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-矩阵单元综合测试题-第 8 页矩阵单元综合测试题 一、填空题（每小题1分，满分14分）1设A，B是数域F上的两个矩阵，如果A与B能够相加，则A与B必是同型矩阵。2.设A,B,C为n阶方阵且可逆，则当AB=C时，B=.5.三阶初等矩阵是。6.设A是数域F上的n阶方阵，则f(A)是数域F上的n阶方阵，且.7.若A为对合矩阵（即），则A 一定可逆，且8.若A的秩为r,则A的标准型为。9.若10.设A是n阶矩阵，则A可逆的充要条件r(A)=n、或 或 或A可以表示成一些初等矩阵的乘积。11设。12设。13如果向量组线性无关，那么它的任意一个非空部分组线性 无关；如果中有一部分向量线性相关，那么整个向量组线性相关。14.设向量组线性无关，向量组可由向量组线性表出，且则向量组线性无关。二、判断题（每小题1分，满分14分）1.若方阵A对任意的同阶方阵B都有AB=B，则必有A=I。（）2.设 （×）4.若AB=AC，且A0，则B=C。 （×）5.上（下）三角矩阵可逆的充要条件是它的所有主对角线上的元素都是非零数。 （）6.可逆的对称矩阵的逆矩阵仍是对称矩阵。 （）7.设是第三类初等矩阵，则有 （）8.若r(A)=r,则A至少有一个r-1阶子式不等于零。 （）9.AB=B的充要条件是A=I。 （×）10.对于分块矩阵，必有r(C)=r(A)+r(B). ()11.若 A+B与 A-B均可逆，则A，B一定可逆。 （×）12. 可逆矩阵与不可逆矩阵之和必为不可逆矩阵。 （×）13.设向量组线性无关，则组 的秩为3. （）14.设如果线性相关，则线性相关。（）三、单项选择题（每小题2分，满分24分）1.下列结论正确的是（ C ）（A）两个矩阵可相加一定可乘；(B）两个矩阵可乘一定可相加；（C）两个矩阵既可相加又可相乘，这两个矩阵一定是方阵；（D）在中可普遍施行矩阵的加法和乘法。2以下结论正确的只有（ B ）（A）初等矩阵的逆矩阵是本身； （B）初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩阵；（C）初等矩阵的乘积仍是初等矩阵；（D）任一个n阶矩阵都可以写成初等矩阵的乘积形式。3下列结论不正确的是（ D ）（A）n阶矩阵M可逆的充要条件是；（B）n阶矩阵M可逆的充要条件是存在可逆矩阵P使得MP=I；（C）n阶矩阵M可逆的充要条件是它可以表成初等矩阵的乘积；（）n阶矩阵M可逆的充要条件是它可以表成初等矩阵的和。设，均为上的可逆矩阵，则（B）矩阵的伴随矩阵是（A）（A）； （B）；（C）； （D）6设A，B为n阶矩阵，且A可逆，秩B=r<n,且秩（AB）=k,则有（ C ）（A）k<r; (B) kr; (C) k=r; (D) r<k<n.7.已知n阶方阵等于零的元素个数多于个（位置不论），则必有（ C ）（A）r(A)=0; (B) r(A)=n-1; (C) r(A)<n; (D) r(A)可能等于n.8.设A，B是任意n阶方阵，则（ D ）（A）r(AB)=maxr(A),r(B); (B) r(AB)=minr(A),r(B);(C) r(AB)=r(BA) (D) 以上三个结论都不正确。9设3阶方阵A的行列式的伴随矩阵，则（A）0； （B） -3； （C） ； （D） ；10设3阶方阵；11. 设向量组线性无关，向量可由线性表示，而不能由线性表示，则对于任意常数k,必有（A）。（A）线性无关；（B）线性相关；（C）线性无关；（D）线性相关。12.以下各向量组中线性无关的向量组为（A）(A) (2,-3,4,1),(5,2,7,1),(-1,-3,5,5)(B) (12,0,2),(1,1,1),(3,2,1),(4,78,16)(C) (2,3,1,4),(3,1,2,4),(0,0,0,0)(D) (1,2,-3,1),(3,6,-9,3),(3,0,7,7)四、计算下列各题（每小题4分，满分20分）1已知解 设2试将矩阵表为对称矩阵与反对称矩阵之和。解 令，则B，C为所求。3已知4解矩阵方程 。5.求以下向量组的一个极大无关组和向量组的秩。解 将向量组组成以下矩阵，对A进行初等行变换，化为阶梯型矩阵为，由于矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量的线性关系，而矩阵B的1，2，3，4列向量线性无关，所以是所给向量组的一个极大无关组，所以其秩为4.五、证明下列各题（本题满分21分）1设A，B都是n阶矩阵，证明：若AB可逆，则A和B都可逆。（5分）证明 因为AB可逆，所以，所以A和B都可逆。2设A，B为同阶反对称矩阵，证明：AB+BA为对称矩阵，AB-BA为反对称矩阵。（5分）所以AB+BA为对称矩阵，AB-BA为反对称矩阵。3设方阵A适合，证明A可逆。（5分）4.设向量可由向量组线性表出，但不能由线性表出，证明可由，线性表出。（6分）证明 假设不能由，线性表出，由已知向量可由向量组线性表出，不妨设为 由于不能由，线性表出，显然可得于是有，即可由向量组线性表出，这与已知条件矛盾，于是可由，线性表出。
