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    高中数学基本不等式证明(6页).doc

    • 资源ID:38554128       资源大小:561.50KB        全文页数:6页
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    高中数学基本不等式证明(6页).doc

    -高中数学基本不等式证明-第 6 页不等式证明基本方法例1 :求证:分析:比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法,常用作差法和作商法,此题用作差法较为简便。证明:评注:1比较法之一(作差法)步骤:作差变形判断与0的关系结论 2作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等,应注意结合式子的形式,适当选 用。例2:设,求证:分析:从不等式两边形式看,作差后可进行因式分解。证明:,则故原不等式成立评注:三元因式分解因式,可以排列成一个元的降幂形式: ,这样容易发现规律。例3 :已知求证:证明:)当时,则)当时,则)当时,则评注:两边相减能消去一部分、两边相除能约去一部分,作差后能因式分解,作商后能进一 步简化变形等,是运用比较法的外部特征。当作差或商后的式子中含有字母时,有时 需对字母进行分类讨论。例4 :已知且求证:分析一:作差后可以判定符号,可用作差法。证法一:)当时,则)当时,则又,分析二:不等式两边次数不同,也可以先降次,再作差。证法二:)当时,与同为正)当时,与同为负即评注:有时可将原不等式变形后再作差比较(如平方后作差等),可使变形更方便。分析三:不等式两边均为正数,也可用作商法。证法三:)当时,)当时,评注:1比较法之二(作商法)步骤:作商变形判断与1的关系结论 2作差法是通法,运用较广。作商法要注意条件,不等式两边必须为正数。常用于证幂、指数形 式的不等式。例5 :设都正数,求证:分析:不等式左边可以两两运用均值不等式,得到不等式右边。证明:评注:1.利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)和不等式的性质推导出所要 证明的不等式成立,这种证明方法通常叫做综合法 2综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式,推 出结论的一种证明方法例6:设a,b,c均为正实数,求证:+.分析一:不等式左边两两结合,可以连续使用均值不等式。证法一:a,b,c均为正实数,(),当a=b时等号成立;(),当b=c时等号成立;()当a=c时等号成立;三个不等式相加即得+,当且仅当a=b=c时等号成立.分析二:从一些常用不等式出发,可以减少思维回路,降低解题难度,提高效率。证法二: 同理: 评注:运用综合法证明不等式,必须发现式子的结构特征,结合重要不等式和常用不等式,找到解题的方 法。例7 : 已知a,b,cR+,且a+b+c=1.求证:(1+a)(1+b)(1+c)8(1a)(1b)(1c).分析:在条件“a+b+c=1”的作用下,将不等式的“真面目”隐含了,给证明不等式带来困难,若将“a+b+c” 换成“1”,则还原出原不等式的“真面目”,从而抓住实质,解决问题.证明:a,b,cR+且a+b+c=1,要证原不等式成立,即证(a+b+c)+a·(a+b+c)+b(a+b+c)+c8(a+b+c)a·(a+b+c)b·(a+b+c)c.也就是证(a+b)+(c+a)(a+b)+(b+c)·(c+a)+(b+c)8(b+c)(c+a)(a+b) (a+b)+(b+c)20,(b+c)+(c+a)20,(c+a)+(a+b)20,三式相乘得式成立.故原不等式得证.评注:1.证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的条件,把证明不等式转 化为判定这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这些条件都已具备,那么就可以断定原不等式 成立,这种方法通常叫做分析法分析法的思维特点是:执果索因 2.分析法的书写格式:要证明命题B为真,只需要证明命题为真,从而有这只需要证明命 题为真,从而又有 这只需要证明命题A为真,而已知A为真,故命题B必为真例8 :设,求证:分析:不等式的形式较复杂,可以从原不等式出发,进行化简变形。证法一:要证原不等式成立,只需证:只需证只需证,只需证上式成立 原不等式在时成立.证法二:即 评注:分析法与综合法本质上是一致的,形式上是互逆的,我们常常用分析法寻找证题思路,用综合法书 写证明过程。配套小练习:证明下列不等式1 己知都是正数,且成等比数列,求证:2已知a,b,x,yR+且,xy. 求证:3.已知均为正数,且,求证:.4设a, b, c Î R,求证:5.已知是正实数,求证:6.已知为不相等的正数,且,求证:7.若a,b>0,2c>a+b,求证: (1)c2>ab (2)c-<a<c+8.已知均为正数,且, 求证:; 解答:1.证明:成等比数列,都是正数,2.证法一:(作差比较法)又且a,bR+,ba0.又xy0,bxay.0,即. 证法二:(分析法)x,y,a,bR+,要证,只需证明x(y+b)y(x+a),即证xbya.而由0,ba0.又xy0,知xbya显然成立.故原不等式成立.3.证明: 4.证明: 同理:, 三式相加:5.证明: 同理:;6.证明:是不相等的正数,且7.证明:(1)ab()2<c2ab<c2(2)欲证c-<a<c+只需证-<a-c<即|a-c|<即a2-2ac+c2<c2-ab只需证a(a+b)<2aca>0,只要证a+b<2c(已知)故原不等式成立8.要证 , 均为正数,只要证 只要证 ;只要证 而成立 由 要证原不等式,只需证明 只需证 同理 成立.

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