2022年高考数学一轮复习知识点归纳与总结变量间的相关关系与统计案例.docx

精品_精品资料_第三节变量间的相关关系与统计案例 备考方向要明白 考 什 么怎 么 考可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 会作两个相关变量的散点图, 会利用散点图熟悉变量之间的相关关系2. 明白最小二乘法的思想, 能依据给出的线性回来系数公式建立线性回来方程3. 明白独立性检验 只要求 2× 2 列联表 的基本思想、方法及其简洁应用4. 明白回来分析的基本思想、方法及其简洁应用.高考对本节内容的考查主要是线 性回来分析和独立性检验的统计 分析方法,三种题型都有可能出 现,难度中档,如20XX 年湖南T4,辽宁 T19 等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 两个变量的线性相关1正相关：归纳 ·学问整合 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在散点图中, 点散布在从左下角到右上角的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关(2) 负相关：在散点图中, 点散布在从左上角到右下角的区域,两个变量的这种相关关系称为负相关(3) 线性相关关系、回来直线假如散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线邻近,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回来直线探究 相关关系和函数关系有何异同点？提示： 1相同点：两者均是指两个变量的关系2 不同点：函数关系是一种确定的关系,而相关关系是一种非确定的关系函数关系是一种因果关系,而相关关系不肯定是因果关系,也可能是相伴关系2. 回来方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 最小二乘法：求回来直线使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法(2) 回来方程：a11, x22, xn方程 ybx 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据x , y, y,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ayn的回来方程,其中, b是待定参数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i 1 bxi xyi yxiyi n x yi 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 2n2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xi xi 1xi n xi1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ay b x .3. 残差分析(1) 残差： 对于样本点 x1,y1 ,x2,y2, xn,yn,它们的随机误差为ei yibxi a,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_eiiiixiiiii 1,2, n,其估量值为的残差 y y y b a, i 1,2, n, e 称为相应于点 x , y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 相关指数 R2 1ni 1yi y 2iy, R2 越大,意味着残差平方和越小,即模型的拟合效可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ni 1yi 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_果越好. R2 越小,残差平方和越大,即模型的拟合成效越差在线性回来模型中,R2 表示说明变量对于预报变量变化的奉献率,R2 越接近于 1,表示回来的成效越好4. 独立性检验(1) 分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这类变量称为分类变量(2) 列联表：列出两个分类变量的频数表,称为列联表假设有两个分类变量X 和 Y, 它们的可能取值分别为 x1, x2 和 y1, y2 ,其样本频数列联表 称为 2× 2 列联表 为2× 2 列联表：y1y2总计x1ababx2cdc d总计a cb da b c d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2K2n adbc其中 n a b c d 为样本容量 ,就利用独立性检验判可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a ba cb dc d断表来判定“ X 与 Y 的关系”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_自测 ·牛刀小试 1. 以下结论正确选项 函数关系是一种确定性关系.相关关系是一种非确定性关系.回来分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法.回来分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法A B CD 解析： 选 C由回来分析的方法及概念判定B 2.6D 02. 已知 x,y 的取值如下表, 从散点图可以看出y 与 x 线性相关, 且回来方程为 y 0.95xa,就 a x0134y2.24.34.86.7A.3.25C2.2解析： 选 Bx 2, y 4.5,由于回来方程经过点 x , y ,所以 a 4.5 0.95× 22.6.3. 工人月工资 y元关于劳动生产率 x千元的回来方程为 y 650 80x,以下说法中正确的个数是 劳动生产率为 1 000 元时,工资为730 元.劳动生产率提高1 000 元,就工资提高 80 元.劳动生产率提高1 000 元,就工资提高 730 元.当月工资为 810 元时,劳动生产率约为2 000 元A 1B 2C3D 4解析： 选 C将数据代入方程运算可判定正确4. 一位母亲记录了自己儿子3 9 岁的身高数据 略,由此建立的身高与年龄的回来模型为 y 7.19x 73.93,用这个模型猜测这个孩子10 岁时的身高,就正确的表达是A 身高肯定是 145.83 cm B身高在 145.83 cm 以上C身高在 145.83 cm 左右D身高在 145.83 cm 以下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 选 C用回来模型y 7.19x 73.93,只能作猜测,其结果不肯定是一个确定值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_相关关系的判定例 1在某的区的 12 30 岁居民中随机抽取了10 个人的身高和体重的统计资料如表：依据上述数据,画出散点图并判定居民的身高和体重之间是否有相关关系自主解答 以 x 轴表示身高, y 轴表示体重,可得到相应的散点图如下列图由散点图可知,两者之间具有相关关系,且为正相关5. 在吸烟与患肺病这两个分类变量的运算中,以下说法正确选项A 如 K2 的观测值为k 6.635,我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在100 个吸烟的人中必有99 人患有肺病B. 从独立性检验可知,有99%的把握认为吸烟与患肺病有关时,我们说某人吸烟,那么他有 99%的可能患有肺病C. 如从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系,是指有5% 的可能性使得推断显现错误D. 以上三种说法都不正确解析： 选 C依据独立性检验的思想知身高 cm143156159172165体重 kg4149617968身高 cm171177161164160体重 kg6974696854利用散点图判定相关关系的技巧(1) 在散点图中假如全部的样本点都落在某一函数的曲线上,就用该函数来描述变量间的关系,即变量之间具有函数关系(2) 假如全部的样本点都落在某一函数的曲线邻近,变量之间就有相关关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 假如全部的样本点都落在某始终线邻近,变量之间就有线性相关关系1变量 X 与 Y 相对应的一组数据为 10,1 ,11.3,2,11.8,3,12.5,4,13,5 .变量 U 与 V 相对应的一组数据为 10,5 , 11.3,4, 11.8,3, 12.5,2, 13,1 r 1 表示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数, r2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数,就 A r 2 r 1 0B 0 r2 r1Cr 20 r 1D r 2r 1解析： 选 C对于变量 Y 与 X 而言, Y 随 X 的增大而增大,故Y 与 X 正相关,即 r1>0. 对于变量 V 与 U 而言, V 随 U 的增大而减小,故V 与 U 负相关,即 r 2<0,所以有 r2<0< r 1.线性回来方程及其应用例 2某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据：单价 x元88.28.48.68.89销量 y件908483807568(1) 求回来直线方程 y bx a,其中 b 20,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ya b x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 估量在今后的销售中,销量与单价仍旧听从 1 中的关系, 且该产品的成本是4 元/件, 为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元？利润销售收入成本1自主解答 1 由于 x 6x1x2x3x4x5x6 8.5,6y 1y1 y2 y3 y4 y5 y6 80.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 a y b x 8020× 8.5 250,从而回来直线方程为y 20x 250.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设工厂获得的利润为L 元,依题意得L x 20x 250 4 20x 2502 20x 330x 1 000可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33 20 x 42 361.25.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当 x 8.25 时, L 取得最大值故当单价定为 8.25 元时,工厂可获得最大利润可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求回来直线方程时的留意点求回来方程,关键在于正确求出系数a,b,由于运算量较大,所以运算时要认真谨慎, 防止因运算产生失误,特殊留意,只有在散点图大体呈线性时,求出的回来方程才有意义2. 某种产品的广告费支出x 与销售额 单位：百万元 之间有如下对应数据：x24568y3040506070假如 y 与 x 之间具有线性相关关系1作出这些数据的散点图. 2求这些数据的线性回来方程.3猜测当广告费支出为9 百万元时的销售额 解： 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x 5, y 50,5xiyi 1 390,5ix2 145,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i 1i 15xiyi 5 x ·y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b522x 7, a y b x15,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i 5 xi 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线性回来方程为 y 7x15.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y3当 x 9 时, 78.即当广告费支出为9 百万元时,销售额为78 百万元独立性检验的基本思想及其应用例 32022 ·湖南衡阳其次次联考 衡阳市第一次联考后,某校对甲、乙两个文科班的数学考试成果进行分析,规定：大于或等于120 分为优秀, 120 分以下为非优秀统计成果可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_后,得到如下的 2× 2 列联表,且已知在甲、乙两个文科班全部110 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 3 .11甲班优秀10非优秀合计乙班合计30110(1) 请完成上面的列联表.(2) 依据列表中的数据,如按99.9%的牢靠性要求,能否认为“成果与班级有关系”. n ad bc 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_参考公式与临界值表：K2a bcdacbd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PK2 k00.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828自主解答 1 列联表如下：优秀非优秀合计甲班105060乙班203050合计3080110可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2依据列联表中的数据,得到K 2110× 10× 30 20× 50 27.486 10.828.60× 50× 30× 80可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此按 99.9% 的牢靠性要求,不能认为“ 成果与班级有关系”独立性检验的步骤(1) 依据样本数据制成2× 2 列联表n ad bc 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 依据公式 K 2a ba cb dc d运算 K2 的观测值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 比较 K2 与临界值的大小关系作统计推断3. 的震、海啸、洪水、森林大火等自然灾难频繁显现,紧急避险常识越来越引起人们的重视, 某校为了明白同学对紧急避险常识的明白情形,从七年级和八年级各选取100 名同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学进行紧急避险常识学问竞赛图1 和图 2 分别是对七年级和八年级参与竞赛的同学成果按40,50 , 50,60 , 60,70 ,70,80 分组,得到的频率分布直方图(1) 分别运算参与这次学问竞赛的两个年级同学的平均成果注：统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表.(2) 完成下面 2× 2 列联表, 并回答是否有99%的把握认为“两个年级同学对紧急避险常识的明白有差异”？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_七年级八年级合计附： K2成果小于 60 分人数成果不小于 60 分人数合计n ad bc 2.临界值表：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a bc da cb dPK2k0.100.050.010k2.7063.8416.635解： 1七年级同学竞赛平均成果为45× 30 55× 4065× 2075× 10 ÷100 56,八年级同学竞赛平均成果为45× 15 55× 3565× 3575× 15 ÷100 60.22× 2 列联表如下：成果小于 60 分人数成果不小于 60 分人数合计可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2K 200× 50× 70 50× 30七年级7030100八年级5050100合计120280200100× 100× 120×80 8.333>6.635.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有 99%的把握认为 “ 两个年级同学对紧急避险常识的明白有差异”1 种求法 相关关系的判定和线性回来方程的求法(1) 函数关系一种抱负的关系模型,而相关关系是一种更为一般的情形(2) 假如两个变量不具有线性相关关系,即使求出回来直线方程也毫无意义,而且用其进行估量和猜测也是不行信的(3) 回来直线方程只适用于我们所讨论的样本的总体样本的取值范畴一般不超过回来直线方程的适用范畴,否就就没有有用价值1 个难点 独立性检验思想的懂得独立性检验的思想类似于反证法,即要确定“两个变量X 和 Y 有关系”这一结论成立的可信度, 第一假设结论不成立,即它们之间没关系,也就是它们是相互独立的,利用概率n ad bc 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的乘法公式可推知, ad bc接近于零,也就是随机变量K2应当a bc da cb d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_很小,假如运算出的K2 的观测值 k 不是很小,通过查表PK2 k0的概率很小又依据小概率大事不行能发生,由此判定假设不成立,从而可以确定的断言X 与 Y 之间有关系 .答题模板 概率与统计的综合问题典例 2022 辽宁高考改编 ·满分 12 分 电视传媒公司为明白某的区观众对某类体育节目的收视情形,随机抽取了100 名观众进行调查,其中女性有55 名下面是依据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40 分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育迷”中有 10 名女性(1) 依据已知条件完成下面的2× 2 列联表, 并据此资料判定是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_非体育迷 体育迷 合计男女 合计(2) 将日均收看该体育节目不低于50 分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育迷”中有 2 名女性,如从“超级体育迷”中任意选取2 人,求至少有1 名女性观众的概率n ad bc 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_附 K2,a bcda cbd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PK2 k0.050.01k3.8416.635可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第1问1. 审条件,挖解题信息 快速规范审题 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_观看条件 ： 100 名观众收看节目时间的频率分布直方图及日均收看时间不低于40 分钟借助直方图可确定的观众称为体育迷,女体育迷10 名非体育迷及体育迷人数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 审结论,明确解题方向观看所求结论 ：完成 2× 2 列联表并判定“体育迷”与性别的相关性c,d 及 K2 的值3. 建联系,找解题突破口需要确定 a,b,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由直方图及条件确定体育迷与非体育迷人数完成列联表 运算 K 2 可判定结论第2问1. 审条件,挖解题信息可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_观看条件 ：确定“超级体育迷”标准且有2由频率分布直方图确名女性“超级体育迷” 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定“超级体育迷”的人数2. 审结论,明确解题方向分类分析观看结论： 从“超级体育迷”中任取2 人求至少有 1 名女性观众的概率 1名女性观众或两名女性观众3. 建联系,找解题突破口列举法列举出由频率分布直方图确定“超级体育迷”的人数 全部基本领件并计数为n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_和至少有 1 名女性的基本领件,计数为m代入 P mn求概率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 精确规范答题 1由频率分布直方图可知,在抽取的100 人中, “体育迷 ”有 25 人,从而完成 2× 2列联表如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_非体育迷体育迷合计忽视直方图纵轴表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为组距男301545女451055.3 分合计7525100频率导致每组人数运算失误 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将 2×2 列联表中的数据代入公式运算,得K 22K2 的运算不准可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_100× 30× 1045× 1575× 25× 45× 5510033 3.030.由于 3.030 3.841,所以我们确、导致结果判可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_没有 95%的把握认为“体育迷”与性别有关.6 分2由频率分布直方图可知, “超级体育迷”为5 人,从而一切可能结果所组成的基本领件为a1,a2,a1,a3,a2,a3 ,a1, b1,a1,b2,a2,b1,a2,b2,a3,b1,a3,b2, b1, b2, 其中 ai 表示男性, i1,2,3, bj 表示女性, j 1,2.9 分由 10 个基本领件组成, 而且这些基本领件的显现是等可能的用 A 表示“ 任选 2 人中,至少有 1 人是女性 ”这一大事, 就 A 为a1, b1, a1, b2, a2,b1 , a2, b2, a3, b1, a3, b2, b1, b2, .11 分分由 7 个基本领件组成,因而PA 7 .1210断出错 .1. “ 超级体育迷” 人数运算错误导致失误 2由 5 人中任取 2 人列举出全部可能结果时重 复或遗漏某一情形导致 失误可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 答题模板速成 解决概率与统计的综合问题的一般步骤：第一步.其次.第三.第四.第五步.第六步可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_步步步可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_理清题意,懂得问题中的条件和结 论特殊是直方图中给定的信息,找关键量由直方图确定所需的数据, 列出2×2列联表确定基本利用大事独立 总数性检 及所验的 求事步骤 件所进行 含基判定 本领件的个数利用概率公式求大事的概率反思回忆、检查关键点易错点及答题规范可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、挑选题 本大题共 6 小题,每道题 5 分,共 30 分 1以下关系中,是相关关系的为同学的学习态度与学习成果之间的关系.老师的执教水平与同学的学习成果之间的关系.同学的身高与同学的学习成果之间的关系.家庭的经济条件与同学的学习成果之间的关系A B CD 解析： 选 A中同学的学习态度与学习成果之间不是因果关系,但具有相关性是相关关系老师的执教水平与同学的学习成果之间的关系是相关关系都不具备相关关系22022 ·新课标全国卷 在一组样本数据 x1,y1,x2,y2,xn,ynn 2,x1,x2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 不全相等 的散点图中,如全部样本点 x ,y i 1,2, n都在直线 y1 1 上,就这可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_niix2组样本数据的样本相关系数为A 1B 01C.2D 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 选 D由于全部的点都在直线上,所以它就是确定的函数关系,所以相关系数为1.3. 已知回来直线的斜率的估量值为1.23,样本点的中心为 4,5,就回来直线方程为 A. y 1.23x 4B.y 1.23x 5C.y 1.23x 0.08D.y 0.08x 1.23解析： 选 C因回来直线方程必过样本点的中心 x , y ,将点 4,5代入 A、 B、C 检验可知4. 为明白儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取5 对父子的身高数据如下：父亲身高 xcm174176176176178儿子身高 ycm175175176177177就 y 对 x 的线性回来方程为A y x 1B y x 12Cy 881xD y 176解析： 选 C设 y 对 x 的线性回来方程为 y bx a, 2× 1 0× 1 0× 00× 1 2× 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 b 2 2 22 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 176 1× 176 88,所以 y 对 x 的线性回来方程为y1 88.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22x5. 有人发觉,多看电视简洁使人变冷漠,下表是一个调查机构对此现象的调查结果：冷漠不冷漠总计多看电视6842110少看电视203858总计8880168就大约有多大的把握认为多看电视与人变冷漠有关系A 99%B 97.5%C95%D 90%解析： 选 A可运算 K 2 11.377>6.635.6. 通过随机询问110 名性别不同的行人,对过公路是情愿走斑马线仍是情愿走人行天桥进行抽样调查,得到如下的列联表：男女总计可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_走天桥402060走斑马线203050总计6050110可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 K2n ad bc 2,a bcda cbd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_算得 K 2110× 40× 30 20× 20 260× 50×60× 50附表：PK2 k0.0500.0100.001k3.8416.63510.828对比附表,得到的正确结论是 7.8.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 有 99%以上的把握认为“挑选过公路的方式与性别有关” B有 99%以上的把握认为“挑选过公路的方式与性别无关”C在犯错误的概率不超过0.1% 的前提下,认为“挑选过公路的方式与性别有关”D在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“挑选过公路的方式与性别无关” 110× 40× 3020× 20 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 选 AK260× 50× 60× 50 7.8>6.635 ,有 99%以上的把握认为 “ 选可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_择过公路的方式与性别有关”二、填空题 本大题共 3 小题,每道题 5 分,共 15 分 7经调查某的如干户家庭的年收入x万元 和年饮食支出y万元 具有线性相关关系,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_并得到 y 关于 x 的线性回来直线方程：y 0.245x 0.321,由回来直线方程可知,家庭年收可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_入每增加 1 万元,年饮食支出平均增加 万元解析： x 变为 x 1,y 0.245 x 10.321 0.245x 0.321 0.245,因此家庭年收入每增加 1 万元,年饮食支出平均增加0.245 万元答案： 0.2458. 为明白篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月 1 号到 5 号每天打篮球时间x单位：小时 与当天投篮命中率y 之间的关系：时间 x12345命中率 y0.40.50.60.60.4小李这 5 天的平