故BB1ACAC对角面BB1D1D已知AC在截面ACB1内，故有截面ACB1对角面BB1D1D九（本题满分18分）1设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长为，求k的值2以本题（1）得到的弦为底边，以x轴上的点P为顶点做成三角形当这三角形的面积为9时，求P的坐标 Y y=2x+k P2 y2=4x O X P1 解：设直线与抛物线的交点为P1（x1,y1),P2(x2,y2).解方程组：2设x轴上一点P的坐标为（,0）又点P到直线P1P2的距离为h，则有依题意得PP1P2的面积关系：