2022年高考数学难点突破_难点__函数中的综合问题 .docx

精品_精品资料_<2022高考备战冲刺指导）难点11 函数中的综合问题函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一,一般难度较大,考查内容和形式敏捷多样 .本节课主要帮忙考生在把握有关函数学问的基础上进一步深化综合运用学问的才能,把握基本解题技巧和方法,并培育考生的思维和创新才能.难点磁场 >设函数 fx>的定义域为 R,对任意实数 x、y都有 fx+y>=fx>+ fy>,当x>0时f x><0且f3>= 4.1>求证： fx>为奇函数.2>在区间 9, 9上,求 fx>的最值 .案例探究例 1设 fx>是定义在 R上的偶函数,其图象关于直线x=1 对称,对任意 x1、 x2 0, ,都有fx1+x2>= fx1>·f x2>,且f1>= a>0.1>求f>、f>. 2>证明 fx>是周期函数. 3>记an=f n+>,求命题意图：此题主要考查函数概念,图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等学问,仍考查运算才能和规律思维才能.学问依靠：仔细分析处理好各学问的相互联系,抓住条件f x1+x2>= fx1>·fx2>找到问题的突破口 .错解分析：不会利用 f x1+x2>=fx1>·fx2 >进行合理变形 .技巧与方法：由 fx1+x2>=fx1>·fx2>变形为是解决问题的关键 .1解：由于对 x1,x2 0, ,都有fx1+x2>=fx1>·fx2>,所以fx>= 0,x 0,1又由于 f1>= f+>= f>·f>= f> 2f>= f+>=f>·f>= f<） 2又f1>= a>0 f>=a,f>=a2>证明：依题意设 y=fx>关于直线 x=1 对称,故 fx>= f1+1 x>,即fx>=f2 x>,x R.又由 fx>是偶函数知 fx>=f x>,x R f x>=f2 x>,x R.将上式中 x以x代换得 fx>=fx+2> ,这说明 fx>是R上的周期函数,且2是它的一个周期 .3>解：由 1>知f x> 0x, 0,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f>=f n· >= f+n 1>>=f>·fn 1>·>=f>·f>··f>= f> n=a f>= a.又 fx>的一个周期是 2 f2n+>=f>,因此an=a例 2甲、乙两的相距 S千M ,汽车从甲的匀速驶到乙的,速度不得超过c千M/ 小时, 已知汽车每小时的运输成本以元为单位 >由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度vkm/h> 的平方成正比,比例系数为b,固定部分为 a元.1>把全程运输成本 y元>表示为 vkm/h> 的函数,并指出这个函数的定义域. 2>为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶？命题意图：此题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等学问,仍考查同学综合运用所学数学学问解决实际问题的才能.学问依靠：运用建模、函数、数形结合、分类争论等思想方法.错解分析：不会将实际问题抽象转化为详细的函数问题,易忽视对参变量的限制条件.技巧与方法：四步法：1> 读题. 2> 建模. 3> 求解. 4> 评判 .解法一： 1> 依题意知,汽车从甲的匀速行驶到乙的所用时间为,全程运输成本为 y=a2· +bv · =S+bv>所求函数及其定义域为y=S+bv>,v 0,c. 2>依题意知, S、a、b、v均为正数 S+bv>2S当且仅当=bv,即v=时,式中等号成立 .如c就当 v=时,有 y min.如>c,就当 v 0, c时,有 S+bv> S+bc>=S >+ bvbc> =c v>abcv>可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ c v0且,22c>bc, a bcvabc >0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ S+bv>S+bc>,当且仅当 v=c时等号成立,也即当 v=c时,有 ymin.综上可知,为使全程运输成本y最小,当c时,行驶速度应为v=,当>c时行驶速度应为 v=c.解法二： 1> 同解法一 . 2>函数 y=x+k>0>,x 0,+ 当>, x 0,>时, y单调减小,当 x ,+ >时y单调增加,当 x=时y取得最小值,而全程运输成本函数为y=Sbv+>,v 0,c.当c时,就当 v=时, y最小,如>c时,就当 v=c时, y最小 .结论同上 .锦囊妙计在解决函数综合问题时,要仔细分析、处理好各种关系,把握问题的主线,运用相关的学问和方法逐步化归为基本问题来解决,特别是留意等价转化、分类争论、数形结合等思想的综合运用 .综合问题的求解往往需要应用多种学问和技能.因此,必需全面把握有关的函数学问,并且严谨审题,弄清题目的已知条件,特别要挖掘题目中的隐含条件.消灭难点训练一、挑选题1. >函数 y=x+a与y=log ax的图象可能是 >2. >定义在区间 ,+ 的>奇函数 fx>为增函数,偶函数 gx>在区间 0,+>的图象与 fx>的图象重合,设 a>b>0, 给出以下不等式： fb> f a>> ga> gb> f b> f a><ga> g b>fa> f b>>gb> g a> fa> f b><gb> g a>其中成立的是 >A. 与 B.与 C.与 D.与 二、填空题3. >如关于 x的方程 22x+2xa+a+1=0 有实根,就实数 a的取值范畴是.三、解答题4. >设a为实数,函数 fx>=x2+|x a|+1,x R. 1>争论 fx>的奇偶性.2>求fx>的最小值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. >设fx>=.1>证明： fx>在其定义域上的单调性.-12>证明：方程 f x>=0 有惟一解.3>解不等式 f xx> <.6. >定义在 1, 1>上的函数 fx>满意对任意 x、y 1,1>,都有 fx>+fy>=f>.当 x 1,0> 时,有 fx>>0.求证：.7. >某工厂拟建一座平面图如下图 >为矩形且面积为 200平方 M 的三级污水处理池,由于的势限制,长、宽都不能超过16M ,假如池外周壁建造单价为每M400 元,中间两条隔墙建造单价为每M248 元,池底建造单价为每平方M80 元池壁厚度忽视不计,且池无盖 >.1>写出总造价 y元>与污水处理池长 xM> 的函数关系式,并指出其定义域.2>求污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低？并求最低总造价. 8. >已知函数 fx>在 ,0> 0,+ 上>有定义,且在 0,+ 上>是增函数, f1>=0, 又g>=sin2mcos 2m, 0, ,设M= m|g><0, m R, N= m|f g> <0, 求M N.学法指导怎样学好函数学习函数要重点解决好四个问题：精确深刻的懂得函数的有关概念.揭示并熟悉函数与其他数学学问的内在联系.把握数形结合的特点和方法.熟悉函数思想的实质,强化应用意识 .一>精确、深刻懂得函数的有关概念概念是数学的基础,而函数是数学中最主要的概念之一,函数概念贯穿在中学代数的始终 .数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数.近十年来,高考试卷中始终贯穿着函数及其性质这条主线.二>揭示并熟悉函数与其他数学学问的内在联系.函数是争论变量及相互联系的数学概念,是变量数学的基础,利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容 .在利用函数和方程的思想进行思维中,动与静、变量与常量如此生动的辩证统一,函数思维实际上是辩证思维的一种特别表现形式.所谓函数观点,实质是将问题放到动态背景上去加以考虑.高考试卷涉及 5个方面： 1>原始意义上的函数问题.2>方程、不等式作为函数性质解决.3>数列作为特别的函数成为高考热点. 4>帮助函数法. 5>集合与映射,作为基本语言和工具显现在试卷中.三>把握数形结合的特点和方法函数图象的几何特点与函数性质的数量特点紧密结合,有效的揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性,表达了数形结合的特点与方法,为此, 既要从定形、定性、定理、定位各方面精确的观看图形、绘制图形,又要娴熟的把握函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图象的平移变换、对称变换.四>熟悉函数思想的实质,强化应用意识函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象,抽象数量特点,建立函数关 系,求得问题的解决 .纵观近几年高考题,考查函数思想方法特别是应用题力度加大,因此肯定要熟悉函数思想实质,强化应用意识.参考答案难点磁场1）证明：令 x=y=0,得f0>=0令y= x,得f0>= fx>+f x>,即f x>= fx> fx>是奇函数2）解： 1°,任取实数 x1、x2 9,9且 x1x2,这时, x2 x1>0,fx1 > f x2>=f x1 x2>+ x2 fx2>= fx1x 2>+ fx2> f x1>=fx2 x1>由于 x>0时fx>0, f x1> fx2>>0 fx>在 9,9上是减函数故fx>的最大值为 f 9>,最小值为 f 9>.而f9>= f3+3+3>=3 f3>= 12,f 9>= f9>=12. fx>在区间 9, 9上的最大值为 12,最小值为 12.消灭难点训练一、 1.解读：分类争论当a>1 时和当 0 a 1时.答案： C2.解读：用特值法,依据题意,可设fx>=x,gx>=|x|,又设a=2,b=1,就fa>=a,ga>=|a|,fb>= b,gb>=|b|,fa> fb>=f 2> f 1>=2+1=3.gb> g a>=g1> g 2>=1 2= 1. f a>f b>>g1> g 2>=1 2= 1.又fb> f a>= f1> f2>=1+2=3.ga> g b>=g2> g1>=2 1=1, fb> f a>= ga>gb>.即与成立 .答案： C二、 3.解读：设 2x2=t>0,就原方程可变为 t +at+a+1=0 方程有两个正实根,就解得： a 1,22.答案： 1, 2 2三、 4.解： 1> 当a=0时,函数 f x>= x>2 +| x|+1= fx>,此时 f x>为偶函数.当 a0时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,fa>=a2+1,f a>=a2+2|a|+1,f a>fa>,f a> fa>.此时函数 fx>既不是奇函数也不是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_偶 函数 .2>当 xa时,函数 fx>=x2 x+a+1= x>2+a+,如a ,就函数 fx>在 ,a上单调递减,从而,函数 fx>在 ,a上的最小值为 fa>=a2+1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如a>,就函数 fx>在 ,a上的最小值为 f>=+a,且f>fa当 xa时,函数 f x>= x2+xa+1= x+>2 a+.当 a时,就函数 f x>在 a,+ 上的最小值为 f >= a,且f>fa>.如a>就函数 fx>在 a,+ >上单调递增,从而,函数 f x>在 a,+ 上的最小值为 fa>=a2+1.综上,当 a时,函数 fx>的最小值是 a,当 a 时,函数 fx>的最小值是a2+1 .当a>时,函数 fx>的最小值是 a+.5.1> 证明：由得fx>的定义域为 1, 1>,易判定 fx>在 1, 1>内是减函数.2>证明： f0>=, f- 1>=0, 即 x=是方程 fx>=0 的一个解 .如方程 f- 1- 1x>=0 仍有另一个解 x0,就f- 1x0 >=0,由反函数的定义知 f0>= x0,与已知冲突,故方程f- 1x>=0有惟一解 .3>解： f xx>,即f xx> f0>.6.证明：对 f x>+ fy>=f>中的 x,y,令x=y=0, 得f0>=0, 再令y= x,又得fx>+f x>=f0>=0, 即fx>=fx>,fx>在x 1,1>上是奇函数 .设 1x1x20,就fx1>fx2>=fx1>+fx2>=f>, 1 x1 x2 0,x1 x2 0,1 x1x2>0. 0,于是由知 f>从而 fx1> fx2>>0,即fx1>>fx2>,故fx>在x1,0> 上是单调递减函数 .依据奇函数的图象关于原点对称,知fx>在x 0,1> 上仍是递减函数,且 fx> 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7.解： 1>因污水处理水池的长为 xM,就宽为M,总造价 y=4002x+2×>+248 ××2+80 ×200=800 x+>+1600, 由题设条件解得 12.5 x 16即, 函数定义域为12.5,16 .2>先争论函数 y=fx>=800 x+>+16000 在 12.5,16上的单调性,对于任意的x1,x2 12.5,16 ,不妨设 x1 x2 ,就f x2> fx1>=800 x2 x1>+324> =800 x2 x1>1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_>,12.5 x1x2 16.0x 1x2 162 324,>1,即1 0.又x2 x1 >0, f x2>可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx1> 0,即fx2> fx1>,故函数 y=fx>在 12.5,16上是减函数 .当 x=16 时, y取得最小值,此时, ymin =80016+>+16000=45000 元>,=12.5M ）综上,当污水处理池的长为16M ,宽为 12.5M 时,总造价最低,最低为45000元 . 8.解： fx>是奇函数,且在 0,+ 上>是增函数, f x>在 ,0>上也是增函数 .又f1>=0, f 1>= f1>=0, 从而,当 fx> 0时,有 x 1或0 x 1,就集合 N= m|f g> = m|g> 1或0 g> 1, 2M N= m|g> 1.由g> 1,得cos>mcos 2>+2, 0, ,令 x=cos,x0,1得： x2>mx 2>+2,x 0,1,令： y1=x2,x 0,1及 y2=mm 2>+2,明显 为抛物线一段,是过2, 2>点的直线系,在同一坐标系内由x 0,1得 y1>y2. m>4 2,故M N= m|m>4 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载