正余弦定理解三角形教案(13页).doc
-正余弦定理解三角形教案-第 13 页个性化教案教师姓名学生姓名填写时间学科数学年级上课时间 课题名称正余弦定理解三角形课时计划 教学目标1正、余弦定理解三角形2正、余弦定理判断三角形的形状以及计算三角形的面积3.正余弦定理的实际应用（灵活运用）教学重点难 点1掌握利用正、余弦定理解任意三角形的方法2正、余弦定理判断三角形的形状以及计算三角形的面积【知识梳理】1正弦定理：2R，其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形为：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin A，sin B，sin C等形式，以解决不同的三角形问题2余弦定理：a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理可以变形为：cos A，cos B，cos C.3SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.4.三角形内角和为，故有sin A >0 sin Asin(B+ C)，cos Acos(B+ C)5.三角形大边对大角，或者说大角对大边。即：若a>b, A> B,sin A> sin B 知一推二6.正弦值(不是1)的情况下，对应角度有两个，而余弦值与角度一一对应。【常考考点】1考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法2考查利用正、余弦定理判断三角形的形状以及计算三角形的面积3.正余弦定理的实际应用（灵活运用）【解题关键】1三角函数及三角恒等变换的基础2正弦定理、余弦定理实现边角互化。（通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的正确选择）3.能利用三角形的判定方法准确判断解三角形的情况。4.三角形的边角关系（大边对大角）、三角形内角和180度。5已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Aabsin Absin Aabababab解的个数无解一解两解一解一解无解【一条规律】在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，ABabsin Asin B.【两类问题】在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角【两种途径】根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换双基自测1(人教A版教材习题改编)在ABC中，A60°，B75°，a10，则c等于()A5 B10 C. D5解析由ABC180°，知C45°，由正弦定理得：，即.c.答案C2在ABC中，若，则B的值为()A30° B45° C60° D90°解析由正弦定理知：，sin Bcos B，B45°.答案B3(2011·郑州联考)在ABC中，a，b1，c2，则A等于()A30° B45° C60° D75°解析由余弦定理得：cos A，0A，A60°.答案C4在ABC中，a3，b2，cos C，则ABC的面积为()A3 B2 C4 D.解析cos C，0C，sin C，SABCabsin C×3×2×4.答案C5已知ABC三边满足a2b2c2ab，则此三角形的最大内角为_解析a2b2c2ab，cos C，故C150°为三角形的最大内角答案150°考点一利用正弦定理解三角形【例1】在ABC中，a，b，B45°.求角A，C和边c.审题视点 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断解由正弦定理得，sin A.ab，A60°或A120°.当A60°时，C180°45°60°75°，c；当A120°时，C180°45°120°15°，c. (1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意【训练1】 (2011·北京)在ABC中，若b5，B，tan A2，则sin A_；a_.解析因为ABC中，tan A2，所以A是锐角，且2，sin2Acos2A1，联立解得sin A，再由正弦定理得，代入数据解得a2.答案2考点二利用余弦定理解三角形【例2】在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且.(1)求角B的大小；(2)若b，ac4，求ABC的面积审题视点 由，利用余弦定理转化为边的关系求解解(1)由余弦定理知：cos B，cos C.将上式代入得：·，整理得：a2c2b2ac.cos B.B为三角形的内角，B.(2)将b，ac4，B代入b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac2accos B，13162ac，ac3.SABCacsin B. (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用【训练2】已知A，B，C为ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2 cos A0.(1)求角A的值；(2)若a2，bc4，求ABC的面积解(1)由2cos2 cos A0，得1cos Acos A0，即cos A，0A，A.(2)由余弦定理得，a2b2c22bccos A，A，则a2(bc)2bc，又a2，bc4，有1242bc，则bc4，故SABCbcsin A.考点三利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，试判断ABC的形状审题视点 首先边化角或角化边，再整理化简即可判断解由已知(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，得b2sin(AB)sin Ca2sin Csin(AB)，即b2sin Acos Ba2cos Asin B，即sin2Bsin Acos Bsin2Acos Bsin B，所以sin 2Bsin 2A，由于A，B是三角形的内角故02A2，02B2.故只可能2A2B或2A2B，即AB或AB.故ABC为等腰三角形或直角三角形 判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系【训练3】 在ABC中，若；则ABC是()A直角三角形 B等边三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形解析由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(R为ABC外接圆半径).即tan Atan Btan C，ABC.答案B考点四正、余弦定理的综合应用【例3】在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c2，C.(1)若ABC的面积等于，求a，b；(2)若sin Csin(BA)2sin 2A，求ABC的面积审题视点 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a，b的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sin Csin(BA)2sin 2A进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a，b的值即可解决问题解(1)由余弦定理及已知条件，得a2b2ab4.又因为ABC的面积等于，所以absin C，得ab4，联立方程组解得(2)由题意，得sin(BA)sin(BA)4sin Acos A，即sin Bcos A2sin Acos A.当cos A0，即A时，B，a，b；当cos A0时，得sin B2sin A，由正弦定理，得b2a.联立方程组解得所以ABC的面积Sa bsin C. 正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题【训练3】 (2011·北京西城一模)设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos B，b2.(1)当A30°时，求a的值；(2)当ABC的面积为3时，求ac的值解(1)因为cos B，所以sin B.由正弦定理，可得，所以a.(2)因为ABC的面积Sac·sin B，sin B，所以ac3，ac10.由余弦定理得b2a2c22accos B，得4a2c2aca2c216，即a2c220.所以(ac)22ac20，(ac)240.所以ac2.阅卷报告4忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】 考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件.,【防范措施】 解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.【示例】(2011·安徽)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a，b，12cos(BC)0，求边BC上的高错因忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根实录由12cos(BC)0，知cos A，A，根据正弦定理得：sin B，B或.以下解答过程略正解在ABC中，cos(BC)cos A，12cos(BC)12cos A0，A.在ABC中，根据正弦定理，sin B.ab，B，C(AB).sin Csin(BA)sin Bcos Acos Bsin A××.BC边上的高为bsin C×.【试一试】ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin Bbcos2 Aa.(1)求；(2)若c2b2a2，求B.尝试解答(1)由正弦定理得，sin2Asin Bsin Bcos2Asin A，即sin B(sin2Acos2A)sin A.故sin Bsin A，所以.(2)由余弦定理和c2b2a2，得cos B.由(1)知b22a2，故c2(2)a2.可得cos2B，又cos B0，故cos B，所以B45°.【巩固练习】1 在锐角中，角所对的边长分别为.若（）A. B. C. D.2 设ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则ABC的形状为（）A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D不确定3 在,内角所对的边长分别为（）ABCD 4 的内角的对边分别为，已知，则的面积为（ ）（A） （B） （C） （D）5.的内角的对边分别是,若,则（）AB2CD16设的内角所对边的长分别为,若,则角=（）ABCD7已知锐角的内角的对边分别为,则（）ABCD8.在ABC中,则（）ABCD19.已知的内角、所对的边分别是,.若,则角的大小是_10设的内角的对边分别为,.(I)求(II)若,求11.在ABC中, 内角A, B, C所对的边分别是a, b, c. 已知, a = 3, . () 求b的值; () 求的值. 12在锐角ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=b .()求角A的大小;() 若a=6,b+c=8,求ABC的面积.13.(本小题满分13分,()小问4分,()小问9分)在中,内角、的对边分别是、,且. a2b2c2+bc()求;()设,为的面积,求的最大值,并指出此时的值.14.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.(1)求证:a,b,c成等差数列;(2) 若C=,求的值.15.在中,角,对应的边分别是,. 已知.()求角A的大小; ()若的面积,求的值.
