2022年高考数学专题函数的定义域值域的求法-备战高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展.docx

精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -专题 04函数的定义域、值域的求法【热点聚焦与扩展】函数的定义域作为函数的要素之一,是争论函数的基础,也是高考的热点 . 函数的值域也是高考中的一个重要考点,并且值域问题通常会渗透在各类题目之中,成为解题过程的一部分 . 所以在把握定义域求法的基础上,把握一些求值域的基本方法,当需要求函数的取值范畴时便可抓住解析式的特点,查找对应的方法淡定解决.（一）函数的定义域1. 求函数定义域的主要依据是：分式的分母不能为零.偶次方根的被开方式其值非负.对数式中真数大于零,底数大于零且不等于1.2. 如 yfx 的定义域为a, b ,就不等式agxb 的解集即为函数yfgx的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 yfgx的定义域为a,b ,就函数gx 在a,b 上的的值域即为函数yfx的定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题,应依据已知条件精确找出利用哪一段求解 .4. 与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式,这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范畴.其次类是实际问题或几何问题,此时除要考虑解析式有意义外,仍应考虑使实际问题或几何问题有意义.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第三类是不给出函数的解析式,而由f x的定义域确定函数f g x 的定义域或由f g x 的定义域确定函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x 的定义域第四类是已知函数的定义域,求参数范畴问题,常转化为恒成立问题来解决（二）函数的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 利用函数的单调性: 如f x 是 a,b 上的单调增 减 函数 , 就f a ,f b 分别是f x 在区间 a,b 上取得最小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 大 值, 最大 小 值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 利用配方法 : 形如yax 2bxc a0 型, 用此 种方法 , 留意自变量x 的范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 利用三角函数的有界性, 如 sin x1,1, cos x1,1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 利用“分别常数” 法: 形如 y=axb或 yax 2bxea, c 至少有一个不为零 的函数 , 求其值域可用此法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cxdcxd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_axbycxd：换元分别常数反比例函数模型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ax2ybxc：换元分别常数yxa 模型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dxeydxe：同时除以分子：yx1的模型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ax2bxcax2bxc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dxe可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ax2ydx2bxc ：分别常数的模型exf可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_共同点：让分式的分子变为常数5. 利用换元法 :在高中阶段,与指对数,三角函数相关的常见的复合函数分为两种：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xya, ylog afx, ysinfx：此类问题通常以指对,三角作为主要结构,在求值域时可先确可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定 fx 的范畴,再求出函数的范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yfa x, yflog a x, yfsin x：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项,所以可利用换元将可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析式转为 y f t 的形式,然后求值域即可 .形如 y ax b cx d 型, 可用此法求其值域 .6. 利用基本不等式法 :7. 导数法 : 利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值 , 然后求出值域8. 分段函数的函数值时,应依据所给自变量值的大小挑选相应的解析式求解,有时每段交替使用求值如给出函数值或函数值的范畴求自变量值或自变量的取值范畴,应依据每一段的解析式分别求解,但要留意检验所求自变量值域范畴是否符合相应段的自变量的取值范畴数形结合法也可很便利的运算值域 .9. 由判别式法来判定函数的值域时,如原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除 .10. 数形结合法：即作出函数的图象,通过观看曲线所掩盖函数值的区域确定值域,以下函数常会考虑进行数形结合 .（ 1） fx 的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值,此时需将多个函数作于同一坐标系中,然后确定靠下（或靠上）的部分为该fx函数的图象,从而利用图象求得函数的值域.（ 2）函数的解析式具备肯定的几何含义,需作图并与解析几何中的相关学问进行联系,数形结合求得值域,如：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -分式直线的斜率.被开方数为平方和的根式两点间距离公式.（三）常见函数的值域：在处理常见函数的值域时,通常可以通过数形结合,利用函数图像将值域解出,娴熟处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.（ 1）一次函数（ykxb ）：一次函数为单调函数,图像为一条直线,所以可利用边界点来确定值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）二次函数（yax2bxc ）,给定区间 . 二次函数的图像为抛物线,通常可进行配方确定函数的对称轴,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_然后利用图像进行求解. （关键点：抛物线开口方向,顶点是否在区间内）.1（ 3）反比例函数：yx（ 1）图像关于原点中心对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）当 x, y0,当 x, y0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）对勾函数：yxaa0 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析式特点：x 的系数为1. a0注：由于此类函数的值域与a 相关,求 a 的值时要先保证x 的系数为 1 ,再去确定 a 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： y2 x4,并不能直接确定ax4 ,而是先要变形为y2x2,再求得 a2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 极值点：xa , xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 极值点坐标：a ,2a,a ,2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - 定义域：,00,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 自然定义域下的值域：,2a2a ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 5）函数：yxaax0留意与对勾函数进行对比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 解析式特点：x 的系数为1. a0 函数的零点：xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 值域： R（ 5）指数函数（ya x ）：其函数图像分为a1 与 0a1两种情形,可依据图像求得值域,在自然定义域下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的值域为0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 6）对数函数（ylog ax ）其函数图像分为a1 与 0a1 两种情形,可依据图像求得值域,在自然定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_下的值域为0,【经典例题】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1【2022 山东理】设函数y=4- x2的定义域 A ,函数 y=ln1-x的定义域为B , 就 AB= （）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ A）（ 1,2）（ B） 1,2（ C）（ - 2,1）（ D） -2,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】 D【解析】试题分析：由4x20 得2x2 ,由 1x0 得 x1 ,故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB=x |2x2 x | x1 x |2x1,选 D.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2【2022 届湖南省邵阳市高三上学期期末】设函数,就函数的定义域为（）A.B.C.D.【答案】 B【解析】的定义域为, 故, 所以选 B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3【2022 届河南省中原名校（即豫南九校）高三第六次质量考评】已知函数fxa2 x3a1, x3x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a, x3（ a0 且 a1 ）,如 fx有最小值,就实数a 的取值范畴是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.0, 5B.1, 5C.0, 51, 5D.0,15 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_64644【答案】 C【解析】fx有最小值应选 C例 4【2022 届广东省深圳市南山区高三上学期期末】设函数的定义域为,如满意条件： 存在,使在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -上的值域为,就称为“倍缩函数”如函数为“倍缩函数”,就实数的取值范畴是（）A.（, ln2 1）B.（, ln2 1 C.（ 1 ln2 ,+）D. 1ln2 ,+）【答案】 C令 g（ x） 0,解得： x 2, 令 g（ x） 0,解得： 0 x 2,故 g（ x）在（ 0, 2）递减,在（2,+）递增,故 g（ x） g（ 2） =1 ln2 ,故 t 1 ln2 ,应选 C：【名师点睛】由于函数y f x 的零点就是方程f x 0 的根,所以在争论方程的有关问题时,如比较方程根的大 小、确定方程根的分布、证明根的存在性等,都可以将方程问题转化为函数问题解决. 此类问题的切入点是借助函数的零点,结合函数的图象,采纳数形结合思想加以解决可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5. 已知函数yx22 x 在闭区间a,b 上的值域为1,3,就满意题意的有序实数对a, b 在坐标平面内所对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应点组成图形为（）A.B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -C.D.【答案】 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2【解析】 y=x+2x=（ x+1） 1,可画出图象如图1 所示2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应选： C【名师点睛】此题考查了二次函数在给定区间上的值域问题,值域是确定的,而定义域是变动的,解题关键是辨论清晰最大值是在左端点取到仍是在右端点取到,问题就迎刃而解了.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6. （ 1）函数fx1xx31 的值域为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.3,1B.1,C.2,22D.1,221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）函数fxx1xx1x的值域为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.,1B.,1C.0,1D.0,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）函数fx32x5的值域为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x21【答案】（ 1） D （ 2） B （ 3）5 ,6.2【解析】（ 1）函数的定义域为3,1 ,含有双根式,所以很难依靠传统的换元解决问题,但fx 的导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 'xx3121xxx 较易分析出单调性,所以考虑利用导数求出fx的单调区间,从而求得最值3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11x31x21x2x321xx3f 'x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 f 'x0 即解不等式：x31x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【名师点睛】此题仍可以利用换元解决,但利用的是三角换元：观看到被开方数的和为常数,所以想到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_221x2sin1x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1xx34 ,从而可设,由x32cosx30可知0,2,所以原函数的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_转化为求y2sin2cos1的值域,从而有y22 sin1 ,由0,可求得42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1,221. 由此题可知：含双根式的函数如通过变形可得到被开方数的和为常数,就可通过三角换元转为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -三角函数值域问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）函数的定义域为x1 ,从而发觉1x1x ,所以函数的解析式为fxx1x ,观看可得fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为增函数,且x时, fx,所以当 x,1 时, fx 的值域为,1【名师点睛】此题中函数的定义域对解析式的化简有极大的促进作用. 所以在求函数的值域时,如发觉函数解析式较为特别,就先确定其定义域. 此题也可用换元法,设t1x 后即可将函数转为二次函数求值域,但不如观看单调性求解简便.32x03可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）先确定函数的定义域：x1, fx 为分式且含有根式,求导就导函数较为复杂. 观看可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x202可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分子分母可知：32 x50 且关于 x 单减,2 x210 且关于 x 单增,即12 x21单减,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx32x5 为减函数,由x1, 3可知 fx的值域为5 ,6.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x2122【名师点睛】在函数单调性的判定中有“增+增增”,那么假如一个函数可表示为两个函数的乘法,例如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h xfxgx ,就当fx , gx均为增（减）函数,且fx , gx恒大于 0,才能得到 hx 为增（减）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7：（ 1）函数 y2x2x24 x72 x3的值域为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.9 ,22B.7 ,03C.7 ,03D.9 ,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）函数 ysin x cos x1 的值域为 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】（ 1） D（ 2）4 ,03可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由x2 yy2xy2 x2x23 y4 x72 x32 x2可得 :4x7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2x22 y4 x3 y70可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x22 x32x120函数的定义域为R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 的取值只需让方程有解即可当 y2 时, 130 不成立,故舍去当 y2 时,2 y244y23y70即：2 y9y209y22综上所述：函数的值域为9 ,2.2【名师点睛】 对于二次分式, 如函数的定义域为R ,就可像本例这样利用方程思想,将值域问题转化为“ y 取何值时方程有解” ,然后利用二次方程根的判定0 得到关于y 的不等式从而求解,这种方法也称为 “判别式法” 如函数的定义域不是R ,而是一个限定区间（例如a,b ）,那么假如也想按方程的思想处理,那么要解决的问题转化为： “ y 取何值时,方程在a, b 有根”,对于二次方程就变为了根分布问题,但由于只要方程有根就行,会按根的个数进行比较复杂的分类争论,所以此类问题通常利用分式的变形与换元进行解决（详见附）（ 2）此题不易将函数变为仅含sin x 或 cosx 的形式,考虑去分母得：sin xy cos x2 y1 就 y 的取值只要让方程有解即可.观看左侧式子特点可想到俯角公式,从而得到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1y2sin x2 y1sin x2 y11y2,可知方程有解的条件为：2 y11,解出 y 的范1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_围即为值域sin x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： ycos x的定义域为R2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且 ysin x1 cos x2y cos x2 ysin x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin xy cos x2 y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 y2sinx2 y1,即 sinx2 y11y 2,其中 tany可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于该方程有解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 y112 y1 21y21y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3y 24 y0y4 ,03可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【名师点睛】 此题除了用方程思想,也可用数形结合进行解决,把分式视为cosx,sin x,2,1连线斜率的问题,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而将问题转化为定点2,1 与单位圆上点连线斜率的取值范畴.作图求解即可. 本类型运用方程思想处理的局限性在于辅角公式与y 的取值相关,不过由于xR ,所以均能保证只要sin x在1,1 中,就必有解.但假如此题对x 的范畴有所限制,就用方程的思想不易列出y 的不等式,所以仍是用数形结合比较便利例 8. 设且,函数在的最大值是14,求的值【答案】考点：二次函数的最值及指数函数的性质【方法点晴】 此题主要考查了二次函数的最值及指数函数的性质,其中解答中涉及到一元二次函数的图象与性质、指数函数的图象与性质等学问点的综合考查,着重考查了同学分析问题和解答问题的才能,以及分类争论思想和转化与化归思想,此题的解得中依据指数函数的性质,分类争论是解答的关键,试题有肯定的难度,属于中档试题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9【2022 届山西省太原市试验中学高三上学期9 月月考】已知函数fxa x1a x1 a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 判定函数fx 的奇偶性 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页,共 17 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -(2) 求 fx 的值域 .【答案】 1fx是奇函数（ 2）1,1,的值域为1,1 .【名师点睛】此题考查了利用定义证明函数奇偶性,利用分别常数求分式型函数的值域问题,考查了指数幂的运算性质,属于中档题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 10【2022 届安徽省宿州市汴北三校联考高三上学期期中】已知ax 2fxxb是定义在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_, b3b1,上的奇函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -