2022年高考数学突破客观压轴题 .pdf

突破压轴客观题惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料- 1 - 惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料突破压轴客观题【班级】【姓名】目录： 第一篇三角与向量题型一：三角函数性质的综合题型二 ：三角中的不等关系问题题型三：向量的数量积运算 第二篇数列题型一：递推关系求通项题型二：周期数列和分奇偶讨论的数列问题题型三：数列创新题 第三篇立体几何题型一：多面体与球题型二：立体几何中的动态问题 第四篇解析几何题型一：离心率问题题型二：焦半径简化运算问题 第五篇函数、不等式题型一：灵活的线性规划问题题型二：多元最值问题题型三：不等式恒成立 第六篇新定义问题题型：定义新性质、新运算、新符号、新图形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 42 页突破压轴客观题惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料- 2 - 第一篇三角与向量题型一：三角函数图像和性质综合 题型特点 选择题中关于三角函数的图像和性质的问题是高考的热点，涉及y = Asin（?x + ）(? 0,|? | ?2)的图像的单调性、对称性、周期性、零点等综合问题，其中由函数在某范围内单调求 ? 最值的问题有一定难度，此问题有两个关键：1. “ 在某区间上单调” 只能说明该区间为单调区间的子集，由此推出周期范围，进而推出? 的大致范围；2. “ 在某区间上单调” 说明最值点不在此区间内，这也是分析出? 的大致范围后，将选择项逐个代入验证的标准。 典型例题 （2016?全国 .第 12 题）已 知 函 数为的 零 点 ，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为（）A. 11 B. 9 C. 7 D. 5 【答案】 B 【解析】 解： x=为 f（ x）的零点， x= 为 y=f（x）图象的对称轴，即，（ nN）即 =2n+1，（ nN）即 为正奇数，f（x）在（，）则= ，即 T= ，解得： 12，当 =11 时，+ =k ，kZ， | | ， =，此时 f（x）在（，）不单调，不满足题意；当 =9 时，+ =k ，kZ， | ， = ，此时 f（x）在（，）单调，满足题意；故的最大值为9，故选： B. 巩固练习 1.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为（）A. 2 . 4 . 6D. 82.已知函数的图象在区间上不单调 ,则的取值范围为 () A.D.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 42 页突破压轴客观题惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料- 3 - 3. 已知函数f（x）=2sin（x ） 1（ 0，| | ）的一个零点是x= ，直线 x=函数图象的一条对称轴，则取最小值时，f（x）的单调增区间是（）A. +3k，+3k，kZ. +3k，+3k，kZ. +2k ，+2k ， kZD. +2k ，+2k ，kZ4. 已知函数f（x）=sin（x+ ） （ 0，| | ） ，x=为 f（x）的零点， x= 为 y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）单调，则的最大值为（）A. 12. 11. 10D. 95.设函数 f（x）=Asin（ x+） ，xR（其中 A0， 0） ，在（，）上既无最大值，也无最小值，且f（）=f（0）=f （） ，则下列结论成立的是（）A. 若 f（x1） f（x）f（ x2）对 ?xR 恒成立，则 |x2x1|min=. y=f （x）的图象关于点（， 0）中心对称. 函数 f（ x）的单调区间为：k + ，k + （kZ）D. 函数 y=|f（x）|（xR）的图象相邻两条对称轴之间的距离是题型二：三角中的不等关系问题 题型特点 解三角形的问题中，常见求取值范围、最值的问题，这类问题的主要考查正余弦定理，函数思想、数形结合思想的灵活应用，主要解题思路为：1.利用正余弦定理，化边为角，利用三角函数的有界性解决问题，但要注意三角形背景下对角度的限制范围；2.利用正余弦定理，化边为角，转化为常见函数或不等式求最值；3.数形结合，构造几何图形，通过动态分析，得出范围。 典型例题 （2015?全国 .第 16 题）在平面四边形A.D中， A= .= .=75，.=2，则 A.的取值范围是【答案】（62-，6+2）【解析】试题分析：如图所示，延长.A ， .D交于 E，平移 AD ，当 A 与 D 重合与 E 点时， A.最长，在 .E中， .= .=75，E=30 ，.=2，由正弦定理可得sinsinBCBEEC=，即oo2sin30sin75BE=，解得BE=6+2，平移 AD ，当 D 与 . 重合时， A.最短，此时与A.交于 F，在 .F中， .= .F.=75 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 42 页突破压轴客观题惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料- 4 - F.=30 ，由正弦定理知，sinsinBFBCFCBBFC=，即oo2sin 30sin 75BF=，解得 .F=62-，所以 A.的取值范围为（62-，6+2）. （2014?新课标 .第 16 题）已知 a，b，c 分别为 A.的三个内角A，. ，. 的对边， a=2 且（ 2+b） （sinAsin. ）=（cb）sin. ，则 A.面积的最大值为_【解析】因为：（2+b） （sinAsin. ）=（cb）sin. ? （2+b） （ab）=（cb）c? 2ab2=c2bc， 又因为：a=2， 所以：， A.面积，而 b2+c2a2=bc? b2+c2 bc=a2? b2+c2bc=4? bc4所以：，即 A.面积的最大值为故答案为： 巩固练习 1.在中， 设，分别表示角，所对的边，为边上的高 .若，则的最大值是 _2. 在A.中，角 A， . ， . 所对的边分别为a，b，c，且 bcos.=（3ac）cos. D为 A.边的中点，且.D=1 ，则 A.D面积的最大值为_3.如图所示，在平面四边形中，为正三角形，则面积的最大值为_4. 已知 A.的三个内角A， . ， . 的对应边分别为a， b， c， 且 则使得 sin2.+sin2.=msin.sin.成立的实数m 的取值范围是_5.在A.中若 sin2A+sin2.=sin2. sinAsin. ，则 sin2Atan2. 最大值是 _6.数学九章中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白， 与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“ 以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隔，开平方得积” 若把以上这段文字写成公式，即S= 现有周长为2 + 的 A.满足 sinA：sin. ：sin.= （1） ： （+1） ，试用以上给出的公式求得 A.的面积为（）A.D.7. 在锐角三角形 A.中， a， b， c分别是角 A， . ， . 的对边， （a+b+c）（a+c b） = ，则 cosA+sin.的取值范围为（）A.D.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 42 页突破压轴客观题惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料- 5 - 8.在A.中， A.=2 ，A.= .，则当 A.面积最大值时其周长为（）A. 2 +2.+3. 2 +4D.+4题型三：向量的数量积运算 题型特点 向量的数量积运算是高考的高频考点，三种基本方法为：基底法、 坐标法和几何法，在极化恒等式的结论下求数量积，也是解决向量客观题的妙招。而构造向量数量积，解决三个向量的线性组合问题，也是数量积的“ 隐形 ” 考法 典型例题 （2017?新课标） 已知 A.是边长为2 的等边三角形，P 为平面 A.内一点，则?（+）的最小值是（）A. 2. . D. 1【答案】 . 【解析】 解：建立如图所示的坐标系，以.中点为坐标原点，则 A（0，） ，. （ 1，0） ，. （1，0） ，设 P（x，y） ，则=（ x，y） ，=（ 1x， y） ，=（1x， y） ，则? （+ ）=2x22 y+2y2=2x2+（y）2当 x=0，y= 时，取得最小值2 （）=，故选： . （2009?安徽理） 给定两个长度为1 的平面向量OA和OB，它们的夹角为120o .如 图 所 示 ， 点.在 以 O为 圆 心 的 圆 弧A.上 变 动 .若,OCxOAyOB=+其中, x yR,则xy+的最大值是 =_.【答案】 2 【解析】设=320AOC，则-=32BOC，()()+-=-=?+=?+=?yxyxOBOByOAxOBOCOAOByOAxOAOC232cos2cos两式相加得+=-+=+6sin32coscos2yx，当3=时，xy+的最大值为2.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 42 页突破压轴客观题惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料- 6 - 你还能想到其他解法吗？例如：坐标化，构造()2OC （2016?江苏）如图，在ABC 中， D 是 BC 的中点， E， F 是 AD 上的两个三等分点，=4，=1，则的值是 _. 【答案】【解析】解法一：令，则，则，则，由，可得，因此，因此解法二：先证明常用的一个结论：极化恒等式由极化恒等式得 巩固练习 1.（2017?新课标） 在矩形 A.D中， A.=1 ，AD=2 ，动点 P 在以点 .为圆心且与.D相切的圆上若= + ，则+的最大值为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 42 页突破压轴客观题惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料- 7 - A. 3. 2 .D. 22.（2015.福建）已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A13 . 15 . 19 D213.（2014.湖南）16在平面直角坐标系中，为原点，动点满足的最大值是4.(2015.天津 )（14）在等腰梯形ABCD中 ,已知/ /,2,1,60ABDC ABBCABC=,动点E和F分 别在线段BC和DC上,且,1,9BEBC DFDC=则AE AF的最小值为.5.(2014.天津 )已知菱形ABCD的边长为2，120BAD，点,E F分别在边,BC DC上，BEBC，DFDC.若1AEAF，23CE CF，则（）（A）12（. ）23（. ）56（D）7126.(2013.安徽 )在平面直角坐标系中，o是坐标原点，两定点,A B满足2,OAOBOA OB=则点集,1, ,|POPOAOBR=+所表示的区域的面积是（A）2 2（. ）2 3（. ）4 2（D）4 37.(2012. 上 海 ) 在 正 三 角 形ABC中 ，D是BC上 的 点 ，3,1ABBD=， 则AB AD =。8(2007.重庆 )如题（ 10）图，在四边形ABCD中，4ABBDDC+=，4AB BDBDDC+=，0AB BDBD DC=，则()ABDCAC+的值为（）22 244 21,ABACABACtt=PABC4ABACAPABAC=+PB PCO( 1,0),(0,3),(3,0),ABC-D| 1,CDOAOBOD=+则DCAB题（10） 图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 42 页突破压轴客观题惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料- 8 - 9. (2007.陕西 )如图，平面内有三个向量OA、 OB 、 OC ,其中与OA与 OB 的夹角为120 ，OA与 OC 的夹角为30,且|OA|OB |1，|OC |32，若 OC OA+ OB（， R）,则 + 的值为.10.（2012.浙江）在 A.中， M 是 .的中点， AM=3 ，.=10，则AB AC=_ _.11设 ABC，P0是边 AB 上一定点，满足P0B=14AB，且对于AB 上任一点P，恒有PB?PCP0B?P0C，则AABC=90. BAC=90. AB=ACD AC=BC12 （2013.重庆）在平面上，12ABAB，121OBOB=,12APABAB=+.若12OP，则OA的取值范围是（）A、50,2. 、57,22. 、5,22D、7,22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 42 页突破压轴客观题惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料- 9 - 第二篇数列题型一：递推关系求通项 题型特点 递推关系求数列通项除了基础模型：( )1nnaaf n+-=累加法，( )1nnafna+=累积法，1nnapaq+=+待定系数法，配凑法外，再介绍如下几个特殊模型及相应方法：1. 1nnnapaq+=+，两边同除以1nq+，转化为111nnnnaapqq qq+=+，构造新数列nnnabq=；2. 1nnapaanb+=+，待定系数法，()()11nnax nyp axny+=+，解出, x y，转化为等比数列naxny+；3. 21nnnapaqa+=+， ；4. ( )( )( )1nnnfn aag n ah n+=+，取倒数5. 1nnnpaqarah+=+待定系数法：211()nnnnasat asa+-=-，其中stpstq+= -，求得1nnasa+-通项后再转化求na通项特征根法：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 42 页突破压轴客观题惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料- 10 - 典型例题 （2012.全国卷改编） 函数( )223fxxx=-，定义数列nx如下：112nxx+=，是过两点( )()4,5,nnnPQxfx（）、的直线nPQ与 x 轴交点的横坐标，数列nx的通项公式为巩固练习1. （2010.重庆卷改编） 在数列na中，1a=1，()()1121*nnnacacnnN+=+，其中实数0cna的通项公式为2. （2007.全国 1 改编）若数列nb中12b =，13423nnnbbb+=+，12 3n= ， ， ，nb的通项公式为1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 42 页突破压轴客观题惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料- 11 - 3.（2011.广东卷改编）设0,b数列na满足111= ,(2)22nnnnbaab anan-=+-,数列na的通项公式4.设数列满足，且，若表不不超过的最大整数，则（）A. 2015.2016. 2017D. 20185. 已 知 各 项 都 为 整 数 的 数 列中 ， 且 对 任 意 的， 满 足，则_题型二：周期数列和分奇偶讨论的数列问题 题型特点 周期数列和分奇偶讨论的数列问题也是常考的两种特殊数列，周期数列可结合函数的周期性，特别是三角函数，来思考；分奇偶讨论的数列，体现的是分类讨论的思想和特殊与一般的思维。典型例题 已知数列na满足10a =，()1331nnnaanNa+-=+，则20a=【解析】 本题最快速的解法是列举几项找到规律；观察递推式的结构特征，联想与两角差的正切公式结构类似，分析如下：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 42 页突破压轴客观题惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料- 12 - （2013湖南） .设nS为数列na的前 n 项和，1( 1),2nnnnSanN= -则（1）3a =_； （2）12100SSS+=_。【解析】 巩固练习 1. 已知数列的首项为2， 且数列满足， 设数列的前项和为，则（）A.D.2.在数列中， 已知， 记为数列的前项和，则_. 3.（2012.新课标）数列na满足1( 1)21nnnaan+ -=-，则na的前60项和为4.数列 an的通项公式cos12nnan=+，前 n 项和为 Sn，则 S2012=_。5. 已知正项数列na的前 n 项和为nS， 且1161nnnnaSnSS+=-+，1am=，现有如下说法：25a =；当 n 为奇数时，33nanm=+-；224232naaann+=+则上述说法正确的个数为（）A. 0 个.1 个. 2 个D. 3 个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 42 页突破压轴客观题惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料- 13 - 题型三：数列创新题 题型特点 归纳猜想，找规律是解决数学创新题的常用方法。由于是客观题，归纳猜想后，可无需用数学归纳法证明，简化了解题过程。而猜想的过程中，尽量保留每种特殊情况的分析过程，寻求变量与n 的关系才是解题关键所在。典型例题 （2018.北京）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点()kkkP xy，处，其中11x =，11y =，当2k时，11121 5551255kkkkkkxxTTkkyyTT-=+ -=+-，( )T a表示非负实数a的整数部分，例如(2.6)2T=，(0.2)0T=按此方案，第 6 棵树种植点的坐标应为； 第 2008棵树种植点的坐标应为【答案】 : (1,2) (3, 402)【解析】: T-5251kTk组成的数列为1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1 (k=1,2,3,4)。 一一带入计算得： 数列nx为 1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5；数列ny为 1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4.因此，第6 棵树种在(1,2)，第 2008 棵树种在 (3, 402)。 巩固练习 1. 定义在0，+）上的函数f（x）满足：当x1，2）时，；?x0，+）都有 f（2x）=2f（x）设关于x 的函数 F（x）=f（x）a 的零点从小到大依次为x1，x2，x3，xn，若，则 x1+x2+ +x2n=_2. 已知 f（x）= ，设 f1（x）=f（x），fn（x）=fn1fn1（x）（n1，nN* ） ，若 fm（x）= （mN* ） ，则 m 等于（）A. 9. 10. 11D. 1263. 数列 an的前项和为Sn， 且，用 x 表示不超过x 的最大整数， 如0.1=1， 1.6=1 ， 设 bn=an ， 则数列 bn的前 2n项和 b1+b2+b3+b4+b2n1+b2n=_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 42 页突破压轴客观题惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料- 14 - 4. 已知函数f xsinx=（ ），若存在12mxxx， ，满足1206mxxx，且 |f（x1）f（x2）|+|f（x2） f（x3）|+|f（xn1） f（xn）|=12，（m 2 ，mN*） ， 则 m 的最小值为 _5. （2016?浙江）如图，点列 An、Bn分别在某锐角的两边上且|AnAn+1|=|An+1An+2|，AnAn+1，nN*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，BnBn+1，nN*， （PQ 表示点 P 与 Q 不重合）若dn=|An.n|，Sn为An.n.n+1的面积，则（）A. Sn是等差数列. Sn2是等差数列. dn是等差数列D. dn2是等差数列6.如图，互不-相同的点12,nA AX和12,nBBB分别在角 O 的两条边上，所有nnA B相互平行，且所有梯形11nnnnA B BA+的面积均相等。设.nnOAa=若121,2,aa=则数列na的通项公式是 _*,23Nnnan-=_。7.（03江苏）设,0a如图，已知直线axyl=:及曲线 . ：2xy =，. 上的点 Q1的横坐标为1a， （aa10）.从 . 上的点 Qn（n1 ）作直线平行于x 轴，交直线 l 于点1+nP，再从点1+nP作直线平行于y 轴，交曲线. 于点 Qn+1.Qn（n=1，2，3，）的横坐标构成数列.nana的通项公式为OcylxQ1Q2Q3r2r1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 42 页突破压轴客观题惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料- 15 - 第三篇立体几何题型一：多面体与球 题型特点 多面体与外接球问题，可分为两类：一类是可套入长方体、圆锥、圆柱模型的，转化为这三个基本模型的外接球；另一类是取多面体的某两个面所在的小圆，过两小圆的圆心作截面的垂线，垂线交点即为球心，进而通过垂径定理，勾股定理计算得球半径；多面体与内切球问题，类比多边形与内切圆，多面体体积=13多面体表面积 内切球半径。 典型例题 （2006江西）.如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC、DC分别截于E、F.如果截面将四面体分为体积相等的两部分,设四棱锥ABEFD-与三棱锥AEFC-的表面积分别为1S、2S,则必有（）A.12SS .12SS=D.1S、2S的大小关系不能确定 （2005全国）将半径都为1 的 4 个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ A）3623 +（. ）2+362（. ）4+362（ D）36234+精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 42 页突破压轴客观题惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料- 16 - 巩固练习 1.（2012.新课标）已知三棱锥SABC-的所有顶点都在球O的求面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且2SC=；则此棱锥的体积为（）( )A26()B36()C23()D222.（2006.山东）如图，在等腰梯形A.D中， A.=2D.=2， DA.=60 ，E 为 A.的中点，将 ADE 与 .E.分别沿 ED、E. 向上折起，使A、. 重合于点P，则三棱锥 PD.E的外接球的体积为（A）4 327（. ）62（. ）68（D）6243. （2011.辽宁）已知球的直径SC=4， A， B 是该球球面上的两点， AB=3，30=BSCASC，则棱锥 SABC 的体积为（）A33.32.3D14.（2008.宁夏） 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上， 且该六棱柱的体积为98， 底面周长为3， 则这个球的体积为5.（2016?新课标） 在封闭的直三棱柱A.A1.1.1内有一个体积为V的球，若A.，A.=6 ，.=8，AA1=3，则 V 的最大值是（）A. 4. 6D.6. 将边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角.则四面体的内切球的半径为（）A. 1.D.7.在三棱锥中，平面，AEBCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 42 页突破压轴客观题惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料- 17 - 是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（）A.D.8.（2017?新课标卷）已知三棱锥SA.的所有顶点都在球O 的球面上， S. 是球 O 的直径，若平面S.A 平面 S.，SA=A. ，S.=.，三棱锥S A.的体积为9，则球 O 的表面积为 _9. 半径为R的球放在房屋的墙角处，球与围成墙角的三个互相垂直的面都相切，若球心到墙角的距离是，则球的表面积是_ 题型二：立体几何中的动态问题 题型特点 空间中的动态问题是立体几何中的难点，具体分为：截面问题，折展问题、最值范围问题和轨迹问题。截面问题，常以正方体为背景，常用平行，相交，构建辅助面等方法，本质上是研究共面问题；折展问题，关键把握折叠前后的变与不变；最值范围问题，往往与折展问题结合，可通过建系量化，转化为函数问题；轨迹问题，则需结合解析几何求轨迹的方法，充分利用圆锥曲线等各种曲线类型的定义。 典型例题 截面问题 （2013.安徽） 如图，正方体1111ABCDA B C D-的棱长为1，P 为 .的中点， Q为线段1CC上的动点，过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S。则下列命题正确的是_（写出所有正确命题的编号）。当102CQ时， S 为四边形当12CQ =时， S 为等腰梯形当34CQ =时， S 与11C D的交点 R 满足1113C R =当314CQ时， S 为六边形当1CQ =时， S的面积为62【答案】【解析】CQDTPQATPQATTDD22/1=且，则相交于设截面与.对，时当210.CQ,则. 10DT所以截面 S为四边形，且S为梯形 .所以为真 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 42 页突破压轴客观题惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料- 18 - 对 , 1=DT,21.时当=CQ重合与1,DT，截面 S为四边形.,11QDAPAPQD=所以截面S为等腰梯形 . 所以为真 .对 , 时当43.=CQ.31.21,23,411111=RCTDDTQC利用三角形相似解得所以为真 .对 , 2DT23,143.时当CQ.截面 S与线段1111CD,DA相交，所以四边形S为五边形.所以为假 .对 , AGAPCGDASCCQ111111,Q1.即为菱形相交于中点与线段截面重合与时，当=.对角线长度分别为.2632的面积为，和S所以为真 .综上，选折展求范围问题 （2009.浙江） 如图，在长方形ABCD中，2AB =，1BC =，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外） 上一动点 现将AFD沿AF折起， 使平面ABD 平面ABC在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足设AKt=，则t的取值范围是【答案】1,12【解析】 此题的破解可采用二个极端位置法，即对于 F位于 D.的中点时，1t =，随着 F 点到.点 时 ， 因,CBAB CBDKCB平 面ADB， 即 有CBBD， 对 于2,1,3CDBCBD=，又1,2ADAB=，因此有ADBD，则有12t =，因此t的取值范围是1,12折展求最值问题 （2017.新课标）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O。D、E、F 为圆 O 上的点， DBC， ECA， FAB 分别是以BC，CA，AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB 为折痕折起 DBC，ECA， FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥。当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位： cm3）的最大值为_。【答案】 4 cm3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 42 页突破压轴客观题惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料- 19 - 【解析】 由题意， 连接 OD，交 .于点 G，由题意得OD.，OG= .，即 OG 的长度与.的长度成正比，设 OG=x ，则 .=2 x，DG=5x，三棱锥的高h= = = ，=3 ，则 V= = = ，令 f（x）=25x410 x5， x（ 0，） ，f （ x）=100 x350 x4，令 f （ x）0 ，即 x42x30 ，解得 x2 ，则 f（x）f（2）=80，V =4 cm3， 体积最大值为4 cm3故答案为： 4 cm3轨迹问题 （2010.重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是A直线. 椭圆. 抛物线D双曲线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 42 页突破压轴客观题惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料- 20 - 巩固练习1.（2007 安徽）在正方体上任意选择4 个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4 个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编号）.矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体.2.（2016?浙江）如图，在A.中， A.=.=2， A.=120 若平面A.外的点 P 和线段 A.上的点 D，满足 PD=DA ，P.=.A，则四面体P.D的体积的最大值是_3.如图， 四边形 A.D和 ADPQ 均为正方形， 它们所在的平面互相垂直，动点 M 在线段 PQ上， E、F 分别为 A. 、.的中点。设异面直线EM 与 AF 所成的角为，则的最大值为. 4. 在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分别为和，则下列命题中正确的是（）A. 若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为. 若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为. 若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为D. 若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为5.如图， 在棱长为1 的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面内一点， 若，则线段长度的取值范围是（）A.D.6. 过正方体的顶点作平面，使棱、所在直线与cos精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 42 页突破压轴客观题惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料- 21 - 平面所成的角都相等，则这样的平面可以作（）A. 1 个. 2 个. 3 个D. 4 个7. 如图，已知正方体上、下底面的中心分别为，将正方体绕直线旋转一周，其中由线段旋转所得图形是（）A.D.8.已知直三棱柱的侧棱长为6，且底面是边长为2 的正三角形， 用一平面截此棱柱， 与侧棱，分别交于三点，若为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（）A. 3.D. 49. 底面为正方形的四棱锥SA.D，且 SD平面 A.D，SD= ，A.=1 ，线段 S. 上一 M 点满足= ，N 为线段 .D的中点， P 为四棱锥SA.D表面上一点，且DMPN，则点 P形成的轨迹的长度为（）A.D. 2 10 在我国古代数学名著九章算术 中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵A.A1.1.1中， A.=.，AA1A. ，堑堵的顶点 .1到直线 A1. 的距离为m，.1到平面 A1.的距离为n，则的取值范围是（）A.（1，）. （，）. （，）D. （，）11.将一张边长为12cm 的正方形纸片按如图（1）所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形， 将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图（2）所示放置如果正四棱锥的主视图是等边三角形，如图（3）所示，则正四棱锥的体积是（）A.cm3.cm3.cm3D.cm312. 在棱长为6 的正方体A.DA1.1.1D1中，M 是 .的中点， 点 P是面 D.1D1内的动点，且满足 APD= MP. ，则三棱锥P .D的体积最大值是（）A. 36. 12 . 24D. 18 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 42 页突破压轴客观题惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料- 22 - 13.如图，边长为 a 的等边三角形A.的中线 AF 与中位线DE 交于点 G， 已知 ADE是ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是（）FADE；.平面 ADE ；三棱锥 A FED 的体积有最大值A. . . D. 14.如图， 在直三棱柱A.A1.1.1中，A.=1，.=2，.1=3，A.=90 ，点D 为侧棱 .1上的动点，当 AD+D.1最小时，三棱锥 DA.1的体积为 _15.某几何体的一条棱长为3，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为2 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和 b 的线段，则 a+b 的最大值为 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 42 页突破压轴客观题惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料- 23 - 第四篇解析几何题型一：离心率问题 题型特点 求离心率的本质是探求圆锥曲线中，a、b、c 之间的数量关系，知道abc 任意两者间的齐次等式或不等式就可以解出e 的值或范围。除了直接法，将题目条件转化为a、b、c 关系外，我们还可以借助焦点三角形，第二定义焦半径，渐近线等基本问题模型来解决离心率问题。 典型例题 直接法（ 2009 江苏） 如图，在平面直角坐标系xoy中，1212,A A B B为椭圆22221(0)xyabab+=的四个顶点，F为其右焦点，直线12A B与直线1B F相交于点 T，线段OT与椭圆的交点恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为. 学科网【解析】考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。直线12AB的方程为：1xyab+=-；直线1B F的方程为：1xycb+=-。二者联立解得：2()(,)acb acTacac+-，则()(,)2()acb acMacac+-在椭圆22221(0)xyabab+=上，2222222()1,1030,1030()4()caccacaeeacac+=+-=+-=-，解得：2 75e =- 焦点三角形模型（2014.湖北） 已知12,FF是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且123F PF =,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A.4 33.233.3 D.2【答案】 A 【解析】设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1， （aa1） ，半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1， |PF2|=r2， |F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1， e2 F1PF2= ，由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2 2r1r2cos ，M精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 42 页突破压轴客观题惠州一中 2019 届理科实验班数学寒假学习资料- 24 - 在椭圆中，化简为即4c2=4a23r1r2， 即，在双曲线中，化简为即4c2=4a12+r1r2， 即，联立得，=4，由柯西不等式得（1+ ） （） （1 + ）2，即 （）= 即， d 当且仅当时取等号，另法：椭圆的焦点三角形中，结合椭圆定义和余弦定理，我们可以证明如下结论，请试试：12,F F为椭圆22221xyab+=的左右焦点，P 是椭圆上的动点，若12F PF =，则椭圆离心率e的取值范围为sin12e。椭圆和双曲线的焦点三角形中，结合定义和正弦定理，还可以证明如下结论，请试试：（1）12,FF为椭圆22221xyab+=的左右焦点， P 是椭圆上的动点，若12PF F =，21PF F =则椭圆离心率sin()sinsine+=+。（2）12,FF为双曲线22221xyab-=的左右焦点，P 是椭圆上的动点，若12PF F =，21PF F =则椭圆离心率sin()sinsine+=-。运用以上结论，再重新思考上面例题，是否有更快的方法？设 PF1|=m，|PF2|=n，则，则 a1+a2=m，则= ，由正弦定理得= ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结