2022年高考数学必胜秘诀在哪――概念,方法,题型,易误点及应试技巧总结五,平面向量 .docx

精品_精品资料_高考数学必胜要领在哪？概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结五、平面对量1、向量有关概念 ：（ 1）向量的概念 ：既有大小又有方向的量,留意向量和数量的区分.向量常用有向线段来表示,留意 不能说向量就是有向线段,为什么？（向量可以平移） .如已知 A（ 1,2）,B（4,2）,就把向量AB 按向量 a （ 1,3）平移后得到的向量是 （答：（ 3,0 ）（ 2）零向量 ：长度为 0 的向量叫零向量,记作：0 ,留意 零向量的方向是任意的.（ 3） 单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 与 AB 共线的单位向量是AB .| AB |（ 4）相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性.（ 5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、 b 叫做平行向量,记作： a b ,规定零向量和任何向量平行.提示 ：相等向量肯定是共线向量,但共线向量不肯定相等. 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 , 但两条直线平行不包含两条直线重合.平行向量无传递性 ；（由于有 0 .三可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 A、B、C共线AB、AC共线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 6）相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a 的相反向量是 a .如以下命题：（1）如 ab ,就 ab .（ 2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同. （ 3）如 ABDC ,就 ABCD 是平行四边形. （ 4）如 ABCD 是平行四边形,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 ABDC .（ 5）如 abb,（答：（ 4）（ 5）c,就 ac .（6）如 a/ b, b/c,就a/ c .其中正确选项 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、向量的表示方法 ：（ 1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示,如AB ,留意起点在前,终点在后. （ 2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示,如a , b , c 等.（ 3） 坐标表示法： 在平面内建立直角坐标系,以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i , j 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_基底,就平面内的任一向量a 可表示为axiy jx, y ,称x, y 为向量 a 的坐标, a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x, y 叫做向量 a 的坐标表示. 假如 向量的起点在原点 ,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.3. 平面对量的基本定理 ：假如 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_内的任一向量a,有且只有一对实数1 、 2 ,使 a=1 e12 e2. 如（ 1） 如 a1,1,b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1, 1,c1,2 ,就 c （答： 1 a3 b ）.（ 2） 以下向量组中,能作为平面内全部可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量基底的是A.e10,0, e21, 2B.e1 1,2, e25,7C.e13,5, e26,10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D.e2,3, e 1 ,3 （答： B ）.（ 3） 已知AD, BE 分别是ABC 的边BC, AC 上的中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线,且ADa, BEb ,就 BC 可用向量a,b 表示为（答： 2 a4b ）.（ 4）已知 ABC 中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 D 在 BC 边上,且CD2 DB , CDr ABs AC,就 rs 的值是 （答： 0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、实数与向量的积 ：实数与向量 a 的积是一个向量,记作a ,它的长度和方向规可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定如下：1aa , 2当>0 时,a 的方向与 a 的方向相同,当<0 时,a 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方向与 a 的方向相反,当0 时,a0 , 留意 ：a 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、平面对量的数量积：（ 1）两个向量的夹角：对于非零向量 a , b ,作OAa,OBb ,AOB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0称为向量 a , b 的夹角,当 0 时, a , b 同向,当时, a , b 反向,当 时, a , b 垂直.2（ 2） 平面对量的数量积：假如两个非零向量a , b ,它们的夹角为,我们把数量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| a | b | cos叫做 a 与 b 的数量积 （或内积或点积） ,记作： ab ,即 ab a b cos.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_规定：零向量与任一向量的数量积是0,留意数量积是一个实数,不再是一个向量.如（ 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABC中,| AB |3 , | AC |4 , | BC |5 ,就 ABBC （答： 9）.（ 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知 a11,就 k 等于 （答： 1）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1, ,b0, cakb , dab , c 与 d 的夹角为224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3） 已知 a2, b5, a b3 ,就 ab 等于（答：23 ）.（ 4） 已知a, b 是两个非可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_零向量,且abab ,就 a与ab的夹角为（答： 30 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3） b 在 a 上的投影 为 |b |cos,它是一个实数,但不肯定大于0.如已知 | a |3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| b |5 ,且 a b12 ,就向量 a 在向量 b 上的投影为（答：12 ）5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4） ab 的几何意义 ：数量积 ab 等于 a 的模 | a | 与 b 在 a 上的投影的积.（ 5）向量数量积的性质 ：设两个非零向量 a , b ,其夹角为,就： abab0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2当 a , b 同向时, ab a b ,特殊的, a22aaa, aa.当 a 与 b 反可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向时, ab a b .当为锐角时, ab 0,且 a、b 不同向, a b0 是 为锐角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的必要非充分条件 .当为钝角时, ab 0,且 a、b 不反向, a b要非充分条件 .0 是为钝角的必可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_非零向量 a , b 夹角的运算公式： cosaba b. | ab | | a | b | .如（ 1）已知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a,2 , b3 ,2,假如 a 与 b 的夹角为锐角,就的取值范畴是 （答：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 或0 且1 ）.（ 2）已知OFQ 的面积为 S ,且 OFFQ1 ,如 1S3 ,3322可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 OF , FQ夹 角的 取 值 范 围 是（ 答 ： ,43）.（ 3 ） 已 知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a c o xs, sx i nb ,y c oays与 b 之间有关系式kab3 akb, 其中 k0 ,用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 表 示 a b . 求 a b 的 最 小 值 , 并 求 此 时 a 与 b 的 夹 角的 大 小 （ 答 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a bk21 k4k0 .最小值为1 ,60 ）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、向量的运算 ：（ 1）几何运算 ：向量加法：利用“平行四边形法就”进行,但“平行四边形法就”只适用于不共线的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量,如此之外,向量加法仍可利用“三角形法就”：设做 a 与 b 的和,即 abABBCAC .ABa, BCb ,那么向量 AC 叫可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量的减法：用“三角形法就”：设ABa, ACb, 那么abABACCA ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由减向量的终点指向被减向量的终点.留意：此处减向量与被减向量的起点相同.如（ 1） 化简： ABBCCD . ABADDC . ABCD ACBD （答： AD . CB . 0 ）.（ 2）如正方形 ABCD 的边长为 1, ABa, BCb, ACc ,就 | abc | （答：22 ）.（ 3 ） 如 O 是ABC 所 在平面 内一 点,且 满意OBOCOBOC2OA ,就 ABC 的外形为 （答：直角三角形） .（ 4） 如 D 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABC 的边 BC 的中点,ABC 所在平面内有一点P ,满意| AP |PABPCP0 ,设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| PD |,就的值为 （答： 2）.（ 5）如点 O 是 ABC 的外心,且OAOBCO0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 ABC 的内角 C 为 （答： 120 ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）坐标运算 ：设 ax1, y1,b x2, y2 ,就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 向量的加减法运算： ab x1x2 , y1y2 .如（ 1） 已知点A2,3, B5,4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 7,10 ,如APABACR ,就当时,点 P 在第一、 三象限的角平分线上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（答： 1 ）.（ 2） 已知21A2,3, B1,4, 且 AB2sinx,cos y , x, y, ,就 xy 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（答：或）.（3） 已知作用在点62A1,1的三个力 F13,4, F22,5, F33,1 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_合力 FF1F2F3 的终点坐标是（答：（ 9,1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 实数与向量的积 ：ax1, y1x1,y1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 A x1, y1, B x2,y2 ,就 ABx 2x 1 y, 2y 1,即一个向量的坐标等于表示这个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.如设A2,3, B 1,5 ,且 AC1AB ,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1,7,9AD3AB ,就 C、D 的坐标分别是（答：11）.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 平面对量数量积 ： abx1 x2y1y2 .如已知向量 a （ sinx, cosx） ,b （ sinx ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinx）,c （ 1,0）.（ 1）如 x,求向量 a 、 c 的夹角.（ 2）如 x 33, ,函数84可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xa b 的最大值为1 ,求的值（答：21150 ;21 或21 ）.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 向量的模 ：222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| a |xy , a| a |xy .如已知a, b 均为单位向量,它们的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_夹角为 60 ,那么 | a3b | （答：13 ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 两点间的距离 ：如A x1, y1, B x2 , y2,就 | AB |2x2x1y2y12.如如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图,在平面斜坐标系xOy 中,xOy60 ,平面上任一点 P 关于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_斜坐标系的斜坐标是这样定义的：如 OPxe1ye2,其中e1,e2 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_别为与 x 轴、 y 轴同方向的单位向量,就P 点斜坐标为 x, y .（ 1） 如点 P 的斜坐标为（ 2, 2）,求 P 到 O 的距离 PO.（ 2）求以 O 为圆心, 1 为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程.（答：（ 1） 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） x2y 2xy10 ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、向量的运算律 ：（ 1）交换律： abba ,aa , abba .2结合律： abcabc, abcabc , ababab .（ 3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_安排律：aaa,abab, abcacbc . 如以下命可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题中：a bc a bac .a b c a bc . ab 2| a |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 | a | | b | b |2. 如 a b0 , 就 a0 或 b0 . 如a bc b,就 ac .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22a bb222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ aa .2a. a baab . aba2a bb .其中正确选项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ （答：）提示：（ 1）向量运算和实数运算有类似的的方也有区分：对于一个向量等式, 可以移项,两边平方、 两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相除 相约 .（ 2）向量的“乘法”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不满意结合律 ,即abcabc ,为什么？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8、向量平行 共线 的充要条件 ：a / baba b2| a |b |2x1 y2y1 x2 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如1 如向量 ax,1, b4, x ,当 x 时 a 与 b 共线且方向相同（答：2）.（ 2） 已可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_知 a1,1,b4, x , ua2b , v2ab ,且u / v ,就 x（答： 4）.（ 3） 设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PA k,12, PB4,5, PC10, k ,就 k时, A,B,C 共线（答： 2 或 11）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9、向量垂直的充要条件： aba b0| ab | | ab |x1 x2y1 y20 .特殊可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的 ABAC ABAC .如1 已知 OA 1,2, OB3,m ,如 OAOB ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABACABAC3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m（ 答：2）.（ 2）以原点 O 和 A4,2 为两个顶点作等腰直角三角形OAB , B90 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就点 B 的坐标是 （ 答：1,3或（3, 1）.（ 3）已知 na,b, 向量 nm ,且 nm ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 m 的坐标是（答： b,10. 线段的定比分点 ：a或b, a ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）定比分点的概念 ：设点 P 是直线 P1 P 2 上异于 P1 、P2 的任意一点,如存在一个实可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数,使P1PPP2 ,就叫做点 P 分有向线段P1P2 所成的比, P 点叫做有向线段P1P2 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以定比为的定比分点.（ 2）的符号与分点 P 的位置之间的关系：当 P 点在线段 P1 P 2 上时>0.当 P点在线段P 1 P 2 的延长线上时<1.当 P点在线段 P 2 P1 的延长线上时10 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如点 P 分有向线段P1P2 所成的比为,就点 P 分有向线段P P 所成的比为1 .如如点 P 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 1AB 所成的比为 34,就 A 分 BP 所成的比为（答：7 ）3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）线段的定比分点公式：设P1 x1,y1 、P2 x2, y2, P x, y分有向线段P1P2 所成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的比为,就xx11x212,特殊的,当 1时,就得到线段PP的中点公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yy1y2 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x x1x2 2y y1y2 2.在使用定比分点的坐标公式时,应明确 x, y , x1 , y1 、 x2 ,y2 的意义,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即分别为分点,起点,终点的坐标.在详细运算时应依据题设条件,敏捷的确定起点,分点1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_和终点,并依据这些点确定对应的定比.如（1）如 M（ -3,-2）,N（ 6,-1）,且MPMN, 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就点 P 的坐标为（答：6,7 ）.（ 2） 已知3Aa,0, B3,2a ,直线 y1ax 与2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线段 AB 交于 M ,且 AM2MB ,就 a 等于（答：或）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 平移公式 ：假如点P x, y按向量ah, k 平移至P x , y ,就xxhyyk.曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x, y0 按向量ah, k 平移得曲线f xh,yk 0 .留意 ：（ 1） 函数按向量平移与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊；如（ 1）按向量a 把 2,3 平移到 1, 2 ,就按向量 a 把点 7,2 平移到点 （答：（,） ）.（ 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 ysin2 x 的图象按向量a 平移后,所得函数的解析式是ycos 2x1 ,就 a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ （答： ,1 ）4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12、向量中一些常用的结论：（ 1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要留意运用.（ 2） | a | b | | ab | | a | b |,特殊的,当 a、b 同向或有 0| ab | | a |b |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| a | b | | ab |.当 a、b 反向或有 0| ab | |a| b| a|b| |a|b.当 a、b 不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_共线|a|b| |a|b |a| b 这些和实数比较类似 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3 ） 在ABC 中 , 如A x1, y1, B x2, y2,Cx3 , y3, 就 其 重 心 的 坐 标 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Gx1x2x3 , y1y2y3.如如 ABC的三边的中点分别为 （ 2,1）、（ -3 ,4）、（ -1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33-1 ）,就 ABC的重心的坐标为（答：2 4, ）. 3 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ PG1 PAPBPC 3G 为 ABC 的重心,特殊的PAPBPC0P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 ABC 的重心. PA PBPBPCPCPAP 为 ABC 的垂心.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量直线 .AB| ABAC| AC0 所在直线过ABC的内心 是BAC 的角平分线所在|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ | AB | PC| BC| PA| CA | PB0PABC 的内心.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3 ） 如 P分 有 向 线 段P1P2所 成 的 比 为, 点 M 为 平 面 内 的 任 一 点 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_MPMP1 1MP2,特殊的 P 为P1P2 的中点MPMP1MP2 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4 ） 向 量 PA、PB、PC中 三 终 点 A、B、C共 线存 在 实 数、使 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P AP BP且C1 . 如 平 面 直 角 坐 标 系 中 , O 为 坐 标 原 点 , 已 知 两 点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1,3 , 如点 C 满意 OC1 OA2 OB , 其中 1 ,2R 且12A3,1 , B1 , 就点C 的轨迹是（答：直线 AB）可编辑资料 - - - 欢迎下载