2022年高考数学圆锥曲线的概念,解题方法题型易误点总结 .docx

精品_精品资料_数学概念、方法、题型、易误点技巧总结圆锥曲线1. 圆锥曲线的两个定义：（ 1）第肯定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中,与两个定点F ,F的距离的和等于常数,且此常数肯定要大于,当常数等于时,轨迹是线段 F F,当常数小于时,无轨迹.双曲线中,与两定点F ,F的距离的差的肯定值等于常数,且此常数肯定要小于 |FF| ,定义中的“肯定值”与 |FF| 不行忽视.如|FF| ,就轨迹是以 F ,F为端点的两条射线,如|FF| ,就轨迹不存在.如去掉定义中的肯定值就轨迹仅表示双曲线的一支.比如：已知定点,在满意以下条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是A. B CD （答： C）.方程表示的曲线是（答：双曲线的左支）（ 2）其次定义中要留意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率 .圆锥曲线的其次定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用其次定义对它们进行相互转化.如已知点及抛物线上一动点 P（ x,y ）, 就 y+|PQ| 的最小值是（答： 2）2. 圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（ 1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程,其中为参数）,焦点在轴上时 1（）.方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC 0,且 A,B, C同号, A B）.比如：已知方程表示椭圆,就的取值范畴为（答：）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如,且,就的最大值是 ,的最小值是 （答：）（ 2）双曲线：焦点在轴上：=1 ,焦点在轴上： 1（）.方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC 0,且 A, B异号）.比如：双曲线的离心率等于,且与椭圆有公共焦点,就该双曲线的方程 （答：）.设中心在坐标原点,焦点、 在坐标轴上, 离心率的双曲线 C过点,就 C 的方程为 （答：）（ 3）抛物线：开口向右时,开口向左时,开口向上时,开口向下时.3. 圆锥曲线焦点位置的判定（第一化成标准方程,然后再判定）：（ 1）椭圆：由,分母的大小打算,焦点在分母大的坐标轴上.如已知方程表示焦点在 y 轴上的椭圆,就 m的取值范畴是 （答：）（ 2）双曲线：由,项系数的正负打算,焦点在系数为正的坐标轴上.（ 3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号打算开口方向.特殊提示： （ 1）在求解椭圆、双曲线问题时,第一要判定焦点位置,焦点F , F的位置,是椭圆、双曲线的定 位条件,它打算椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数,确定椭圆、双曲线的外形和大小,是椭圆、 双曲线的定形条件.在求解抛物线问题时,第一要判定开口方向.（2）在椭圆中,最大,在双曲线中, 最大,.4. 圆锥曲线的几何性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）椭圆（以（）为例）：范畴：.焦点：两个焦点.对称性：两条对称轴,一个对称中心（0,0 ）,四个顶点,其中长轴长为 2,短轴长为2.准线：两条准线. 离心率：,椭圆, 越小,椭圆越圆.越大,椭圆越扁.比如：如椭圆的离心率,就的值是 （答： 3 或）.以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1 时,就椭圆长轴的最小值为（答：）（ 2）双曲线（以（）为例） ：范畴：或.焦点： 两个焦点.对称性：两条对称轴,一个对称中心（ 0,0 ）,两个顶点,其中实轴长为 2,虚轴长为 2,特别的,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线, 其方程可设为.准线： 两条准线. 离心率：,双曲线,等轴双曲线, 越小,开口越小,越大,开口越大.两条渐近线：.比如：双曲线的渐近线方程是,就该双曲线的离心率等于 （答：或）.双曲线的离心率为,就=（答： 4 或）.设双曲线（ a>0,b>0 ）中,离心率 e,2,就两条渐近线夹角 的取值范畴是（答：）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）抛物线（以为例）：范畴：.焦点：一个焦点,其中的几何意义是：焦点到准线的距离. 对称性：一条对称轴,没有对称中心, 只有一个顶点 （ 0,0 ）.准线：一条准线.离心率：,抛物线.如设,就抛物线的焦点坐标为（答：）.5、点和椭圆（）的关系：（ 1）点在椭圆外.（ 2）点在椭圆上 1.（ 3）点在椭圆内6直线与圆锥曲线的位置关系：（ 1）相交：直线与椭圆相交.直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不肯定有,当直线与双曲线的渐近线平行时, 直线与双曲线相交且只有一个交点, 故 是直线与双曲线相交的充分条件, 但不是必要条件.直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不肯定有,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件.比如：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2 =6 的右支有两个不同的交点,就k 的取值范畴是（答： -,-1）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线 ykx 1=0 与椭圆恒有公共点,就 m的取值范畴是（答： 1 , 5）（ 5,+）.过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B 两点,如 AB 4,就这样的直线有条（答： 3）.（ 2）相切：直线与椭圆相切.直线与双曲线相切.直线与抛物线相切.（ 3）相离：直线与椭圆相离.直线与双曲线相离.直线与抛物线相离.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特殊提示：（ 1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交.假如直线与双曲线的渐近线平行时 , 直线与双曲线相交, 但只有一个交点.假如直线与抛物线的轴平行时, 直线与抛物线相交, 也只有一个交点.（ 2）过双曲线 1 外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情形如下： P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条. P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条.P 在两条渐近线上但非原点, 只有两条： 一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线. P 为原点时不存在这样的直线.（ 3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.比如：过点作直线与抛物线只有一个公共点,这样的直线有 （答： 2）.过点 0,2与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范畴为 （答：）.过双曲线的右焦点作直线交双曲线于 A、B 两点,如4,就满意条件的直线有条（答：3）.对于抛物线 C：,我们称满意的点在抛物线的内部,如点在抛物线的内部,就直线：与抛物线 C 的位置关系是（答：相离）.过抛物线的焦点作始终线交抛物线于P、Q两点,如线段 PF与 FQ的长分别是、 ,就 （答： 1）.设双曲线的右焦点为,右准线为,设某直线交其左支、右支和右准线分别于,就和的大小关系为 填大于、小于或等于 （答：等于）.求椭圆上的点到直线的最短距离（答：）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线与双曲线交于、 两点.当为何值时,、 分别在双曲线的两支上？当为何值时,以 AB为直径的圆过坐标原点？（答：.）.7、焦半径 （圆锥曲线上的点P 到焦点 F 的距离） 的运算方法： 利用圆锥曲线的其次定义,转化到相应准线的距离, 即焦半径,其中表示 P 到与 F 所对应的准线的距离.比如：已知椭圆上一点 P 到椭圆左焦点的距离为3,就点 P 到右准线的距离为（答：）.已知抛物线方程为,如抛物线上一点到轴的距离等于 5,就它到抛物线的焦点的距离等于 .如该抛物线上的点到焦点的距离是 4,就点的坐标为（答：）.点 P 在椭圆上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,就点 P 的横坐标为（答：）.抛物线上的两点 A、B 到焦点的距离和是5,就线段 AB的中点到轴的距离为（答： 2）.椭圆内有一点,F 为右焦点,在椭圆上有一点M,使之值最小,就点 M的坐标为（答：）8、焦点三角形 （椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题： 常利用第肯定义和正弦、 余弦定理求解.设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为,焦点的面积为,就在椭圆中,且当即为短轴端点时,最大为.,当即为短轴端点时,的最大值为 bc.对于双曲线的焦点三角形有：.比如：短轴长为,离心率的椭圆的两焦点为、,过作直线交椭圆于 A、B 两点,就的周长为 （答： 6）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 P 是等轴双曲线右支上一点, F1、F2 是左右焦点,如, |PF 1|=6 ,就该双曲线的方程为（答：）.双曲线的虚轴长为4,离心率 e, F1、F2 是它的左右焦点,如过F1 的直线与双曲线的左支交于A、B 两点, 且是与等差中项,就（答：）.已知双曲线的离心率为2, F1、F2 是左右焦点, P 为双曲线上一点,且,求该双曲线的标准方程（答：）.9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切.（2）设 AB 为焦点弦, M 为准线与 x 轴的交点,就 AMF BMF.（ 3）设 AB 为焦点弦, A、B 在准线上的射影分别为A , B ,如 P为 A B 的中点,就PA PB.（ 4）如 AO的延长线交准线于C,就 BC平行于 x 轴,反之,如过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点,就 A, O, C 三点共线.10、弦长公式：如直线与圆锥曲线相交于两点A、 B,且分别为 A、B 的横坐标,就,如分别为 A、B 的纵坐标, 就,如弦 AB所在直线方程设为, 就.特殊的,焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的运算,一般不用弦长公式运算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用其次定义求解.比如：2过抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于A（ x 1,y 1）,B（x2 ,y2 ）两点,如 x 1+x2=6,那么|AB| 等于（答：8）.过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B 两点,已知 |AB|=10 ,O 为坐标原点,就 ABC 重心的横坐标为 （答： 3）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11、圆锥曲线的中点弦问题： 遇到中点弦问题常用 “韦达定理” 或“点差法” 求解.在椭圆中,以为中点的弦所在直线的斜率k=.在双曲线中,以为中点的弦所在直线的斜率k=.在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率k=.比如：假如椭圆弦被点 A（ 4,2）平分,那么这条弦所在的直线方程是（ 答：）.已知直线 y= x+1 与椭圆相交于 A、B 两点, 且线段 AB的中点在直线 L：x2y=0 上,就此椭圆的离心率为 （答：）.试确定 m的取值范畴, 使得椭圆上有不同的两点关于直线对称（答：）.特殊提示： 由于是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时, 务必别忘了检验；12. 你明白以下结论吗？（ 1）双曲线的渐近线方程为.（ 2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数,0）.如与双曲线有共同的渐近线,且过点的双曲线方程为（答：）（ 3）中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为,焦准距（焦点到相应准线的距离）为,抛物线的通径为,焦准距为.（ 5）通径是全部焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦.（ 6 ） 如 抛 物 线的 焦 点 弦 为 AB, 就 . （ 7）如 OA、OB是过抛物线顶点 O的两条相互垂直的弦,就直线AB 恒经过定点13. 动点轨迹方程：（ 1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范畴.（ 2）求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立之间的关系.如已知动点 P 到定点 F1,0和直线的距离之和等于 4,求 P 的轨迹方程 （答： 或）.待定系数法：已知所求曲线的类型,求曲线方程先依据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数.如线段 AB过 x 轴正半轴上一点 M（m, 0）,端点 A、B 到 x 轴距离之积为2m,以 x 轴为对称轴,过 A、O、B 三点作抛物线,就此抛物线方程为（答：）.定义法：先依据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.0如 1 由动点 P 向圆作两条切线PA、 PB,切点分别为A、 B, APB=60 ,就动点P 的轨迹方程为（答：）.（ 2）点 M与点 F4,0的距离比它到直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的距离小于1 ,就点 M 的轨迹方程是（答：）. 3一动圆与两圆M：和 N： 都外切,就动圆圆心的轨迹为（答：双曲线的一支）.代入转移法：动点依靠于另一动点的变化而变化,并且又在某已知曲线上,就可先用的代数式表示,再将代入已知曲线得要求的轨迹方程.如动点 P 是抛物线上任一点, 定点为, 点 M分所成的比为 2,就 M的轨迹方程为 （答：）.参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时, 可考虑将均用一中间变量（参数）表示,得参数方程,再消去参数得一般方程）.如（ 1）AB是圆 O的直径,且 |AB|=2 a,M为圆上一动点,作 MN AB,垂足为 N,在 OM上取点,使,求点的轨迹.（答：）.（ 2）如点在圆上运动,就点的轨迹方程是 （答：）.（ 3）过抛物线的焦点 F 作直线 交抛物线于 A、B 两点,就弦 AB的中点 M的轨迹方程是（答：）.留意：假如问题中涉及到平面对量学问,那么应从已知向量的特点动身,考虑挑选向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,仍是挑选向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如已知椭圆的左、右焦点分别是 F（1 c,0）、F（2c ,0）,Q是椭圆外的动点, 满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 P 是线段 F1Q与该椭圆的交点,点T 在线段 F2Q上,并且满意（ 1）设 为点 P 的横坐标,证明.（ 2）求点 T 的轨迹 C 的方程.（ 3）试问：在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点M,使 F1MF2 的面积S=如存在,求 F1MF2 的正切值.如不存在,请说明理由.（答：（ 1）略.（ 2）.（ 3）当时不存在.当时存在,此时 F1MF2 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲线与曲线方程、 轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应留意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合 如角平分线的双重身份对称性、利用到角公式 、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类争论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范畴构造不等关系”等等.假如在一条直线上显现“三个或三个以上的点”,那么可挑选应用“斜率或向量”为桥梁转化. 14、解析几何与向量综合时可能显现的向量内容：（ 1） 给出直线的方向向量或.（ 2）给出与相交 , 等于已知过的中点 ;（ 3）给出, 等于已知是的中点 ;（ 4）给出, 等于已知与的中点三点共线 ;（ 5 ）给 出 以 下 情 形 之 一 ： . 存 在 实 数. 如 存 在 实 数, 等于已知三点共线 .（ 6） 给出,等于已知是的定比分点,为定比,即（ 7） 给出, 等于已知, 即是直角 , 给出, 等于已知是钝角,给出, 等于已知是锐角.（ 8）给出, 等于已知是的平分线 /可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 9）在平行四边形中,给出,等于已知是菱形 ;（ 10） 在平行四边形中,给出,等于已知是矩形 ;（ 11）在中,给出,等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）.（ 12） 在中,给出,等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）.（ 13）在中,给出,等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）.（ 14）在中,给出等于已知通过的内心.（ 15）在中,给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）.（ 16） 在中,给出, 等于已知是中边的中线可编辑资料 - - - 欢迎下载