2022年全国名校高中数学题库--椭圆 .pdf
优秀学习资料欢迎下载椭圆标准方程典型例题例 1 已知椭圆06322mymx的一个焦点为（0， 2）求m的值 分析： 把椭圆的方程化为标准方程，由2c，根据关系222cba可求出m的值解： 方程变形为12622myx因为焦点在y轴上，所以62m，解得3m又2c，所以2262m，5m适合故5m例 2 已知椭圆的中心在原点，且经过点03，P，ba3，求椭圆的标准方程分析： 因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a和b（或2a和2b）的值，即可求得椭圆的标准方程解： 当焦点在x轴上时，设其方程为012222babyax由椭圆过点03 ，P，知10922ba又ba3，代入得12b，92a，故椭圆的方程为1922yx当焦点在y轴上时，设其方程为012222babxay由椭圆过点03，P，知10922ba又ba3，联立解得812a，92b，故椭圆的方程为198122xy例 3 ABC的底边16BC，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹分析： （ 1）由已知可得20GBGC，再利用椭圆定义求解（ 2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程解： （1） 以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系设G点坐标为yx，由20GBGC，知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆， 且除去轴上两点因10a，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 40 页优秀学习资料欢迎下载8c，有6b，故其方程为013610022yyx（2）设yxA，yxG，则013610022yyx由题意有33yyxx，代入，得A的轨迹方程为0132490022yyx， 其轨迹是椭圆 （除去x轴上两点）例 4 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为354和352，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程解 ： 设 两 焦 点 为1F、2F， 且3541PF，3522PF 从 椭 圆 定 义 知52221PFPFa即5a从21PFPF知2PF垂 直 焦 点 所 在 的 对 称 轴 ， 所 以 在12FPFRt中 ，21s i n1221PFPFFPF，可求出621FPF，3526cos21PFc，从而310222cab所求椭圆方程为1103522yx或1510322yx例 5 已知椭圆方程012222babyax，长轴端点为1A，2A，焦点为1F，2F，P是椭圆上一点，21PAA，21PFF求：21PFF的面积（用a、b、表示） 分析： 求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边， 从而利用CabSsin21求面积解：如图， 设yxP，由椭圆的对称性，不妨设yxP，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限由余弦定理知：221FF2221PFPF12PF224coscPF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 40 页优秀学习资料欢迎下载由椭圆定义知：aPFPF221，则2得cos12221bPFPF故sin212121PFPFSPFFsincos12212b2tan2b例 6 已知动圆P过定点03，A，且在定圆64322yxB：的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程分析： 关键是根据题意，列出点P 满足的关系式解： 如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M动点P到两定点，即定点03，A和定圆圆心03 ，B距离之和恰好等于定圆半径，即8BMPBPMPBPA点P的轨迹是以A，B为两焦点，半长轴为 4，半短轴长为73422b的椭圆的方程：171622yx说明： 本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求轨迹方程的一种重要思想方法例 7 已知椭圆1222yx， （1）求过点2121，P且被P平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2 的平行弦的中点轨迹方程；（3）过12，A引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足21OQOPkk，求线段PQ中点M的轨迹方程分析： 此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解： 设弦两端点分别为11yxM，22yxN，线段MN的中点yxR，则，yyyxxxyxyx222222212122222121得0221212121yyyyxxxx由题意知21xx，则上式两端同除以21xx，有0221212121xxyyyyxx，将代入得022121xxyyyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 40 页优秀学习资料欢迎下载（1） 将21x，21y代入，得212121xxyy， 故所求直线方程为：0342yx 将代入椭圆方程2222yx得041662yy，0416436符合题意，0342yx为所求（2）将22121xxyy代入得所求轨迹方程为：04yx （椭圆内部分）（3）将212121xyxxyy代入得所求轨迹方程为：022222yxyx （椭圆内部分）（4）由得：2222212221yyxx，将平方并整理得212222124xxxxx，212222124yyyyy，将代入得：224424212212yyyxxx，再将212121xxyy代入式得：221242212212xxyxxx，即12122yx此即为所求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决例 8 已知椭圆1422yx及直线mxy（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程解： （1）把直线方程mxy代入椭圆方程1422yx得1422mxx，即012522mmxx020161542222mmm，解得2525m精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 40 页优秀学习资料欢迎下载（2） 设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x，2x， 由 （1） 得5221mxx，51221mxx根据弦长公式得：51025145211222mm解得0m方程为xy说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题， 一般应用弦长公式用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程例 9 以椭圆131222yx的焦点为焦点，过直线09yxl：上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程分析： 椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决解： 如图所示，椭圆131222yx的焦点为031，F，032，F点1F关于直线09yxl：的对称点F的坐标为（9， 6） ，直线2FF的方程为032yx解方程组09032yxyx得交点M的坐标为（5，4） 此时21MFMF最小所求椭圆的长轴：562221FFMFMFa，53a，又3c，3635322222cab因此，所求椭圆的方程为1364522yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 40 页优秀学习资料欢迎下载例10已知方程13522kykx表示椭圆，求k的取值范围 解： 由,35,03,05kkkk得53k，且4k满足条件的k的取值范围是53k，且4k说明： 本题易出现如下错解：由,03,05kk得53k，故k的取值范围是53k出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0ba这个条件， 当ba时，并不表示椭圆例11已知1cossin22yx)0(表示焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围分析： 依据已知条件确定的三角函数的大小关系再根据三角函数的单调性，求出的取值范围解： 方程可化为1cos1sin122yx因为焦点在y轴上，所以0sin1cos1因此0sin且1tan从而)43,2(说明： (1)由椭圆的标准方程知0sin1，0cos1，这是容易忽视的地方(2)由焦点在y轴上，知cos12a，sin12b(3)求的取值范围时，应注意题目中的条件0例 12求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(A和)1,32(B两点的椭圆方程分析： 由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为122nymx(0m，0n)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程解： 设所求椭圆方程为122nymx(0m，0n)由)2,3(A和)1,32(B两点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 40 页优秀学习资料欢迎下载在椭圆上可得, 11)32(, 1)2()3(2222nmnm即, 112, 143nmnm所以151m，51n故所求的椭圆方程为151522yx例13知圆122yx，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段， 求线段中点M的轨迹 分析： 本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题这种题目一般利用中间变量(相关点 )求轨迹方程或轨迹解： 设点M的坐标为),(yx，点P的坐标为),(00yx，则20 xx，0yy因为),(00yxP在圆122yx上，所以12020yx将xx20，yy0代入方程12020yx得1422yx所以点M的轨迹是一个椭圆1422yx说明： 此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为),(yx，设已知轨迹上的点的坐标为),(00yx，然后根据题目要求，使x，y与0 x，0y建立等式关系，从而由这些等式关系求出0 x和0y代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x，y的方程，化简后即我们所求的方程这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握例 14 已知长轴为12，短轴长为 6， 焦点在x轴上的椭圆， 过它对的左焦点1F作倾斜解为3的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长分析： 可以利用弦长公式4)(1(1212212212xxxxkxxkAB求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求解： (法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解2121xxkAB4)(1(212212xxxxk 因为6a，3b， 所以33c 因精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 40 页优秀学习资料欢迎下载为焦点在x轴上，所以椭圆方程为193622yx，左焦点)0,33(F，从而直线方程为93xy由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132xx设1x，2x为方程两根，所以1337221xx，1383621xx，3k，从而13484)(1(1212212212xxxxkxxkAB(法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解由 题 意 可 知 椭 圆 方 程 为193622yx， 设mAF1，nBF1， 则mAF122，nBF122在21FAF中，3cos22112212122FFAFFFAFAF，即21362336)12(22mmm；所以346m同理在21FBF中，用余弦定理得346n，所以1348nmAB(法 3)利用焦半径求解先根据直线与椭圆联立的方程0836372132xx求出方程的两根1x，2x，它们分别是A，B的横坐标再根据焦半径11exaAF，21exaBF，从而求出11BFAFAB例 15椭圆192522yx上的点M到焦点1F的距离为2，N为1MF的中点， 则ON（O为坐标原点）的值为A4B2C8D23解 ： 如 图 所 示 ， 设 椭 圆 的 另 一 个 焦 点 为2F， 由 椭 圆 第 一 定 义 得10221aMFMF，所以82101012MFMF，又因为ON为21FMF的中位线，所以4212MFON，故答案为A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 40 页优秀学习资料欢迎下载说明： (1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于21FF）的点的轨迹叫做椭圆(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即aMFMF221，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离例 16 已知椭圆13422yxC：，试确定m的取值范围，使得对于直线mxyl4：，椭圆C上有不同的两点关于该直线对称分析： 若设椭圆上A，B两点关于直线l对称，则已知条件等价于：(1)直线lAB；(2)弦AB的中点M在l上利用上述条件建立m的不等式即可求得m的取值范围解： (法 1)设椭圆上),(11yxA，),(22yxB两点关于直线l对称， 直线AB与l交于),(00yxM点l的斜率4lk， 设直线AB的方程为nxy41 由方程组,134,4122yxnxy消去y得0481681322nnxx 。 13821nxx 于 是1342210nxxx，13124100nnxy，即点M的坐标为)1312,134(nn点M在直线mxy4上，mnn1344解得mn413将式代入式得048169261322mmxxA，B是 椭 圆 上 的 两 点 ， 0)48169(134)26(22mm 解 得1313213132m(法 2)同解法 1 得出mn413，mmx)413(1340，mmmmxy3413)(414134100，即M点坐标为)3,(mmA，B为 椭 圆 上 的 两 点 ， M点 在 椭 圆 的 内 部 ， 13)3(4)(22mm 解 得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 40 页优秀学习资料欢迎下载1313213132m(法 3)设),(11yxA，),(22yxB是椭圆上关于l对称的两点，直线AB与l的交点M的坐标为),(00yxA，B在 椭 圆上 ，1342121yx，1342222yx 两式相 减得0)(4)(321212121yyyyxxxx，即0)(24)(23210210yyyxxx)(4321002121xxyxxxyy又直线lAB，1lABkk，144300yx，即003xy。又M点在直线l上，mxy004。由，得M点的坐标为)3,(mm以下同解法2. 说明： 涉及椭圆上两点A，B关于直线l恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：(1)利用直线AB与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式0，建立参数方程(2)利用弦AB的中点),(00yxM在椭圆内部， 满足12020byax，将0 x，0y利用参数表示，建立参数不等式例 17 在面积为1 的PMN中，21tanM，2tanN， 建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过P点的椭圆方程解： 以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设),(yxP则.1,21,2cycxycxy233435ccycx且即)32,325(P,43, 13412252222baba得. 3,41522ba所求椭圆方程为1315422yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 40 页优秀学习资料欢迎下载例 18 已知)2,4(P是直线l被椭圆193622yx所截得的线段的中点，求直线l的方程分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题通常将直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程， 再由根与系数的关系，直接求出21xx，21xx(或21yy，21yy)的值代入计算即得并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法， 在解析几何中是经常采用的解：方法一：设所求直线方程为)4(2xky代入椭圆方程，整理得036)24(4)24(8)14(222kxkkxk设 直 线 与 椭 圆 的 交 点 为),(11yxA，),(22yxB， 则1x、2x是 的 两 根 ， 14)24(8221kkkxx)2,4(P为AB中 点 ， 14)24(424221kkkxx，21k 所 求 直 线 方 程 为082yx方法二： 设直线与椭圆交点),(11yxA，),(22yxB)2,4(P为AB中点，821xx，421yy又 A，B在 椭 圆 上 ， 3642121yx，3642222yx两 式 相 减 得0)(4)(22212221yyxx，即0)(4)(21212121yyyyxxxx21)(4)(21212121yyxxxxyy直线方程为082yx方法三： 设所求直线与椭圆的一个交点为),(yxA，另一个交点)4,8(yxBA、B在椭圆上， 36422yx。36)4(4)8(22yx从而A，B在方程的图形082yx上，而过A、B的直线只有一条，直线方程为082yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 40 页优秀学习资料欢迎下载说明： 直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法若已知焦点是)0,33(、)0,33(的椭圆截直线082yx所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程？典型例题一例 1椭圆的一个顶点为02，A，其长轴长是短轴长的2 倍，求椭圆的标准方程分析： 题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置解： （1）当02，A为长轴端点时，2a，1b，椭圆的标准方程为：11422yx；（2）当02，A为短轴端点时，2b，4a，椭圆的标准方程为：116422yx；说明： 椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况典型例题二例 2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率解：31222cac223ac，3331e说明： 求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可典型例题三精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 40 页优秀学习资料欢迎下载例 3 已知中心在原点， 焦点在x轴上的椭圆与直线01yx交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程解： 由题意，设椭圆方程为1222yax，由101222yaxyx，得021222xaxa，222112aaxxxM，2111axyMM，4112axykMMOM，42a，1422yx为所求说明： （1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题典型例题四例 4 椭圆192522yx上不同三点11yxA，594，B，22yxC，与焦点04，F的距离成等差数列（1）求证821xx；（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k证明： （1）由椭圆方程知5a，3b，4c由圆锥曲线的统一定义知：acxcaAF12，11545xexaAF同理2545xCFBFCFAF2，且59BF，51854554521xx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 40 页优秀学习资料欢迎下载即821xx（2）因为线段AC的中点为2421yy，所以它的垂直平分线方程为42212121xyyxxyyy又点T在x轴上，设其坐标为00，x，代入上式，得212221024xxyyx又点11yxA，22yxB，都在椭圆上，212125259xy222225259xy21212221259xxxxyy将此式代入，并利用821xx的结论得253640 x4540590 xkBT典型例题五例 5 已知椭圆13422yx，1F、2F为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使M到左准线l的距离MN是1MF与2MF的等比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解：假设M存在，设11yxM，由已知条件得2a，3b，1c，21e精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 40 页优秀学习资料欢迎下载左准线l的方程是4x，14xMN又由焦半径公式知：111212xexaMF，112212xexaMF212MFMFMN，11212122124xxx整理得048325121xx解之得41x或5121x另一方面221x则与矛盾，所以满足条件的点M不存在说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算进而根据推理得到的结果，再作判断（3）本例也可设sin3cos2，M存在，推出矛盾结论（读者自己完成）典型例题六例 6 已知椭圆1222yx，求过点2121，P且被P平分的弦所在的直线方程分析一： 已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k解法一： 设所求直线的斜率为k，则直线方程为2121xky代入椭圆方程，并整理得0232122212222kkxkkxk由韦达定理得22212122kkkxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 40 页优秀学习资料欢迎下载P是弦中点，121xx故得21k所以所求直线方程为0342yx分析二： 设弦两端坐标为11yx ，、22yx ，列关于1x、2x、1y、2y的方程组，从而求斜率：2121xxyy解法二： 设过2121，P的直线与椭圆交于11yxA，、22yxB，则由题意得1.11212212122222121yyxxyxyx，得0222212221yyxx将、代入得212121xxyy，即直线的斜率为21所求直线方程为0342yx说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹（2）解法二是“点差法” ，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”有关二次曲线问题也适用典型例题七例 7 求适合条件的椭圆的标准方程（1）长轴长是短轴长的2 倍，且过点62，；（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6分析： 当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222byax求出1482a，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 40 页优秀学习资料欢迎下载372b，在得方程13714822yx后，不能依此写出另一方程13714822xy解： （1）设椭圆的标准方程为12222byax或12222bxay由已知ba2又过点62，因此有1622222ba或1262222ba由、，得1482a，372b或522a，132b故所求的方程为13714822yx或1135222xy（2）设方程为12222byax由已知，3c，3cb，所以182a故所求方程为191822yx说明： 根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程12222byax或12222bxay典型例题八例 8 椭圆1121622yx的右焦点为F， 过点31，A， 点M在椭圆上， 当MFAM2为最小值时，求点M的坐标分析： 本题的关键是求出离心率21e，把MF2转化为M到右准线的距离，从而得最小值一般地，求MFeAM1均可用此法解： 由已知：4a，2c所以21e，右准线8xl：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 40 页优秀学习资料欢迎下载过A作lAQ，垂足为Q，交椭圆于M，故MFMQ2显然MFAM2的最小值为AQ，即M为所求点，因此3My，且M在椭圆上故32Mx所以332，M说明： 本题关键在于未知式MFAM2中的“ 2”的处理事实上，如图，21e，即MF是M到右准线的距离的一半，即图中的MQ，问题转化为求椭圆上一点M，使M到A的距离与到右准线距离之和取最小值典型例题九例 9 求椭圆1322yx上的点到直线06yx的距离的最小值分析： 先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值解：椭圆的参数方程为.sincos3yx，设椭圆上的点的坐标为sincos3，则点到直线的距离为263sin226sincos3d当13sin时，22最小值d说明： 当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程典型例题十例 10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率23e，已知点230，P到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P的距离等于7的点的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 40 页优秀学习资料欢迎下载分析： 本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d的最大值时，要注意讨论b的取值范围此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力解法一： 设所求椭圆的直角坐标方程是12222byax，其中0ba待定由222222221ababaace可得2143112eab，即ba2设椭圆上的点yx，到点P的距离是d，则4931232222222yybyayxd34213493342222byyyb其中byb如果21b，则当by时，2d（从而d）有最大值由题设得22237b，由此得21237b，与21b矛盾因此必有21b成立，于是当21y时，2d（从而d）有最大值由题设得34722b，可得1b，2a所求椭圆方程是11422yx由21y及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点213，点213，到点230，P的距离是7解法二： 根据题设条件，可取椭圆的参数方程是sincosbyax，其中0ba，待定，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 40 页优秀学习资料欢迎下载20，为参数由22222221ababaace可得2143112eab，即ba2设椭圆上的点yx，到点230，P的距离为d，则22222223sincos23bayxd49s i n3s i n34222bbb3421s i n3222bbb如果121b，即21b，则当1sin时，2d（从而d）有最大值由题设得22237b，由此得21237b，与21b矛盾，因此必有121b成立于是当b21sin时2d（从而d）有最大值由题设知34722b，1b，2a所求椭圆的参数方程是sincos2yx由21sin，23cos，可得椭圆上的是213，213，典型例题十一例 11 设x，Ry，xyx63222，求xyx222的最大值和最小值分析： 本题的关键是利用形数结合，观察方程xyx63222与椭圆方程的结构一致设mxyx222，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 40 页优秀学习资料欢迎下载系求得最值解： 由xyx63222，得123492322yx可见它表示一个椭圆，其中心在023，点，焦点在x轴上，且过（ 0，0）点和（ 3， 0）点设mxyx222，则1122myx它表示一个圆，其圆心为（1，0）半径为11 mm在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即11m， 此时0m； 当圆过（3， 0） 点时，半径最大， 即41m， 15mxyx222的最小值为0，最大值为15典型例题十二例 12 已知椭圆012222babyaxC：，A、B是其长轴的两个端点（1） 过一个焦点F作垂直于长轴的弦PP， 求证：不论a、b如何变化，120APB（2）如果椭圆上存在一个点Q，使120AQB，求C的离心率e的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 40 页优秀学习资料欢迎下载分析： 本题从已知条件出发，两问都应从APB和AQB的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e满足的 不 等 式 ， 只 能 是 椭 圆 的 固 有 性 质 ：ax，by， 根 据120A QB得 到32222ayxay， 将22222ybaax代入，消去x， 用a、b、c表示y， 以便利用by列出不等式这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成解： （1）设0，cF，0，aA，0，aBabcPbayaxbcx2222222，于是acabkAP2，acabkBP2APB是AP到BP的角2222242221tancaacabacabacabAPB22ca2tanAPB故3tanAPB120APB（2）设yxQ，则axykQA，axykQB由于对称性，不妨设0y，于是AQB是QA到QB的角22222221tanayxayaxyaxyaxyAQB120AQB，32222ayxay整理得023222ayayx22222ybaax精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 40 页优秀学习资料欢迎下载0213222ayyba0y，2232cabyby，bcab2232232cab，222234ccaa04444224acac，044324ee232e或22e（舍） ，136e典型例题十三例 13 已知椭圆19822ykx的离心率21e，求k的值分析： 分两种情况进行讨论解：当椭圆的焦点在x轴上时，82ka，92b， 得12kc 由21e， 得4k当椭圆的焦点在y轴上时，92a，82kb，得kc12由21e，得4191k，即45k满足条件的4k或45k说明： 本题易出现漏解排除错误的办法是：因为8k与 9 的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上故必须进行讨论典型例题十四例 14 已知椭圆142222bybx上一点P到右焦点2F的距离为b)1(b， 求P到左准线的距离分析： 利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解解法一： 由142222bybx，得ba2，bc3，23e精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 40 页优秀学习资料欢迎下载由椭圆定义，baPFPF4221，得bbbPFbPF34421由椭圆第二定义，edPF11，1d为P到左准线的距离，bePFd3211，即P到左准线的距离为b32解法二： edPF22，2d为P到右准线的距离，23ace，bePFd33222又椭圆两准线的距离为bca33822P到左准线的距离为bbb32332338说明： 运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性否则就会产生误解椭圆有两个定义， 是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如 一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义典型例题十五例 15 设椭圆.sin32,cos4yx(为参数 )上一点P与x轴正向所成角3POx，求P点坐标分析： 利用参数与POx之间的关系求解解： 设)sin32,cos4(P，由P与x轴正向所成角为3，cos4sin323tan，即2tan而0sin，0cos，由此得到55cos，552sin，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 40 页优秀学习资料欢迎下载P点坐标为)5154,554(典型例题十六例 16 设),(00yxP是离心率为e的椭圆12222byax)0(ba上的一点，P到左焦点1F和右焦点2F的距离分别为1r和2r，求证：01exar，02exar分析： 本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离解：P点到椭圆的左准线caxl2：的距离，caxPQ20，由椭圆第二定义，ePQPF1，01exaPQer，由椭圆第一定义，0122exarar说明： 本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用请写出椭圆焦点在y轴上的焦半径公式典型例题十七例 17已知椭圆15922yx内有一点)1,1(A，1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点(1)求1PFPA的最大值、最小值及对应的点P坐标；(2)求223PFPA的最小值及对应的点P的坐标分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法二是数形结合，即几何方法本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 40 页优秀学习资料欢迎下载决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解解：(1) 如 上 图 ，62a，)0,2(2F，22AF， 设P是 椭 圆 上 任 一 点 ， 由6221aPFPF，22AFPFPA，26222211AFaAFPFPFPFPA， 等号仅当22AFPFPA时成立，此时P、A、2F共线由22AFPFPA，26222211AFaAFPFPFPFPA，等号仅当22AFPFPA时成立，此时P、A、2F共线建立A、2F的直线方程02yx，解方程组4595, 0222yxyx得两交点)2141575,2141579(1P、)2141575,2141579(2P综上所述，P点与1P重合时，1PFPA取最小值26，P点与2P重合时，2PFPA取最大值26(2)如下图， 设P是椭圆上任一点， 作PQ垂直椭圆右准线，Q为垂足， 由3a，2c，32e由椭圆第 二定义知322ePQPF，223PFPQ，PQPAPFPA223，要使其和最小需有A、P、Q共线，即求A到右准线距离 右准线方程为29x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 40 页优秀学习资料欢迎下载A到右准线距离为27此时P点纵坐标与A点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P坐标)1,556(说明：求21PFePA的最小值，就是用第二定义转化后，过A向相应准线作垂线段巧用焦点半径2PF与点准距PQ互化是解决有关问题的重要手段典型例题十八例 18(1)写出椭圆14922yx的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积分析： 本题考查椭圆的参数方程及其应用为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题解： (1) sin2cos3yx)(R(2)设椭圆内接矩形面积为S，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x轴和y轴，设)sin2,cos3(为矩形在第一象限的顶点，)20(，则122sin12sin2cos34S故椭圆内接矩形的最大面积为12说明： 通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地， 与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便典型例题十九例 19 已知1F，2F是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且6021PFF(1)求椭圆离心率的取值范围；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 40 页优秀学习资料欢迎下载(2)求证21FPF的面积与椭圆短轴长有关分析： 不失一般性，可以设椭圆方程为12222byax（
