2022年高考复习文科函数与导数知识点总结.docx

精品_精品资料_函数与导数学问点复习测试卷文一、映射与函数1、映射f： A B 概念（ 1） A 中元素必需都有且唯独.（ 2） B 中元素不肯定都有原象,且原象不肯定唯独.2、函数f：A B 是特殊的映射1 、特殊在定义域A和值域 B 都是非空数集.函数x 是“ y 是 x的函数”这句话的数学表示,其中x 是自变量, y 是自变量 x 的函数, f 是表示对应法就,它可以是一个解析式,也可以是表格或图象,也有只能用文字语言表达.由此可知函数图像与垂直x 轴的直线公共点,但与垂直y 轴的直线公共点可能没有,也可能是任意个. （即一个 x 只能对应一个 y,但一个 y 可以对应多个 x.）（ 2）、函数三要素是,和,而定义域和对应法就是起打算作用的要素,由于这二者确定后,值域也就相应得到确定,因此只有定义域和对应法就二者完全相同的函数才是同一函数.二、函数的单调性在函数 fx的定义域内的一个上,假如对于任意两数x1, x2 A.当 x1<x2 时,都有,那么,就称函数f x在区间 A 上是增加的,当 x1 <x2 时,都有,那么,就称函数fx在区间 A 上是削减的判定方法如下：1、作差（商）法（定义法）2、导数法3、复合函数单调性判别方法（同增异减）函数的最值函数 yfx的定义域为 D, 1 存在 x0 D,使得 fx0M .2 对于任意 xD ,都有 .M 为最大值3 存在 x0 D,使得 fx0 M. 4 对于任意 xD ,都有 .M 为最小值求函数最值的常用方法：(1) 单调性法：先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(2) 图像法：先作出函数的图像,再观看其最高点、最低点,求出最值.(3) 换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟识的函数,再用相应的方法求最值.三函数的奇偶性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_偶函数：f xf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设（ a, b ）为偶函数上一点,就也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域肯定要关于y 轴对称,例如： yx 21在1,1 上不是偶函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_满意,或 f xf x0 ,如f x0 时,f x1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_奇函数：f xf xf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设（ a, b ）为奇函数上一点,就也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域肯定要关于原点对称,例如：yx 3 在1,1 上不是奇函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_满意,或f xf x0 ,如f x0 时, f x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x周期性(1) 周期函数： 对于函数 y fx,假如存在一个非零常数T,使得当 x 取定义域内的任何值时, 都有,那么就称函数 y fx为周期函数,称 T 为这个函数的周期.(2) 最小正周期：假如在周期函数fx 的全部周期中的正数,那么这个最小正数就叫做fx的最小正周期 . 1函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查,主要涉及函数周期性的判定,利用函数周期性求值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 函数周期性的三个常用结论： 如 f xa fx,就 T 2a, 如 fx a,就 T 2a, 如 fx a,就 T 2a a>0. 1关于奇偶性、 单调性、 周期性的综合性问题, 关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题 .2 把握以下两个结论,会给解题带来便利： fx为偶函数 . f x f. 如奇函数在 x 0 处有意义,就 f0 0.四二次函数幂函数1. 二次函数 1二次函数解析式的三种形式一般式： fx 2 ca 0.顶点式： fx零点式： fx2 二次函数的图像和性质解析式fx 2 ca>0fx 2 ca<0图像定义域, , 值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_单调性在上单调递减. 在上单调递增在上单调递增. 在上单调递减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对称性函数的图像关于 x对称2. 幂函数(1) 定义：形如 R 的函数称为幂函数,其中x 是自变量, 是常数 .(2) 幂函数的性质幂函数在上都有定义.幂函数的图像过定点.当 >0 时,幂函数的图像都过点1,1和0,0,且在 0, 上单调.当 <0 时,幂函数的图像都过点1,1,且在 0, 上单调 . 1二次函数最值问题解法：抓住 “ 三点一轴 ”数形结合, 三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,依据函数的单调性及分类争论的思想即可完成.(2) 由不等式恒成立求参数取值范畴的思路及关键 一般有两个解题思路：一是分别参数.二是不分别参数. 两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分别.这两个思路的依据是： a fx恒成立 . a fx ,a fx恒成立 . a fx.(3) 幂函数的形式是 y x R,其中只有一个参数,因此只需一个条件即可确定其解析式.(4) 在区间 0,1上,幂函数中指数越大,函数图像越靠近x 轴 简记为 “ 指大图低 ” ,在区间 1, 上,幂函数中指数越大,函数图像越远离x 轴.五函数的变换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ yf xyf x ：将函数yf x 的图象关于 y 轴对称得到的新的图像就是yf x 的图像.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ydy=fxyy=f -xd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-ca-bob-ac x-ca-bob-ac x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ yf xyf x ：将函数yf x 的图象关于 x 轴对称得到的新的图像就是yf x 的图像.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ydy=fxydy=-fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-ca-bob-ac x-ca-bob-ac x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ yf xy| f x | ：将函数yf x的图象在x轴下方的部分对称到x轴的上方,连同函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x 的图象在 x 轴上方的部分得到的新的图像就是y| f x |的图像.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ydy=fxydy=|fx |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-ca-bob-ac x-ca-bob-acx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ yf xyf | x | ：将函数yf x 的图象在 y 轴左侧的部分去掉,函数yf x的图象在 y 轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_右侧的部分对称到y 轴的左侧,连同函数yf x 的图象在 y 轴右侧的部分得到的新的图像就是yf | x |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的图像 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ydy=fxyy=f |x|d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-ca-bob-ac x-ca-bob-acx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数xxa>0 时,向左平移a>0 时,向上平移a 个单位. a<0 时,向右平移个单位a 个单位. a<0 时,向下平移个单位. 与x 的图象关于 y 轴对称 .xx 与 x 的图象关于 x 轴对称 . 与x 的图象关于原点轴对称. 的图象关于 y 轴对称, x0 时函数即 x ,所以 x<0 时的图象与x0 时x 的图象关于 y 轴对称 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x| yf xf x, f x0., x|的图象是 x0与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x<0图象的组合 .f x,f x0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y f1 xf1 x 与x 的图象关于直线对称 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：（ 1）如对任意实数 x, 都有 f成立,就是函数 fx的对称轴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）如对任意实数 x, 都有 f成立,就ab 是 fx的对称轴 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1利用函数的图像争论函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图像的函数,其性质单调性、奇偶性、周期性、最值 值域、零点 常借助于图像争论,但肯定要留意性质与图像特点的对应关系.(2) 利用函数的图像可解决某些方程和不等式的求解问题,方程 fx gx的根就是函数fx与 gx图像交点的横坐标. 不等式 fx< gx的解集是函数f x的图像位于 gx图像下方的点的横坐标的集合,表达了数形结合思想.六、指数函数与对数函数的图像和性质一指数函数（一） 指数与指数幂的运算1 根式的概念：一般的,假如 x na ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n >1,*且n N 负数没有偶次方根. 0 的任何次方根都是 0,记作 n 00 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当n 是奇数时,2 分数指数幂n ana ,当 n 是偶数时,n an| a |aa0aa0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正数的分数指数幂的意义,规定：mm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ma nn a m a0, m, nN * ,n1 an1a n1an am0, m, nN * , n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1a rara r sa0,r , sR2 ar sa rsa0, r , sR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ ）·.（ ）.（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般的,函数叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R注：指数函数的底数的取值范畴2、指数函数的图象和性质a>10<a<166554433221 11 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-4-22460-4-22460可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-1-1定义域 R定义域 R值域 y 0值域 y0在 R上单调增在 R上单调减非奇非偶函数非奇非偶函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数图象都过定点（ 0, 1）留意：利用函数的单调性,结合图象仍可以看出：函数图象都过定点（ 0,1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） ）在a , b 上, f x a x a0且a1) 值域是或.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） ） 如 x0 ,就f x 1 . f x 取遍全部正数当且仅当 xR .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） ）对于指数函数f x a x a0且a1) ,总有f 1a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 指数函数的性质及应用问题解题策略(1) 比较大小问题 .常利用指数函数的单调性及中间值0 或 1法.(2) 简洁的指数方程或不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单调性,要特殊留意底数a 的取值范畴, 并在必要时进行分类争论.(3) 解决指数函数的综合问题时,要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质如奇偶性、周期性 相结合,同时要特殊留意底数不确定时,对底数的分类争论.二、对数函数（一）对数1对数的概念：一般的, 假如 aa>0, a 1的 b 次幂等于 N,即 N,那么数 b 叫作以 a 为底 N 的对数, 记作 b,其中叫作对数的底数,叫作真数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 留意底数的限制 a0 ,且 a1 .a xNlog a Nx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意对数的书写格式 两个重要对数：log a N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_常用对数：以 10 为底的对数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_自然对数：以无理数 e指数式与对数式的互化幂值真数2.71828为底的对数的对数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aab NlogN b底数指数对数（二）对数的运算性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 alog a M0 ,且· N a1 , M.0 , N0 ,那么：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Mlog aN. a>0 且 a 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nlog a M nR 留意：换底公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_log a blog c b （ a log c a0 ,且 a1 . c0 ,且 c1 .b0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用换底公式推导下面的结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn（1） log m blogb .（2） logb1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ama（三）对数函数alog b a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、对数函数的概念：函数 ylog ax a0 ,且 a1 叫做对数函数,其中x 是自变可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_量,函数的定义域是（ 0,+）注： 对数函数的定义与指数函数类似, 都是形式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义,留意辨别.如： y2 log 2 x , yxlog 55都不是对数函数,而只能称其为对数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_型函数对数函数对底数的限制： a2 、对数函数的性质：0 ,且 a1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a>10<a<1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_332.52.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21.51 121.51 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0.5-10-0 .5-1-1 .5-2-2 .51234567810.5-10-0 .5-1-1 .5-2-2 .5123456781可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域 x 0定义域 x0值域为 R值域为 R在 R上递增在 R上递减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数图象都过定点（ 1, 0）函数 图象 都过定点（ 1,0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1.在运算性质 中,要特殊留意条件, 在无 M 0 的条件下应为 N ,且 为偶数 .2. 解决与对数函数有关的问题时需留意两点：1务必先争论函数的定义域.2 留意对数底数的取值范畴.七函数与方程1. 函数的零点 1 函数零点的定义函数y fx的图像与横轴的交点的称为这个函数的零点.(2) 几个等价关系方程f x0 有实数根 . 函数 yfx的图像与有交点 . 函数 y fx有(3) 函数零点的判定 零点存在性定理 如函数 yfx在闭区间 a, b上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即fa ·fb<0 ,就在区间内,函数 yfx零点,即相应的方程f x 0 在区间 a, b内至少有一个实数解 .2. 二分法对于在区间 a, b 上连续不断且的函数y fx,通过不断的把函数fx的零点所在的区间,使区间的两个端点逐步靠近,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 1.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而不是必要条件.判定零点个数仍要依据函数的单调性、对称性或结合函数图像.2.判定零点个数要留意函数的定义域,不要漏解.画图时要尽量精确.解函数应用问题的步骤四步八字 (1) 审题：弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步挑选数学模型.(2) 建模：将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学学问,建立相应的数学模型.(3) 解模：求解数学模型,得出数学结论.(4) 仍原：将数学问题仍原为实际问题的意义.八导数1. 导数与导函数的概念(1) 当 x1 趋于 x0,即 x 趋于 0 时,假如,那么这个值就是函数y fx在 x0 点的瞬时变化率 .在数学中,称瞬时变化率为函数 yfx在 x0 点的导数,通常用符号f x0表示,记作 f x0 .(2) 假如一个函数 fx在区间 a, b上的每一点x 处都有导数,导数值记为fx ： f x ,就 f x 是关于 x 的函数,称 f x为 f x的导函数,通常也简称为导数.2. 导数的几何意义函数 f x在点 x0 处的导数 f x0的几何意义是曲线y fx在点处的 .相应的,切线方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 几种常见函数的导数为实数 , f x. fx cc 为常数 , f x. f xx fx x,f x. fx x,f x. fx a>0, a 1, f x. fxf x. fx a>0, a 1, f x. fx x, f x.4.导数的运算法就如 f x, g x存在,就有 1 fx ±g x . 2 f x ·gx .3 gx 0. 1 x0代表函数 fx在 x x0 处的导数值. fx0 是函数值 fx0的导数,而函数值f x0是一个常数,其导数肯定为 0,即 f x0 0.2. 对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原就.在实施化简时,第一必需留意变换的等价性,防止不必要的运算失误 .3. 未知切点的曲线切线问题,肯定要先设切点,利用导数的几何意义表示切线的斜率建立方程.4. 利用公式求导时要特殊留意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.5. 求曲线切线时,要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区分,前者只有一条,而后者包括了前者.6. 曲线的切线与曲线的交点个数不肯定只有一个,这和争论直线与二次曲线相切时有差别.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 极值的判别方法： （极值是在x 0 邻近全部的点,都有f x f x0 ,就f x0 是函数f x 的极大值,微小值同理）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当函数f x 在点x0 处连续时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如在x0 邻近的左侧f ' x 0,右侧f ' x 0,那么f x0 是极大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如在x0 邻近的左侧f ' x 0,右侧f ' x 0,那么f x0 是微小值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_也就是说x0 是极值点的充分条件是x 0 点两侧导数异号, 而不是f ' x =0. 此外, 函数不行导的点也可能是函数的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_极值点 . 当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比微小值小（函数在某一点邻近的点不同） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注： 如点x0 是可导函数f x 的极值点, 就f ' x =0. 但反过来不肯定成立 . 对于可导函数, 其一点x0 是极值点的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_必要条件是如函数在该点可导,就导数值为零.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例如：函数 yf xx 3 , x0 使 f' x =0,但 x0 不是极值点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例如：函数 yf x| x| ,在点 x0 处不行导,但点x0 是函数的微小值点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_极值与最值区分 ：极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较. 5.导数与单调性（ 1）一般的,设函数y = f x在某个区间可导,假如f x > 0,就 f x 为增函数.假如f x < 0,就 f x为减函数.假如在某区间内恒有f x = 0,就 f x为常数.（ 2）对于可导函数y = f x来说, f x > 0是 f x 在某个区间上为增函数的充分非必要条件, f x < 0是 f x 在某个区间上为减函数的充分非必要条件.7 / 8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）利用导数判定函数单调性的步骤：求函数 f x 的导数 f x . 令 f x > 0解不等式,得x 的范畴,就是递增区间.令f x < 0解不等式,得 x 的范畴,就是递增区间.1. 求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯,可使问题直观且有条理,削减失分的可能.2. 求函数最值时,不行想当然的认为极值点就是最值点,要通过仔细比较才能下结论.3. 函数在给定闭区间上存在极值,一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.1. 用导数方法证明不等式fx> gx时,找到函数 hx fx gx 的零点是解题的突破口 .2. 在争论方程的根的个数、争论函数图像与x 轴或某直线 的交点个数、不等式恒成立等问题时,经常需要求出其中参数的取值范畴,这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极最值的应用 .3. 在实际问题中,假如函数在区间内只有一个极值点,那么只要依据实际意义判定是最大值仍是最小值即可,不必再与端点的函数值比较.8 / 8可编辑资料 - - - 欢迎下载