高中数学竞赛解题方法篇(不等式)(13页).doc

-高中数学竞赛解题方法篇(不等式)-第 12 页高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。 希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.1排序不等式定理1设，则有 (倒序积和)（乱序积和）（顺序积和）其中是实数组一个排列，等式当且仅当或时成立.（说明： 本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记。 不等式 的意义：当时，S达到最大值.因此，首先证明必须和搭配，才能使S达到最大值.也即，设且和某个搭配时有 （1-1）事实上，不等式（1-1）告诉我们当时，调换和的位置（其余n-2项不变），会使和S增加.同理，调整好和后，再调整和会使和增加.经过n次调整后，和S达到最大值，这就证明了.再证不等式左端,由及已证明的不等式右端，得即 .例1 （美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c是正数，求证：.思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明.证明：不妨设，则有根据排序不等式有：以上两式相加，两边再分别加上 有 即 故 .例2 设a,b,c，求证：.思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明.证明：不妨设，则 且根据排序不等式，有两式相加除以2，得再考虑，并且利用排序不等式，两式相加并除以2，即得综上所述，原不等式得证.例3 设，而与是的两个排列.求证：. （1-2）思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式.证明：令 （r=）显然 因为 ， 且 由排序不等式 又因为 所以 且（注意到0）故 故 原式得证.2.均值不等式定理2 设是n个正数，则称为均值不等式.其中，分别称为的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数.证明： 先证 .记 ，令 ，则 原不等式其中 取 使 则 由排序不等式，易证下证 因为 所以 .从上述证明知道，当且仅当时，不等式取等号.下面证明 对n个正数，应用 ，得即 （等号成立的条件是显然的）.例4已知，求证：.证明：由于 ，有 从而 下证 ， 即 。又因为 ，等号在x=(这时y=)时取得所以 . 例5（IMO）设a,b,c是正实数，且满足abc=1.证明：证明：令 ，其中x,y,z是正实数，将原不等式变形为 （2-1）记 ，注意到u,v,w任意两个之和是一个正数，所以它们中间至多有一个负数.如果恰有一个负数，那么，（2-1）式成立.如果这三个数都大于0，由算术几何平均不等式同理可证，于是 即 ，（2-1）式得证.例6 已知，且.求证：.思路分析：左边各项形式较复杂，首先将其化简为.左边为和的形式，但其各项之和难与右边联系，利用算术平均大于几何平均难以求证，而左边各项可看为倒数形式，尝试用调和平均.证明：不等式左边化为对，利用有即 所以 .3柯西不等式定理3 设，（i=1,2,n）,恒有不等式，当且仅当时，等式成立. 构造二次函数证明当或时，不等式显然成立令 ，当中至少有一个不为零时，可知A>0构造二次函数，展开得： 故的判别式移项得，得证。 向量法证明令.则对向量有，由，得当且仅当，即平行时等号成立。数学归纳法证明i ) 当n=1时，有，不等式成立。当n=2时，因为，故有当且仅当，即时等号成立。ii）假设n=k时不等式成立，即当且仅当时等号成立。那么当n=k+1时，当且仅当时等号成立，即时等号成立。于是n=k+1时不等式成立。由i ) ii）可得对于任意的自然数n，柯西不等式成立。利用恒等式证明 先用数学归纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式：对于两组实数有柯西拉格朗日恒等式由实数性质可得柯西不等式成立。 以上给出了柯西不等式的几种证法。不难看出柯西不等式的重要性。它的对称和谐的结构、广泛的应用、简洁明快的解题方法等特点深受人们的喜爱。所以，若将此定理作进一步剖析，归纳它的各类变形，将会有更多收获。柯西不等式的推广 命题1若级数收敛，则有不等式。证明：收敛，收敛，且从而有不等式成立。 命题23若级数收敛，且对有，则对定义在上的任意连续函数有不等式证明：因为函数在区间上连续，所以函数在上可积，将区间n等分，取每个小区间的左端点为，由定积分的定义得：令，则收敛，由柯西不等式得从而有不等式赫尔德不等式4设满足则：，等号成立的充分必要条件是证明：首先证明时，对任何正数A及B，有.对凹函数有：令代入以上不等式并对于，把这n个不等式相加.即成立。等号成立的充分必要条件是：即例7 设，求证：.思路分析：注意到式子中的倒数关系，考虑运用柯西不等式来证明.证明：因为0，故由柯西不等式，得所以 .例8 已知实数，e满足，求e的取值范围.思路分析：由联想到应用柯西不等式.解：因为即 ，即 ，所以，故 .评述：此题十分巧妙地应用柯西不等式求最值，十分典型，它是将重要不等式应用于求最值问题的一道重要题目.例9 满足，求的最小值.解：容易猜到时，取最小值.为了证明这一点，利用柯西不等式，得只需要证明 等价于 （3-1）由几何算术平均不等式，得同理可证， ，以上三式相加，（3-1）式得证，进而证得 的最小值是，当且仅当时。评述：柯西不等式中的的项如何拆成两个因式和的积，可以说是应用此不等式的主要技巧（上例，我们将中的表示为和的积），正因为可以按照我们的需要加以分解，柯西不等式的应用更为广泛.例10 试问：当且仅当实数满足什么条件是，存在实数使得成立，其中，i为虚数单位，k=0,1,n. 证明你的结论.（高中联赛，1997）思路分析：将成立转换到实数范围内求解。根据表达式的特点，结合柯西不等式寻找的范围.解：将转化到实数范围内，即 （3-2）若存在实数使（3-2）成立，则.由柯西不等式可得 （3-3）如果，由（3-2）可知，从而与 （3-3）矛盾于是得 （3-4）反之若（3-4）成立，有两种情况：，则取，k=0,1,2,n，显然（3-2）成立.，记，则不全为0.不妨设，取 ，并且取 易知（3-2）成立.综上，所求的条件为 .4切比雪夫不等式定理4 设，为任意两组实数，若且或且，则 （4-1）若且或且，则 （4-2）当且仅当或时，（4-1）和（4-2）中的不等式成立.证明： 设为两个有相同次序的序列，由排序不等式有把上述n个式子相加，得 上式两边同除以，得 等号当且仅当或时成立.例 10 设，求证：证明：不妨令 ，则 由切比雪夫不等式，有 即 从而证得 .例11 已知.求证： .证明：取，则由，可知，满足切比雪夫不等式的条件，故又由均值不等式，正数的调和平均数不大于它们的算术平均数，即 .其中等号仅在时成立.这样就有 ，即 ， 而且等号仅在时成立.