2022年高考数学一轮复习-第章-函数导数及其应用-第节-导数与函数的单调性 .docx

精品_精品资料_第十一节导数与函数的单调性 考纲 明白函数的单调性与导数的关系.能利用导数争论函数的单调性,会求函数的单调区间 其中多项式函数不超过三次 对应同学用书第 32 页 基础学问填充 函数的导数与单调性的关系函数 y f x 在某个区间内可导,就(1) 假设 f x 0,就 f x 在这个区间内是增加的.(2) 假设 f x 0,就 f x 在这个区间内是削减的.(3) 假设 f x 0,就 f x 在这个区间内是常数函数 学问拓展 1. 在某区间内f x>0 f x<0 是函数 f x 在此区间上为增 减 函数的充分不必要条件2. 可导函数f x 在 a, b 上是增 减 函数的充要条件是：对任意x a, b ,都有f x 0 f x 0 ,且 f x 在 a, b 的任何子区间内都不恒为零 基本才能自测 1. 摸索辨析 判定以下结论的正误 正确的打“”,错误的打“×”(1) 假设函数 f x 在区间 a,b 上单调递增, 那么在区间 a,b 上肯定有 f x>0.(2) 假如函数在某个区间内恒有f x 0,就函数 f x 在此区间上没有单调性 (3) f x 0 是 f x 为增函数的充要条件 答案 1 ×2 3 ×2. f x x36x2 的单调递减区间为A 0,4B 0,2C 4 ,D , 0A f x 3x2 12x 3x x4 ,由 f x<0 ,得 0<x<4,递减区间为 0,4 3. 教材改编 如图 2-11-1所示是函数 f x 的导函数 f x 的图像,就以下判定中正确的选项是 【导学号： 00090063】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图 2-11-1A. 函数 f x 在区间 3,0 上是削减的B. 函数 f x 在区间 1,3上是削减的C. 函数 f x 在区间 0,2上是削减的D. 函数 f x 在区间 3,4上是增加的A 当 x 3,0 时,f x 0,就 f x 在 3,0 上是减函数 其他判定均不正确 42022 ·陕西高考 设 f x x sinx,就 f x A既是奇函数又是减函数B既是奇函数又是增函数C是有零点的减函数 D是没有零点的奇函数B 由于 f x 1 cos x 0,所以函数为增函数,排除选项A 和 C又由于 f 0 0 sin 00,所以函数存在零点,排除选项D,应选 B52022 ·浙江高考 函数 y f x 的导函数 yf x 的图像如图 2-11-2所示,就函数 y f x 的图像可能是 图 2-11-2D 观看导函数f x 的图像可知, f x 的函数值从左到右依次为小于0,大于 0, 小于 0,大于 0,对应函数 f x 的增减性从左到右依次为减、增、减、增 观看选项可知,排除A、C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如下图, f x 有 3 个零点,从左到右依次设为x1, x2, x3,且 x1, x3 是微小值点, x2是极大值点,且 x2>0,应选项 D 正确应选 D 对应同学用书第 32 页2判定或证明函数的单调性已知函数 f x lnx ax 2 a x. 争论 f x 的单调性 解f x 的定义域为 0 , 1f x x 2ax 2 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x 1xax 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 a0,就 f x 0.所以 f x 在0 , 上单调递增1假设 a 0,就由 f x 0,得 x a,1且当 x 0, a 时, f x 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x1a, 时, f x 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1所以 f x 在 0,a 上单调递增,1在 , 上单调递减a综上所述,当 a0时,函数 f x 在0 , 上单调递增.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a0 时,函数 f x 在 0, 1a上单调递增,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1在 a, 上单调递减 规律方法 用导数证明函数 f x 在 a, b 内的单调性的步骤一求：求 f x .二定：确认 f x 在 a,b 内的符号.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三结论：作出结论： f x 0 时为增函数. f x 0 时为减函数易错警示： 争论含参数函数的单调性时,需留意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类争论21ex 变式训练 12022 ·四川高考节选 设函数 f x ax aln x, g x ex,其中 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解1 由题意得 f x 2ax1R,1e2.718 为自然对数的底数争论 f x 的单调性.2证明：当 x>1 时, g x>0.【导学号： 00090064】2x2ax 1xx>0.2 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a0时, f x<0 , f x 在 0 , 内单调递减1当 a>0 时,由 f x 0 有 x,2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x 0,112a 时, f x<0 , f x 单调递减.5 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x2a, 时, f x>0 , f x 单调递增 .7 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 证明：令 s x ex 1x,就 sx x1e 1.9 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x>1 时, sx>0 ,所以 ex 1>x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1从而 g x x1x 1>0.12 分e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求函数的单调区间 2022 ·天津高考节选 设函数 f xx3ax b, x R,其中 a, b R. 求 f x 的单调区间23 解由 f x x ax b,可得 f x 3x A下面分两种情形争论：2当 a0时,有 f x 3x a0恒成立,所以 f x 的单调递增区间为 , .5 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a 0 时,令 f x 0,解得 x3a3a3或 x3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x 变化时, f x , f x 的变化情形如下表：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x,3a3a 333a3a3a 3, 333a3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x单调递增极大值单调递减微小值单调递增所 以 f x 的 单 调 递 减 区 间 为 3a3,3a3, 单 调 递 增 区 间 为 ,3a3,3a3,.12 分 规律方法 求函数单调区间的步骤：1 确定函数 f x 的定义域.2 求 f x .(3) 在定义域内解不等式(4) 在定义域内解不等式f x 0,得单调递增区间.f x 0,得单调递减区间 变式训练 2已知函数 f x x 2xe , x R,e 为自然对数的底数,就函数2xf x 的单调递增区间为 2,2 由于 f x x 2xe ,2x所以 f x 2x 2e x 2xe x 2e .令 f x 0,即 x 2e 0,x2x2x2x由于 e 0,所以 x 2 0,解得2 xx22,所以函数 f x 的单调递增区间为 2,2 已知函数的单调性求参数已知函数 f x x axf x 在 R上为增函数,求实数3a 的取值范畴 解由于 f x 在 , 上是增函数,222所以 f x 3x a0在 , 上恒成立, 即 a3x 对 x R 恒成立由于 3x 0,所以只需a0.23又由于 a 0 时, f x 3x 0, f x x 1 在 R 上是增函数,所以a0,即实数 a的取值范畴为 , 0 母题探究 1 变换条件 函数 f x 不变,假设 f x 在区间 1 , 上为增函数,求a 的取值范畴 解由于 f x 3x2 a,且 f x 在区间 1 , 上为增函数,所以f x 0 在21 , 上恒成立,即3x a0在1 , 上恒成立,2所以 a 3x 在1 , 上恒成立,所以a3,即 a 的取值范畴为 , 3 母题探究 2 变换条件 函数 f x 不变,假设 f x 在区间 1,1 上为减函数,试求 a 的取值范畴22 解由 f x 3x a0在 1,1 上恒成立,得 a3x 在 1,1 上恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 1 x 1,所以 3x2 3,所以 aa 的取值范畴为 3 , 时, f x 在 1,1 上为减函数2 母题探究 3 变换条件 函数 f x 不变,假设 f x 在区间 1,1 上不单调,求 a 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 解 f x xax 1, f x 3x A由 f x 0,得 x±3a3 a0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x 在区间 1,1 上不单调, 03a3 1,得 0 a 3,即 a 的取值范畴为 0,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 规律方法 依据函数单调性求参数的一般方法(1) 利用集合间的包含关系处理：y f x 在 a, b 上单调,就区间 a,b 是相应单调区间的子集(2) 转化为不等式的恒成立问题,即“假设函数单调递增,就f x 0.假设函数单调递减,就 f x 0”来求解易错警示： 1 f x 为增函数的充要条件是对任意的x a,b 都有 f x 0,且在 a, b 内的任一非空子区间上f x 不恒为 0. 应留意此时式子中的等号不能省略,否就漏解3a2 函数在其区间上不具有单调性,但可在子区间上具有单调性,如迁移 3 中利用了 3 0,1来求解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 变式训练 3已知函数 f x lnx,g x 12ax 2x a0 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 假设函数 h x f x g x 在1,4上是削减的,求 a 的取值范畴.(2) 假设函数 h x f x g x 存在单调递减区间,求a 的取值范畴 .【导学号： 00090065】12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解1 h x lnx1ax 2x, x0 , , 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 hx x ax 2,由 h x 在1,4上是削减的得,1当 x1,4时, hx x ax20恒成立,1212即 ax2x恒成立令 G x x2 x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 a G x max,而 G x 1x 12 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1由于 x 1,4,所以 x1, 1 ,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 G x max 16 此时 x 4 ,7所以 a 16,即 a 的取值范畴是77 16, .2 hx xax 2,由于 h x 在0 , 上存在单调递减区间,1所以当 x 0 , 时, x ax 2 0 有解,1即 ax2x有解12设 G x x2 x,所以只要12a G x min 即可而 G x x 11,所以 G x min 1.12所以 a 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载