2022年人教版高中数学知识点总结 2.pdf

人教版高中数学知识点总结高中数学必修 1 知识点第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，或表示正整数集，Z 表示整数集， Q 表示有理数集，R 表示实数集 . （3）集合与元素间的关系对象 a 与集合 M 的关系是，或者，两者必居其一. （4）集合的表示法自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. 描述法： x|x 具有的性质 ，其中 x 为集合的代表元素. 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集. 不含有任何元素的集合叫做空集【1.1.2】集合间的基本关系（7）已知集合A 有个元素，则它有2n 个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集 . 【1.1.3】集合的基本运算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 42 页【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法1.2函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念设 A、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x，在集合 B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B 以及 A 到 B的对应法则f）叫做集合A 到 B 的一个函数，记作函数的三要素:定义域、值域和对应法则只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数（2）区间的概念及表示法设 a,b 是两个实数，且，满足的实数 x 的集合叫做闭区间，记做a,b；满足的实数 x 的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足，或的实数 x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做a,b)， (a,b；满足的 x 实 b 数 x 的集合分别记做注意：对于集合与区间 (a,b)，前者 a 可以大于或等于b，而后者必须（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：f(x) 是整式时，定义域是全体实数f(x) 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数f(x) 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1中， 2 零（负）指数幂的底数不能为零若 f(x) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题，一般步骤是： 若已知 f(x) 的定义域为 a,b， 其复合函数fg(x)的定义域应由不等式解出对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上， 如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 42 页观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值配方法： 将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值 判 别 式 法 ： 若 函 数可 以 化 成 一 个 系 数 含 有y的 关 于x的 二 次 方 程，则在时，由于x,y 为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法： 通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（6）映射的概念设 A、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B 以及 A 到 B 的对应法则f）叫做集合A 到 B 的映射，记作给定一个集合A 到集合 B 的映射，且如果元素a 和元素 b 对应，那么我们把元素 b 叫做元素a的象，元素a叫做元素b 的原象1.3函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 42 页增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数对于复合函数，令，若)为增，为增，则x) 为增；若)为减，为减，则g(x) 为增；若为增，为减，则为减； 若为减，为增，则)为减a（2）打 “”函数的图象与性质x f(x) 分别在、上为增函数，分别o 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 42 页x 在、上为减函数（3）最大（小）值定义一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数（1）对于任意的，都有； M 满足：（2）存在，使得那么，我们称M 是函数 f (x) 的最大值，记作一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数m 满足： （1）对于任意的，都有； （2）存在，使得那么，我们称m 是函数 f(x) 的最小值，记作【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性若函数f(x) 为奇函数，且在处有定义，则奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域化解函数解析式；讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换左移 h 个单位右 移 |h| 个 单 位上 移k个 单 位下移 |k|个单位伸缩变换伸缩缩伸对称变换精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 42 页y 轴 x 轴直线原点去掉 y 轴左边图象保留 y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称图象保留 x 轴上方图象将 x 轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“ 形” 的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法第二章基本初等函数 () 2.1指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念如果，且，那么 x 叫做 a 的 n 次方根当n 是奇数时， a 的 n n 是偶数时，正数a的正的 n 次方负的 n 次方根用符号0 的 n 次方根是0；负数 a没有 n 次方根叫做根式，这里n 叫做根指数， a 叫做被开方数当n 为奇数时， a 为任意实数；当n 为偶精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 42 页数时，根式的性质：；当 n 为奇数时，；当 n 为偶数时，（2）分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：且0 的正分数指数幂等于0正数的负分数指数幂的意义是：且0 的负分数指数幂没有意义注意口诀：底数取倒数，指数取相反数（3）分数指数幂的运算性质【2.1.2】指数函数及其性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 42 页2.2对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义若且，则 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作，其中 a 叫做底数，N 叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化： （2）几个重要的对数恒等式，（3）常用对数与自然对数lg 常用对数：即log10N ；自然对数：即olnN ，lgN ，e N（其中） （4）对数的运算性质如果，那么减法：加法：M N 数乘：n 换底公式：logbN 且【2.2.2】对数函数及其性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 42 页设函数的定义域为A，值域为C，从式子中解出 x，得式子如果对于y 在 C 中的任何一个值，通过式子，x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示 x 是 y 的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成（7）反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式中反解出；将 x改写成，并注明反函数的定义域（8）反函数的性质原函数与反函数的图象关于直线对称函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域若 P(a,b)在原函数的图象上，则P(b,a) 在反函数的图象上一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数2.3幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数，其中x 为自变量，是常数（3）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称 )；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称 )；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点(1,1)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与 y 轴奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数当（其中 p,q 互质， p 和） ，若 p 为奇数 q 为奇数时，则是奇函 pq 数，若 p 为奇数 q 为偶数时，则是偶函数，若p 为偶数 q 为奇数时，则是非奇非偶函数qpqp 图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方， 当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方补充知识二次函数（1）二次函数解析式的三种形式一般式：顶点式：两根精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 42 页式：（2）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时，宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x) 更方便（3）二次函数图象的性质二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增， 2a2a 当时，；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时， 4a2a2a 二次函数当时，图象与x 轴有两个交点M1(x1,0),M2(x |a| （4）一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要2a k称轴位置：x1x2 x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 42 页1k0 k1x1x2 有且仅有一个根x1（或 x2）满足 k1x1（或 x2），并同时考虑f(k1)=0或 f(k2)=0 这两种情况是否也符合k1x1k2p1 x2此结论可直接由推出（5）二次函数在闭区间 p,q 上的最值1 设 f(x) 在区间 p,q上的最大值为M，最小值为m，令2 （）当时（开口向上）bbb 若，则p) 若，则若精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 42 页，则x x p 2a) bb 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 42 页) 若，p) 若 p2a2ax x x 则x f x x f 若，则，则 2a2a x f x 一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数x 叫做函数的零点。2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与 x 轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与x 轴有交点函数有零点3、函数零点的求法：求函数的零点：1 （代数法）求方程的实数根；2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数），方程有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点），方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点）， 方程无实根， 二次函数的图象与x 轴无交点， 二次函数无零点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 42 页高中数学必修 2 知识点第一章空间几何体1.1 柱、锥、台、球的结构特征1.2 空间几何体的三视图和直观图1 三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下2 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3 直观图：斜二测画法4 斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于 y 轴的线长度变半，平行于x，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（ 2）画底面（ 3）画侧棱（ 4）成图1.3 空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积1 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和2 圆柱的表面积3 圆锥的表面积2224 圆台的表面积球的表面积（二）空间几何体的体积1 柱体的体积底2 锥体的体积底143 台体的体积上上 S 下下球体的体积第二章直线与平面的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系D 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的A 2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成 450，且横边画成邻边的2 倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母 、 、 等表示，如平面 、平面 等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面 ABCD 等。3 三个公理：（1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面B L AB公理 1 作用：判断直线是否在平面C 22 使 A 、B 、C 。公理 2 作用：确定一个平面的依据。（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。C B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 42 页符号表示为： P => =L，且 PL 公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面不同在任何一个平面)； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面来表示a a =A a2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面b ab 2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面 b = b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示： b = b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定1、定义如果直线L 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L 与平面 互相垂直， 记作 L ，直线 L 叫做平面 的垂线， 平面 叫做直线L 的垂面。 如图， 直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 42 页面垂直。注意点：a)定理中的 “ 两条相交直线 ” 这一条件不可忽视；b)定理体现了 “ 直线与平面垂直” 与“ 直线与直线垂直” 互相转化的数学思想。2.3.2 平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A 梭 2 -l- 或 -AB- 3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2 性质定理：两个平面垂直，则一个平面直线与方程3.1 直线的倾斜角和斜率3.1 倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与 x 轴相交时 , 取 x 轴作为基准 , x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角 .特别地 ,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定 = 0.2、 倾斜角 的取值范围：0180 . 当直线 l 与 x 轴垂直时 , =90 . 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角( 90)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示 ,也就是k = tan? 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, =0, k = tan0=0; ? 当直线 l 与 x 轴垂直时 , = 90, k 不存在. 由此可知 , 一条直线 l 的倾斜角 一定存在 ,但是斜率 k 不一定存在 . 4、直线的斜率公式: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 42 页给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,用两点的坐标来表示直线P1P2 的斜率：斜率公式 : k=y2-y1/x2-x1 3.1.2 两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意 : 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提， 结论并不成立即如果k1=k2, 那么一定有L1L2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即3.2.1 直线的点斜式方程1、直线的点斜式方程：直线l 经过点 P0(x0,y0)，且斜率为k 2、 、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k，且与 y 轴的交点为 (0,b) 3.2.2 直线的两点式方程(x1,x2),P2(x2,y2) 其中、直线的两点式方程：已知两点P1 y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2、直线的截距点为A(a,0) ，式方程：已知直线l 与 x 轴的交与y 轴的交点为B(0,b)，其中3.2.3 直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于x,y 的二元一次方程（A，B 不同时为0）2、各种直线方程之间的互化。3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两直线的交点坐标1、给出例题：两直线交点坐标L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 解：解方程组得 x=-2 ，y=2 所以两两点间的距离公式3.3.3 点到直线的距离公式1点到直线距离公式：与 L2 的交点坐标为M（ -2，2）点间距离点 P(x0,y0) 到直线的距离为：、两平行线间的距离公式：2 2 已知两条平行线直线l1 和 l2 的一般式方程为l1：，l2：，则 l1 与 l2 的距离为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 42 页2 2 第四章4.1.1 圆的标准方程圆与方程1、圆的标准方程：圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程2、点 M(x0,y0) 与圆的关系的判断方法：（1），点在圆外（2），点在圆上（3），点在圆圆的一般方程1、圆的一般方程：、圆的一般方程的特点：(1)x2 和 y2 的系数相同，不等于0 没有 xy 这样的二次项(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。4.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系设直线 l：，圆 C：，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几22 点：（1）当时，直线l 与圆 C 相离； （2）当时，直线 l 与圆 C 相切；（3）当时，直线l 与圆 C 相交；4.2.2 圆与圆的位置关系两圆的位置关系设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当时，圆 C1 与圆 C2 相离； （2）当时，圆 C1 与圆 C2 外切；（3）当时，圆 C1 与圆 C2 相交；（4）当时，圆 C1 与圆 C2 直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步： 建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“ 翻译 ” 成几何结论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 42 页4.3.1 空间直角坐标系1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组(x,y,z)，x、y、z 分别是 P、 Q、R 在 x、y、z 轴上的坐标2、有序实数组(x,y,z)，对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组(x,y,z)来表示， 该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M(x,y,z) ，x 叫做点 M 的横坐标， y 叫做点 M 的纵坐标， z 叫做点 M的竖坐标。4.3.2 空间两点间的距离公式1 、空间 中任意 一点P1(x1,y1,z1)到点P2(x2,y2,z2)之间 的距离 公式222 高中数学必修 3 知识点第一章算法初步1.1.1 算法的概念1、算法概念：在数学上，现代意义上的“ 算法 ” 通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之程序框图1、程序框图基本概念：（一） 程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。（二）构成程序框的图形符号及其作用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 42 页学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则， 画程序框图的规则如下：1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类，一类判断框“ 是” 与 “ 否” 两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。（三） 、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的， 它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A 框和 B 框是依次执行的，只有在执行完A 框指定的操作后，才能接着执行 B 框所指定的操作。2、条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。条件 P 是否成立而选择执行A 框或 B 框。 无论 P条件是否成立， 只能执行A 框或 B 框之一，不可能同时执行A 框和 B 框，也不可能A 框、 B 框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：（1） 、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P 成立时，执行A框， A 框执行完毕后，再判断条件P 是否成立，如果仍然成立，再执行A 框，如此反复执行 A 框，直到某一次条件P 不成立为止，此时不再执行A 框，离开循环结构。（2） 、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P 是否成立，如果P 仍然不成立，则继续执行A 框，直到某一次给定的条件P 成立为止，此时不再执行A 框，离开循环结构。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 42 页当型直结型循环结构1。2 量。计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。1.2.1 输入、输出语句和赋值语句1、输入语句（1）输入语句的一般格式（2）输入语句的作用是实现算法的输入信息功能；（3） “ 提示内容 ” 提示用户输入什么样的信息， 变量是指程序在运行时其值是可以变化的量；（4）输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式；（5）提示内容与变量之间用分号“ ；” 隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“ ，” 隔开。2、输出语句（1）输出语句的一般格式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 42 页（ 2 ） 输 出 语 句 的 作 用 是 实 现 算 法 的 输 出 结 果 功 能 ；（ 3 ） “提 示图 2 分析： 在 IFTHEN ELSE 语句中， “ 条件 ” 表示判断的条件，“ 语句 1” 表示满足条件时执行的操作 IF 表示条件语句的结束。计算机在执行时，首先对IF 后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN 后面的语句1；若条件不符合，则执行ELSE 后面的语句2。3、IFTHEN 语句IFTHEN 语句的一般格式为图3 注意： “ 条件 ” 表示判断的条件；“ 语句 ” 表示满足执行的操作IF 表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对IF 后的条件进行判断，如果条件符合就执行THEN 后边的语句，若条件不符合则直接结束该条件语句，转而执行其它语句。123 循环语句循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（ WHILE 型）和直到型（ UNTIL 型）两种语句结构。即WHILE 语句和 UNTIL 语句。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 42 页1、WHILE 语句（1）WHILE 语句的一般格式是（2）当计算机遇到WHILE 语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE 与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行， 直到某一次条件不符合为止。这时， 计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND 之后的语句。因此，当型循环有时也称为“ 前测试型 ” 循环。2、UNTIL 语句（1）UNTIL 语句的一般格式是对应的程序框图是（2）直到型循环又称为“ 后测试型 ” 循环，从执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOP UNTIL 语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。分析：当型循环与直到型循环的区别：（先由学生讨论再归纳）（1） 当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；在 WHILE 语句中，是当条件满足时执行循环体，在UNTIL语句中，是当条件不满足时执行循环1.3.1 辗转相除法与更相减损术1、辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：（1） ：用较大的数m 除以较小的数n 得到一个商0，则 n 为 m，n 的最大公约数；若和一个余数数 R0R1R0S0 和一个余数R0；（2） ： 若 R0S10 ， 则用除数n 除以余数R0 得到一个商； （3） ：若 R1R1 0，则 S2R1 为 m，n 的最大公约数；若R2R1 0，则用除除以余数得到一个商和一个余数； , 依次计算直至Rn0，此时所得到的即为所求的最大公约数。2、更相减损术我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在九章算术中有更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母?子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。翻译为：（1） ：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2 约简；若不是，执精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 42 页行第二步。（2） ：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。例 2 用更相减损术求98 与 63 的最大公约数. 分析： （略）3、辗转相除法与更相减损术的区别：（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0 则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到1.3.2 秦九韶算法与排序1、秦九韶算法概念：f(x)=anxn+an-1xn- 1+,.+a1x+a0求值问题f(x)=anxn+an-1xn- 1+,.+a1x+a0=( =( anxn -2+an-1xn- 3+,.+a2)x+a1)x+a0anxn-1+an-1xn- 2+,.+a1)x+a0=.=(.( anx+an-1)x+an-2)x+.+a1)x+a0 求多项式的值时，首先计算最v3=v2x+an-3 . vn=vn-1x+a0 这样，把n 次多项式的求值问题转化成求n 个一次多项式的值的问题。2、两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序1、直接插入排序基本思想： 插入排序的思想就是读一个，排一个。 将第个数放入数组的第个元素中，以后读入的数与已存入数组的数进行比较，确定它在从大到小的排列中应处的位置将该位置以及以后的元素向后推移一个位置，将读入的新数填入空出的位置中（由于算法简单，可以举例说明）2、冒泡排序基本思想： 依次比较相邻的两个数,把大的放前面 ,小的放后面 .即首先比较第1 个数和第2 个数,大数放前 ,小数放后 .然后比较第2 个数和第3 个数 .直到比较最后两个数.第一趟结束 ,最小的一定沉到最后.重复上过程 ,仍从第 1个数开始 ,到最后第2 个数 . 由于在排序过程中总是大数往前 ,小数往后 ,相当气泡上升 ,所以叫冒泡排序. 1.3.3 进位制1、概念：进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为 n，即可称 n 进位制， 简称 n 进制。 现在最常用的是十进制，通常使用10 个阿拉伯数字0-9 进行记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。一般地，若k 是一个大于一的整数，那么以k 为基数的k 进制可以表示为：，而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如 111001(2)表示二进制数,34(5)表示 5 进制数第二章统计2.1.1 简单随机抽样精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 42 页1总体和样本在统计学中, 把研究对象的全体叫做总体把每个研究对象叫做个体把总体中个体的总数叫做总体容量为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分： ，研究，我们称它为样本其中个体的个数称为样本容量2简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立， 彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。3简单随机抽样常用的方法：（1）抽签法； ? 随机数表法； ? 计算机模拟法；? 使用统计软件直接抽取。在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：总体变异情况；允许误差范围；概率保证程度。4抽签法 : （1）给调查对象群体中的每一个对象编号；（2）准备抽签的工具，实施抽签（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。5随机数表法：例：利用随机数表在所在的班级中抽取10 位同学参加某项活动。， ，2.1.2 系统抽样1系统抽样（等距抽样或机械抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。K（抽样距离）=N（总体规模） /n（样本规模）前提条件： 总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的， 即不存在某种与研究变量相关的规则分布。 可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。如果有明显差别， 说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 42 页2系统抽样， 即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。更为重要的是， 如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。2.1.3 分层抽样1分层抽样（类型抽样）：先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。两种方法：1先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。2先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的方法抽取样本。2分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。分层标准：（1）以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。（2）以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。（3）以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。3分层的比例问题：（1）按比例分层抽样：根据各种类型或层次中