高中数学立体几何大题专项突破(15页).doc

-高中数学立体几何大题专项突破-第 15 页高中数学立体几何大题专项突破 1.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，BADFAB90°，BC/AD，BE/FA，G、H分别为FA、FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？2.如图，在三棱锥PABC中，PAPBAB2，BC3，ABC90°，平面PAB平面ABC，D，E分别为AB，AC中点（）求证：DE面PBC；（）求证：ABPE；（）求三棱锥BPEC的体积3. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线EG平面BDD1B1；(2)平面EFG平面BDD1B1.4.如图，P、Q、R分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1，BB1，DD1上的三点，试作出过P，Q，R三点的截面图5.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12.求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)EG与HF的交点在直线AC上6.如图(1)，在RtABC中，C90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图(2)(1)求证：DE平面A1CB.(2)求证：A1FBE.(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由7.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.8.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P­ABCD中，ADBC，ABC90°，PA平面ABCD，ACBDE，AD2，AB2，BC6.求证：平面PBD平面PAC.9.在长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是AB、CD、A1B1、C1D1的中点求证：平面A1EFD1平面BCF1E1.10.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点求证：（1）E，C，D1，F四点共面；（2）CE，D1F，DA三线共点11. 如图所示，平面平面，点A，C，点B，D，点E、F分别在线段AB、CD上，且AEEBCFFD.求证：EF，EF.12.如图，平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D均在平行四边形ABCD所确定的平面外且在平面的同一侧，AA、BB、CC、DD互相平行求证：四边形ABCD是平行四边形13.如图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为正方形，E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点，(1)求证：EF平面ABCD；(2)设M为线段C1C的中点，当的比值为多少时，DF平面D1MB？并说明理由14.在四面体ABCD中，ABCD，BCAD2，BDAC5，求四面体ABCD的体积15.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P­ABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中点(1)求证：ACPB；(2)求证：PB平面AEC；(3)求二面角E­AC­B的大小16.如图，已知平面l，点A，点B，点C，且Al，Bl，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面的交线与l有什么关系？证明你的结论17.如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，E，F分别是AB、PD的中点（）求证：AF平面PCE；（）求证：平面PCE平面PCD；（）求二面角FECD的大小18.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点求证：CF平面EAB.19.如图，已知AB平面BCD，BCCD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？20.如图，A，B，C，D四点都在平面a，b外，它们在a内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在b内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形21.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO?22.如图所示，在正方体A1B1C1D1­ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交求证：EFBD123.把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1：4，母线长10cm求：圆锥的母线长24.在四棱柱PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABCD，ABC90°，ABPBPCBC2CD2，平面PBC平面ABCD（1）求证：AB平面PBC；（2）求三棱锥CADP的体积；（3）在棱PB上是否存在点M使CM平面PAD？若存在，求的值若不存在，请说明理由答案解析1.【答案】(1)证明由已知FGGA，FHHD，可得GH/AD.又BC/AD，GH/BC，四边形BCHG为平行四边形(2)由BE/AF，G为FA的中点知，BE/FG，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BG/CH，EFCH，EF与CH共面又DFH，C、D、F、E四点共面【解析】2.【答案】解：（I）ABC中，D、E分别为AB、AC中点，DEBCDE面PBC且BC面PBC，DE面PBC；（II）连结PDPAPB，D为AB中点，PDABDEBC，BCAB，DEAB，又PD、DE是平面PDE内的相交直线，AB平面PDEPE平面PDE，ABPE；（III）PDAB，平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCABPD平面ABC，可得PD是三棱锥PBEC的高又PD，SBECSABC.三棱锥BPEC的体积VVPBECSBEC×PD.【解析】3.【答案】证明(1)如图，连接SB，E、G分别是BC、SC的中点，EGSB.又SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，直线EG平面BDD1B1.(2)连接SD，F、G分别是DC、SC的中点，FGSD.又SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，且EG平面EFG，FG平面EFG，EGFGG，平面EFG平面BDD1B1.【解析】4.【答案】作法：（1）连接PQ，并延长之交A1B1的延长线于T；（2）连接PR，并延长之交A1D1的延长线于S；（3）连接ST交C1D1、B1C1分别于M，N，则线段MN为平面PQR与面A1B1C1D1的交线（4）连接RM，QN，则线段RM，QN分别是平面PQR与面DCC1D1，面BCC1B1的交线得到的五边形PQNMR即为所求的截面图（如图）【解析】5.【答案】证明(1)BGGCDHHC，GHBD.E，F分别为AB，AD的中点，EFBD，EFGH，E，F，G，H四点共面(2)G，H不是BC，CD的中点，EFGH，且EFGH，故EFHG为梯形EG与FH必相交，设交点为M，EG平面ABC，FH平面ACD，M平面ABC，且M平面ACD，MAC，即GE与HF的交点在直线AC上【解析】6.【答案】(1)证明因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DEBC.又因为DE平面A1CB，所以DE平面A1CB.(2)证明由已知得ACBC且DEBC，所以DEAC.所以DEA1D，DECD.所以DE平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因为A1FCD，所以A1F平面BCDE，所以A1FBE.(3)解线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBC.又因为DEBC，所以DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE平面A1DC，所以DEA1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1CDP.所以A1C平面DEP.从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ.【解析】7.【答案】(1)64(2)4024【解析】由已知可得该几何体是一个底面为矩形、高为4、顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V­ABCD.(1)V×(8×6)×464.(2)该四棱锥有两个侧面VAD，VBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为h14，另两个侧面VAB，VCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高为h25.因此S240248.【答案】证明PA平面ABCD，BD平面ABCD，BDPA.又tanABD，tanBAC，ABD30°，BAC60°，AEB90°，即BDAC.又PAACA，BD平面PAC.BD平面PBD，平面PBD平面PAC.【解析】9.【答案】证明E、E1分别是AB、A1B1的中点，A1E1BE且A1E1BE.四边形A1EBE1为平行四边形A1EBE1.A1E平面BCF1E1，BE1平面BCF1E1.A1E平面BCF1E1.同理A1D1平面BCF1E1，A1EA1D1A1，平面A1EFD1平面BCF1E1.【解析】10.【答案】证明：（1）连接EF，A1B，D1C，E，F分别是AB，AA1的中点，EFA1B，A1BD1C，EFD1C，由两条平行线确定一个平面，得到E，C，D1，F四点共面（2）分别延长D1F，DA，交于点P，PDA，DA面ABCD，P面ABCDF是AA1的中点，FAD1D，A是DP的中点，连接CP，ABDC，CPAB=E，CE，D1F，DA三线共点于P【解析】11.【答案】证明当AB，CD在同一平面内时，由，平面ABDCAC，平面ABDCBD，ACBD，AEEBCFFD，EFBD，又EF，BD，EF.当AB与CD异面时，设平面ACDl，在l上取一点H，使DHAC.，平面ACDHAC，ACDH，四边形ACDH是平行四边形在AH上取一点G，使AGGHCFFD，又AEEBCFFD，GFHD，EGBH，又EGGFG，BHHDH，平面EFG平面.EF平面EFG，EF.综上，EF.，EF且EF，EF.【解析】12.【答案】证明AABBCCDD，BB平面AADD，AA平面AADD，BB平面AADD.四边形ABCD是平行四边形，BCAD.BC平面AADD，AD平面AADD，BC平面AADD.又BBBCB，BB平面BBCC，BC平面BBCC，平面AADD平面BBCC.平面AADD平面ABCDAD，平面BBCC平面ABCDBC，ADBC.同理ABDC，四边形ABCD是平行四边形【解析】13.【答案】(1)证明E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点，EFAB.EF平面ABCD，AB平面ABCD，EF平面ABCD.(2)当时，DF平面D1MB.ABCD是正方形，ACBD.D1D平面ABC，D1DAC.AC平面BB1D1D，ACDF.F，M分别是BD1，CC1的中点，FMAC.DFFM.D1DAD，D1DBD.矩形D1DBB1为正方形F为BD1的中点，DFBD1.FMBD1F，DF平面D1MB.【解析】14.【答案】8【解析】以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，则VD­ABEDE·SABEV长方体，同理VC­ABFVD­ACGVD­BCHV长方体，V四面体ABCDV长方体4×V长方体V长方体而V长方体2×3×424，V四面体ABCD8.15.【答案】(1)证明由PA平面ABCD可得PAAC.又ABAC，所以AC平面PAB，所以ACPB.(2)证明如图，连接BD交AC于点O，连接EO，则EO是PDB的中位线，EOPB.又EO平面AEC，PB平面AEC，PB平面AEC.(3)解如图，取AD的中点F，连接EF，FO，则EF是PAD的中位线，EFPA.又PA平面ABCD，EF平面ABCD.同理，FO是ADC的中位线，FOAB，FOAC.因此，EOF是二面角E­AC­D的平面角又FOABPAEF，EOF45°.而二面角E­AC­B与二面角E­AC­D互补，故所求二面角E­AC­B的大小为135°.【解析】16.【答案】平面ABC与的交线与l相交证明如下：AB与l不平行，且AB，l，AB与l一定相交设ABlP，则PAB，Pl.又AB平面ABC，l，P平面ABC，P.点P是平面ABC与的一个公共点，而点C也是平面ABC与的一个公共点，且P，C是不同的两点，直线PC就是平面ABC与的交线，即平面ABCPC，而PClP，平面ABC与的交线与l相交【解析】17.【答案】解：（）证明：设G为PC的中点，连接FG，EG，F为PD的中点，E为AB的中点，FGCD，AECDFGAE，AFGEGE平面PEC，AF平面PCE；（）证明：PA=AD=2，AFPD又PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD，ADCD，PAAD=A，CD平面PAD，AF平面PAD，AFCDPDCD=D，AF平面PCD，GE平面PCD，GE平面PEC，平面PCE平面PCD；（）取AD的中点M，连接FM，EM，MC，因为F是PD的中点；FMPA；FM平面ABCD；ECFM 在三角形EMC中，因为MC=；ME=；EC=；MC2=ME2+EC2；EMEC ；由得EC平面FME，ECFE，即FEM为二面角FECD的平面角，而tanFEM=；FEM=30°故二面角FECD为30°【解析】18.【答案】证明在平面B1BCC1中，E、F分别是B1C1、B1B的中点，BB1ECBF，B1BEBCF，BCFEBC90°，CFBE，又AB平面B1BCC1，CF平面B1BCC1，ABCF，又ABBEB，CF平面EAB.【解析】19.【答案】面ABC面BCD，面ABD面BCD，面ACD面ABC【解析】面ABC面BCD，面ABD面BCD，面ACD面ABC.由于AB平面BCD，AB面ABC，所以面ABC面BCD；由于AB面ABD，所以面ABD面BCD；由于BCCD，也易知ABCD，又ABBCB，所以CD面ABC，CD面ACD，所以面ACD面ABC.20.【答案】证明：A，B，C，D四点在b内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，A，B，C，D四点共面又A，B，C，D四点在a内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，平面ABB1A1平面CDD1C1AB，CD是平面ABCD与平面ABB1A1，平面CDD1C1的交线ABCD同理ADBC四边形ABCD是平行四边形【解析】21.【答案】当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO.理由如下：Q为CC1的中点，P为DD1的中点，连接PQ，则PQDCAB，四边形PABQ为平行四边形，QBPA.P，O分别为DD1，DB的中点，D1BPO.而PO平面PAO，PA平面PAO，D1B平面PAO，QB平面PAO.又D1BQBB，平面D1BQ平面PAO.【解析】22.【答案】证明如图所示：连接AB1，B1D1，B1C1，BD.DD1平面ABCD，AC平面ABCD，DD1AC.又ACBD，DD1BDD，AC平面BDD1B1.又BD1平面BDD1B1，ACBD1.同理可证BD1B1C.又B1CACC，BD1平面AB1C.EFAC，EFA1D，又A1DB1C，EFB1C.又ACB1CC，EF平面AB1C，EFBD1.【解析】23.【答案】解：设圆锥的母线长为l，圆台上、下底半径为r，R【解析】24.【答案】（1）证明：因为ABC90°，所以ABBC因为平面PBC平面ABCD，平面PBC平面ABCDBC，AB平面ABCD，所以AB平面PBC；（2）解：取BC的中点O，连接POPBPC，POBC平面PBC平面ABCD，平面PBC平面ABCDBCPO平面ABCD，在等边三角形PBC中，PO（3）解：在棱PB上存在点M使得CM平面PAD，此时理由如下：取AB的中点N，连接CM，CN，MN，则MNPA，ANAB因为AB2CD，所以ANCD因为ABCD，所以四边形ANCD是平行四边形所以CNAD因为MNCNN，PAADA，所以平面MNC平面PAD因为CM平面MNC，所以CM平面PAD【解析】