2022年高考数学理科第练-概率与统计的综合问题 .docx

精品_精品资料_第 19 练概率与统计的综合问题 中档大题标准练 明晰考情 1.命题角度：离散型随机变量的分布列及期望是高考重点,常考查独立大事的概率,超几何分布和二项分布的期望等.概率统计的交汇处是近几年命题的热点.2.题目难度：中档偏上难度.考点一互斥大事、相互独立大事的概率方法技巧求复杂大事的概率, 要正确分析复杂大事的构成,看复杂大事是能转化为几个彼此互斥的大事的和大事仍是能转化为几个相互独立大事同时发生的积大事,然后用概率公式求解.1.为振兴旅行业,某省面对国内发行总量为2 000 万张的熊猫优惠卡,向省外人士发行的是熊猫金卡简称金卡,向省内人士发行的是熊猫银卡简称银卡 . 某旅行公司组织了一个有36 名游客的旅行团到该省名胜旅行,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中31持金卡,在省内游客中有432持银卡 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 在该团中随机采访2 名游客,求恰有 1 人持银卡的概率.(2) 在该团中随机采访2 名游客,求其中持金卡与持银卡人数相等的概率.解1 由题意得省外游客有27 人,其中 9 人持金卡.省内游客有9 人,其中 6 人持银卡 .设大事 A 为“采访该团 2 名游客,恰有 1 人持银卡 ” ,27C11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 PA 6C302 C36 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以采访该团 2 名游客,恰有 1 人持银卡的概率是2.72设大事 B 为“ 采访该团 2 名游客,持金卡人数与持银卡人数相等”, 大事 B1 为“ 采访该团 2 名游客, 0 人持金卡, 0 人持银卡 ” ,大事 B2 为“ 采访该团 2 名游客, 1 人持金卡, 1 人持银卡 ”.211C21C9C61344可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CPB PB1PB2 2 362 C36335105.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.所以采访该团 2 名游客,持金卡人数与持银卡人数相等的概率是44105a单位：元 ,连续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数01234 5保费aaaaa2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数01234 5概率(1) 求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率.(2) 假设一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率 .解1 设 A 表示大事： “一续保人本年度的保费高于基本保费”,就大事 A 发生当且仅当一年内出险次数大于 1,故 PA 0.20 0.200.10 0.05 0.55.2设 B 表示大事： “一续保人本年度的保费比基本保费高出60%” ,就大事 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 3,故 PB 0.10 0.05 0.15.又 PAB PB,故 PB|A P AB P B 3 .P AP A11因此所求概率为 3 .113.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统简称系统 A 和 B,系统 A 和系统 B 在任意时刻发生故障的概率分别为 1 和 p.1050(1) 假设在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为49,求 p 的值.(2) 求系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解1 设“ 至少有一个系统不发生故障”为大事 C,那么 1P C 1 1 ·p 49,解得 p 1.105052设“ 系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为大事 D .“系统 A 在 3 次相互独立的检测中发生k 次故障 ” 为大事 Dk.就 D D0 D 1,且 D 0, D1 互斥 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依题意,得 PD C010 1 13 93 729 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_03 1010101 000可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111112 243 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PD C310101 000可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 P D PD0 PD 1 729 243 243.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 0001 000250可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.所以系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为243250考点二随机变量的分布列、期望与方差方法技巧1 求离散型随机变量的分布列的关键是正确懂得随机变量取每一个值所表示的详细大事,然后综合应用各类求概率的公式,求出概率.2假如随机变量 X 能够肯定听从超几何分布或二项分布,就其概率可直接利用公式求解. 4.某公司在迎新年晚会上举办抽奖活动,有甲、乙两个抽奖方案供职工挑选.第一次抽奖,假设未中奖,就抽奖终止.假设中方案甲：职工最多有两次抽奖时机,每次抽奖的中奖率均为45奖,就通过抛一枚质的匀称的硬币,打算是否连续进行其次次抽奖.规定：假设抛出硬币,反面朝上,职工就获得 500 元奖金,不进行其次次抽奖.假设正面朝上,职工就须进行其次次抽奖且在其次次抽奖中,假设中奖,就获得奖金 1 000 元.假设未中奖,就所获得的奖金为0 元.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,每次中奖均可获得奖金方案乙：职工连续三次抽奖,每次中奖率均为25400 元.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 求某职工挑选方案甲进行抽奖所获奖金X元的分布列.(2) 试比较某职工挑选方案乙与挑选方案甲进行抽奖,哪个方案更划算？ 解1 由题意得, X 的全部可能取值为0, 500, 1 000,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 PX 01412 5 5× ×17,5 25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 ,PX5004× 1225可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5PX1 000 4×14852×25,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以某职工挑选方案甲进行抽奖所获奖金X元的分布列为05001 00072825525XP2由1 可知,挑选方案甲进行抽奖所获奖金X 的期望 EX 500×2 1 000 × 8 520,5252假设挑选方案乙进行抽奖,中奖次数 B 3, 5 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 E 326Y 的期望 EY E400 400E 480,故挑选方案甲较划算.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_× 5 5,抽奖所获奖金5. 中国铁路客户服务中心为便利旅客购买车票,推出三种购票方式：窗口购票、购票、网上购票,旅客任 选一种购票方式 .假设甲、 乙、丙 3 名旅客都预备购买火车票,并且这 3 名旅客挑选购票的方式是相互独立的.(1) 求这三名旅客中至少有两人挑选网上购票的概率.(2) 记这三名旅客购票方式的种数为,求 的分布列和数学期望 .解1 记“ 三名旅客中恰有两人挑选网上购票” 为大事 A,“ 三名旅客都挑选网上购票” 为大事 B,且 A,B互斥 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 PA C2× 1 222PB 13 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33× 39,327可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此,三名旅客中至少有两人挑选网上购票的概率7P PA PB27.2由题意知, 的全部可能取值为1, 2, 3,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 P1 C1× 1 31933 .211 222P 2C3× C3× 3× 3 3.A233P 3 33 9.所以随机变量 的分布列为123122939P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 的数学期望 E 1×192× 2 3× 219.939可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 在心理学讨论中,常采纳比照试验的方法评判不同心理示意对人的影响,详细方法如下：将参与试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理示意,另一组接受乙种心理示意,通过比照A1, A2,A3, A4, A5 ,A6和 4 名女理想者 B1, B2, B3 ,B4,从中随机抽取 5 人接受甲种心理示意,另5 人接受乙种心理示意 . 1求接受甲种心理示意的理想者中包含A1 但不包含 B1 的概率.2用 X 表示接受乙种心理示意的女理想者人数,求X 的分布列与期望 EX.解1 记接受甲种心理示意的理想者中包含A1 但不包含 B1 的大事为 M,就 PM C 5 .481018C52由题意知, X 可取的值为 0,1, 2, 3, 4,就PXC 1 ,0 561042C56C45C41可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5PX1 C1021,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32C6C410可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PX2 5,C2110可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23C6C45可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PX3 5,C2110可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PXC 14 .165C1042因此 X 的分布列为012341510514221212142XPEX 01× 5 2× 10 3× 5 4× 1 2.21212142考点三概率与统计的综合问题方法技巧对于将统计图表和随机变量相结合的综合问题,第一要正确处理图表数据,明确随机变量的意义, 然后判定随机变量分布的类型,求出分布列.7.2022 桂·林模拟 甲、乙两名运发动互不影响的进行四次射击训练,依据以往的数据统计,他们射击成果均不低于 8 环成果环数以整数计 ,且甲、乙射击成果 环数 的分布列如下：甲环数8910p概率1124乙环数8910q概率1163(1) 求 p, q 的值.(2) 假设甲、乙两射手各射击两次,求四次射击中恰有三次命中9 环的概率.(3) 假设两个射手各射击1 次,记两人所得环数的差的肯定值为,求 的分布列和数学期望 .6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解1 由题意得 p1q 1.,42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 记大事 C：甲命中一次 9 环,乙命中两次 9 环,大事 D：甲命中两次 9 环,乙命中一次 9 环,就四次射击中恰有三次命中 9 环为大事 CD ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ PC D C1× 13C2 12 C2 12× C1111.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_422×4× 2 22 42× 2× 8(3) 的取值分别为 0,1, 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1P 0111117,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2× 6 4×2 4× 324可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12P 1 ×1114×621111134×× ,422可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11115P 22× 3 6×4 24, 的分布列如下表：01271524224P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ E 0× 7 1×12422× 5 11.2412可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8.2022 全·国 某工厂的某种产品成箱包装,每箱200 件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,就更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20 件作检验,再依据检验结坚决p0p 1,且各件产品是否为不合格品相互独立.(1) 记 20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为f p,求 fp的最大值点 p0.(2) 现对一箱产品检验了20 件,结果恰有 2 件不合格品, 以1 中确定的 p0 作为 p 的值.已知每件产品的检验费用为 2 元,假设有不合格品进入用户手中,就工厂要对每件不合格品支付25 元的赔偿费用 .假设不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求 EX .以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的全部产品作检验？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_20p解120 件产品中恰有2 件不合格品的概率为fp C22· 1 p180 p 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此 f p C218 18p217217可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_202 p1 p1 p 2C20p1 p1 10p, 0 p1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 f p 0,得 p 0.1.当 p 0,0.1时, f p 0.当 p 0.1, 1时, f p 0.所以 fp的最大值点为 p0 0.1. 2由1 知, p 0.1. 令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数, 依题意知 Y B180,0.1,X 20× 2 25Y,即 X 40 25Y.所以 E X E40 25Y 40 25EY 40 25× 180×0.1 490. 假设对余下的产品作检验,就这一箱产品所需要的检验费用为400 元.由于 E X 400,故应当对余下的产品作检验.9.2022 全·国 改编 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16 个零件,并测量其尺寸单位： cm.依据长期生产体会,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸听从正态分布 N, 2.(1) 假设生产状态正常, 记 X 表示一天内抽取的16 个零件中其尺寸在 3, 3之外的零件数, 求 PX 1及 X 的数学期望.(2) 一天内抽检零件中,假如显现了尺寸在 3, 3之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能显现了反常情形,需对当天的生产过程进行检查. 试说明上述监控生产过程方法的合理性. 下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸：9.9510.129.96可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_经运算得 x 11616xi 9.97,s1 1616 2x i x11616x2i 16 x2 0.212,其中 xi 为抽取的第 i 个零可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i 1i 1i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_件的尺寸, i 1, 2, 16.用样本平均数 x 作为 的估量值 ,用样本标准差 s 作为 的估量值 ,利用估量值判定是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 3, 3之外的数据,用剩下的数据估量和 精确到 0.01.8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_附：假设随机变量 Z 听从正态分布 N,2,就 P 3<Z<3 0.997 4,0.997 416 0.959 2, 0.008 0.09.解1 抽取的一个零件的尺寸在3, 3之内的概率为 0.997 4,从而零件的尺寸在 3, 3之外的概率为 0.002 6,故 X B16, 0.002 6.因此 P X 1 1PX 0 10.997 4 16 0.040 8. X 的数学期望 EX 16× 0.002 6 0.041 6.2 假如生产状态正常,一个零件尺寸在 3, 3之外的概率只有 0.002 6 ,一天内抽取的 16 个零件中,显现尺寸在 3, 3之外的零件的概率只有0.040 8,发生的概率很小,因此一旦发生这种情形,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能显现了反常情形,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的. 由 x 9.97,s 0.212 ,得 的估量值为 9.97, 的估量值为 0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在 3, 3之外,因此需对当天的生产过程进行检查.1剔除 3, 3之外的数据 9.22,剩下数据的平均数为 15× 16× 9.97 9.22 10.02.因此 的估量值为 10.02.16ix2 16×2 16× 2 1 591.134.i 1剔除 3, 3之外的数据 9.22,剩下数据的样本方差为1 × 215× 20.00815因此 的估量值为0.008 0.09.典例12 分某校工会对全校教职工每天收看世界杯足球赛竞赛的时间作了一次调查,得到如下频数分布表：9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_收看时间 单位：小时0 , 11 , 22 , 33 , 44 ,55 , 6收看人数143016282012(1) 假设将每天收看竞赛时间不低于3 小时的教职工定义为“足球达人”,否就定义为“非足球达人”,请根据频数分布表补全2× 2 列联表：男女总计足球达人非足球达人总计4030并判定能否有 90%的把握认为该校教职工是否为“足球达人”与性别有关.(2) 在全校“足球达人”中按性别分层抽样抽取6 名,再从这 6 名“足球达人” ,求 的分布列与数学期望 .附表及公式：PK 2k 0k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_K 2n ad bc 2a bc da cb d .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_审题路线图填写列联表 运算K 2的观测值 得出结论 确定随机变量取值 运算概率 得分布列 求期望标准解答 ·评分标准解1 由题意得下表：10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_男女总计足球达人402060非足球达人303060总计7050120可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_K 2 的观测值 k120 1 200 600 2 3.429>2.706. 5 分70× 50× 60× 60可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以有 90%的把握认为该校教职工是“ 足球达人 ” 与性别有关 . 6 分2由题意知抽取的6 名“ 足球达人 ” 中有 4 名男职工, 2 名女职工,所以 的可能取值为 0,1, 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C422且 P0 C662 ,155可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_112C4C28C21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6P 12 , P 2CC6152 15, 10 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 的分布列为01228151515P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_E 0×2 1×8 2×1 102.12 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_51515153构建答题模板第一步定变量：依据已知条件确定分类变量及取值.其次步填表格：填写列联表.第三步下结论：运算 K 2 值并下结论.第四步算概率：运算随机变量取每一个值的概率并列出分布列.11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第五步 求期望 ：依据公式求期望.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.甲、乙两名同学参与定点投篮测试,已知两人投中的概率分别是12和 ,假设两人投篮结果相互没有影响,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23每人各次投球是否投中也没有影响.(1) 假设每人投球 3 次必需投完 ,投中 2 次或 2 次以上,记为达标,求甲达标的概率. 2假设每人有 4 次投球时机 X,求 X 的分布列和数学期望EX.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解1 记“ 甲达标 ” 为大事 A,就 PA C2× 1 211 3 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32× 2 22(2) X 的全部可能的值为2, 3, 4.2 24PX2 3 9,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PX3 1×32212133×× × 3331 332111×3333× ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11221223× × × × 333339PX4 .所以 X 的分布列为X234412P939412所以 E X 2× 93× 3 4×9259 .2.2022 咸·阳模拟 针对国家提出的推迟退休方案, “保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：某机构进行了网上调查,全部参与调查的人中, 持“支持”、支持保留不支持50 岁以下8 0004 0002 00012可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_50 岁以上 含 50 岁1 0002 0003 000(1) 在全部参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取n 个人,已知从持“不支持”态度的人中抽取了30 人, 求 n 的值.(2) 在持“不支持”态度的人中,用分层抽样的方法抽取10 人看成一个总体,从这10 人中任意选取3 人,求50 岁以下人数 的分布列和期望.3在接受调查的人中,有10 人给这项活动打出的分数如下：9.4,8.6, 9.2,9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2, 8.3, 9.7,把这 10 个人打出的分数看作一个总体,从中任取一个数,求该数与总体平均数之差的肯定值超过0.6的概率 .解1 参与调查的总人数为8 000 4 000 2 000 1 000 2 000 3 000 20 000,其中从持 “ 不支持 ” 态度的 2 000 3 000 5 000 人中抽取了 30 人,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 n20 000× 305 000 120.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 在持 “ 不支持 ” 态度的人中, 50 岁以下及 50 岁以上 含 50 岁人数之比为 2 3,因此抽取的 10 人中, 50岁以下与 50 岁以上 含 50 岁人数分别为 4 人, 6 人, 0,1, 2, 3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P 03C16C63 ,10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C1C21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P 14632C10 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4C63C21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P 23 ,C1010可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 1 ,C3P 3 3C1030所以 的分布列如下表：01231131621030P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_E 0×131 1×612×23 3×101630 5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 总体的平均数为x 1 3 .10103.2022 全·国 某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40 名工人,将他们随机分成两组,每组20 人.第一组工人用第一种生产方式,其次组工人用其次种生产方式.依据工人完成生产任务的工作时间单位： min 绘制了如下茎叶图：(1) 依据茎叶图判定哪种生产方式的效率更高？并说明理由.(2) 求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表.超过 m不超过 m总计第一种生产方式其次种生产方式总计(3) 依据 2 中的列联表,