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-高斯函数-第 3 页高斯函数一、 知识概要1、定义：设，用表示不超过的最大整数。则称为高斯函数，也叫取整函数。显然，的定义域是，值域是。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即，因此，这里，为的整数部分，而为的小数部分。2、性质1、函数是一个分段表达的不减的无界函数，即当时，有；2、，其中；3、；4、若，则其中；5、对于一切实数有；（不是整数时）（是整数时）6、若，则；7、 8、若，则；当时，；9、若整数适合（是整数，），则；10、是正实数，是正整数，则在不超过的正整数中，的倍数共有个；下面再来讨论高斯函数的图像及的图像和性质.对于函数,如何做出它的图像呢?我们先来分析一下高斯函数的图像的基本性质和特征.(1)由的性质知的图形在的图形的下方.(2)由的性质知的图像是一组阶高为1的平行于轴的平行线段,这组平行线段呈阶梯形.可见函数是一个不减(非单调) 的非周期的函数,其图像如下()定理2 设，则是一有界、周期为1的非单调函数，其图像如().例1、方程实数根的个数例2、函数定义在上，对任意,有，则函数在上是否为增函数，请说明理由。例3、作出函数为的图像.例4、定义函数若，求实数 的取值范围。例5、已知是首项为，公比为的等比数列，（其中表示不超过的最大整数，如），如果数列有极限，求公比的取值范围。例6、已知是首项为的非常数等差数列，其中表示不超过的最大整数，如），求例7、定义函数,其中表示不超过的最大整数,如:,当时,设函数的值域为,记集合中的元素个数为；（1）求通项；（2）求的前项的和；（3）求的最小值。例8、解方程例9、解方程例10、解方程高斯函数练习1、如果为任意实数，用表示不大于的最大整数，例如：，则满足等式的的范围是_2、如果为任意实数，用表示不大于的最大整数，例如，设满足方程，则_解：令 ，则，带入原方程整理得：，由高斯函数的定义有，解得：，则。若，则；若，则。注：本例中方程为型的，通常运用高斯函数的定义和性质并结合换元法求解2若x=5，y= -3，z=-1,mj x y z 可以取值的个数是（ ）A3B4C5D63设x表示不超过x的最大整数，若M=，其中x1，则一定有（ ）AM>NBM=NCM<ND以上答案都不对。4给出下面三个命题：（1）x + 1 = x + 1;（2）x + y = x + y（3）x·y = x · y其中正确命题的个数是（ ）A0B3C1D25x表示取数x的整数部分，若且当x = 1,8,11,14时，y = 1； x = 2,5,12,15时，y=2； x = 3,5,9,16时，y=3； x = 4,7,10,13时，y=0，则表达式中u等于（ ）A B C D6实数a,b满足关系式b =a + a-2 1和b = a + 1的值一定是（ ）A大于9而小于10B大于或等于9而小于10C大于9而小于或等于10D整数7设x表示不超过x的最大整数，对任意实数x，下面式子正确的是（ ）Ax = |x|BxCx>-xDx > x 18记号x表示不超过x的最大整数，设n是自然数，且AI>0 BI<0 CI=0 D当n取不同的值时，以上三种情况都可能出现。