2022年高考数学试题分类汇编解析几何 .pdf

五、解析几何一、选择题1.（重庆理8）在圆06222yxyx内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和 BD ，则四边形 ABCD 的面积为A25B210C15 2D220【答案】 B 2.（浙江理8）已知椭圆22122:1(0)xyCabab 与双曲线221:14yCx有公共的焦点，1C的一条渐近线与以1C的长轴为直径的圆相交于,A B两点，若1C恰好将线段AB三等分，则A2132aB213aC212bD22b【答案】 C 3.（四川理10）在抛物线25(0)yxaxa上取横坐标为14x，22x的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536xy相切，则抛物线顶点的坐标为A( 2, 9) B(0, 5)C(2,9)D(1, 6)【答案】 C 【解析】由已知的割线的坐标( 4,114 ),(2,21),2aaKa,设直线方程为(2)yaxb，则223651 (2)ba又2564( 2, 9)(2)yxaxbayaxb4.（陕西理2）设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x，则抛物线的方程是A28yx B28yxC24yxD24yx【答案】 B 5.（山东理8）已知双曲线22221(0b0)xyaab ， 的两条渐近线均和圆C:22650 xyx相切 ,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心 ,则该双曲线的方程为A22154xyB22145xyC22136xyD22163xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 30 页【答案】 A 6.（全国新课标理7）已知直线l 过双曲线 C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB为 C 的实轴长的2 倍， C 的离心率为（A）2（B）3（C）2 （ D）3 【答案】 B 7. （全国大纲理10） 已知抛物线C：24yx的焦点为 F， 直线24yx与 C 交于 A， B 两点 则cosAFB= A45B35C35D45【答案】 D 8.（江西理9）若曲线1C：2220 xyx与曲线2C：()0y ymxm有四个不同的交点，则实数m的取值范围是A （33，33）B （33，0）（ 0，33）C33，33 D （，33）（33，+）【答案】 B 9.（湖南理5）设双曲线222109xyaa的渐近线方程为320 xy，则a的值为A4 B3 C2 D1 【答案】 C 10.（湖北理4）将两个顶点在抛物线22(0)ypx p上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 n，则An=0 Bn=1 Cn=2 D n 3 【答案】 C 11. （福建理7） 设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F1， F2， 若曲线 r 上存在点P满足1122:PFF FPF=4:3:2，则曲线 r 的离心率等于A1322或B23或 2 C12或2 D2332或【答案】 A 12.（北京理8）设0,0A,4,0B，4,4C t,4D ttR.记N t为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N t的值域为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 30 页A9,10,11B9,10,12C9,11 ,12D10,11,12【答案】 C 13.（安徽理2）双曲线8222yx的实轴长是（A）2 （B） 22（C） 4 （D）42【答案】 C 14.（辽宁理3）已知 F 是抛物线y2=x 的焦点， A， B 是该抛物线上的两点，=3AFBF，则线段AB的中点到y 轴的距离为（A）34（B）1 （ C）54（D）74【答案】 C 二、填空题15.（湖北理14）如图，直角坐标系xOy所在的平面为，直角坐标系xOy（其中y轴一与y轴重合）所在的平面为，45xOx。（）已知平面内有一点(2 2,2)P，则点P在平面内的射影P的坐标为；（） 已知平面内的曲线C的方程是22(2)220 xy，则曲线C在平面内的射影C的方程是。【答案】（2， 2）22(1)1xy16.（浙江理 17）设12,F F分别为椭圆2213xy的左、 右焦点， 点,A B在椭圆上， 若125F AF B;则点A的坐标是【答案】(0,1)17.（上海理3）设m为常数，若点(0,5)F是双曲线2219yxm的一个焦点，则m。【答案】 16 18.（江西理14）若椭圆22221xyab的焦点在x轴上，过点（ 1，12）作圆22+=1xy的切线，切点分别为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 30 页A,B ，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是【答案】22154xy19.（北京理14）曲线 C 是平面内与两个定点F1（ -1，0）和 F?2（1，0）的距离的积等于常数)1(2aa的点的轨迹 .给出下列三个结论： 曲线 C 过坐标原点； 曲线 C 关于坐标原点对称；若点 P 在曲线 C 上，则 F1PF2的面积大于21a2。其中，所有正确结论的序号是。【答案】20.（四川理14）双曲线22xy=1P46436上一点到双曲线右焦点的距离是，那么点P 到左准线的距离是【答案】565【 解 析 】8,6 ,1 0abc， 点P显 然 在 双 曲 线 右 支 上 ， 点P到 左 焦 点 的 距 离 为14 ， 所 以1455645cdda21.（全国大纲理15）已知 F1、F2 分别为双曲线C: 29x- 227y=1 的左、右焦点，点AC，点 M 的坐标为（2， 0） ，AM 为 F1AF2 的平分线则|AF2| = 【答案】 6 22.（辽宁理13）已知点（ 2， 3）在双曲线C：)0,0( 12222babyax上， C 的焦距为4，则它的离心率为【答案】 2 23.（重庆理15）设圆 C 位于抛物线22yx与直线 x=3 所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C 的半径能取到的最大值为_ 【答案】6124.（全国新课标理14） （14） 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F在 x 轴上，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 30 页离心率为22过点1F的直线 l 交 C 于 A， B 两点，且2ABF的周长为16，那么 C 的方程为 _【答案】221168xy25.（安徽理15）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点( ,)x y为整点，下列命题中正确的是_（写出所有正确命题的编号）. 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点如果k与b都是无理数，则直线ykxb不经过任何整点直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点直线ykxb经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数存在恰经过一个整点的直线【答案】，三、解答题26.（江苏18）如图，在平面直角坐标系xOy中， M、N 分别是椭圆12422yx的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、 A 两点，其中P 在第一象限，过P 作 x 轴的垂线，垂足为C，连接 AC，并延长交椭圆于点 B，设直线 PA 的斜率为 k （1）当直线PA 平分线段MN ，求 k 的值；（2）当 k=2 时，求点P 到直线 AB 的距离 d；（3）对任意k0，求证： PAPB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16 分. 解： （1）由题设知，),2,0(),0,2(,2,2NMba故所以线段MN 中点的坐标为)22, 1(，由于直线 PA 平分线段MN ，故直线 PA 过线段 MN 的中点，又直线PA 过坐标原点，所以.22122k（2）直线 PA 的方程2221,42xyyx代入椭圆方程得解得).34,32(),34,32(,32APx因此精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 30 页于是),0 ,32(C直线 AC 的斜率为.032, 13232340yxAB的方程为故直线.32211|323432|,21d因此（3）解法一：将直线 PA 的方程kxy代入2222221,421212xyxkk解得记则)0,(),(),(CkAkP于是故直线 AB 的斜率为,20kk其方程为,0)23(2)2(),(222222kxkxkxky代入椭圆方程得解得223222(32)(32)(,)222kkkxxBkkk或因此. 于是直线 PB 的斜率.1)2(23)2(2)23(2222322231kkkkkkkkkkkk因此., 11PBPAkk所以解法二：设)0 ,(),(, 0, 0),(),(11121212211xCyxAxxxxyxByxP则. 设直线 PB，AB 的斜率分别为21,kk因为 C 在直线 AB 上，所以.22)()(0111112kxyxxyk从而1)()(212112121212211xxyyxxyykkkk.044)2(12221222122222221222122xxxxyxxxyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 30 页因此., 11PBPAkk所以27.（安徽理21）设，点A的坐标为（ 1,1） ，点B在抛物线yx上运动，点Q满足QABQ，经过Q点与Mx轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足MPQM,求点P的轨迹方程。本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养. 解：由MPQM知 Q， M，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设.)1(),(),(),(),(2020220yxyxyyxxxMyxQyxP则则再设),1 ,1().(,),(010111yxyyxxQABQyxB即由解得.)1 (,)1 (011yyxx将式代入式，消去0y，得.)1 ()1(,)1(2211yxyxx又点 B 在抛物线2xy上，所以211xy，再将式代入211xy，得.012),1(,0.0)1 ()1 ()1(2,)1(2)1()1 ()1(,)1()1 ()1(22222222yxyxxxyxxyx得两边同除以因故所求点P 的轨迹方程为.12xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 30 页28. （北京理19）已知椭圆22:14xGy.过点（ m,0）作圆221xy的切线 I 交椭圆 G 于 A，B 两点 . （I）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（II）将AB表示为 m 的函数，并求AB的最大值 . （19） （共 14 分）解： （）由已知得, 1, 2 ba所以.322bac所以椭圆 G 的焦点坐标为)0,3(),0,3(离心率为.23ace（）由题意知，1| m. 当1m时，切线l 的方程1x，点 A、B 的坐标分别为),23, 1 (),23, 1(此时3| AB当 m=1 时，同理可得3| AB当1| m时，设切线l 的方程为),(mxky由0448)41 (.14),(2222222mkmxkxkyxmxky得设 A、B 两点的坐标分别为),)(,(2211yxyx，则2222122214144,418kmkxxkmkxx又由 l 与圆.1, 11|,1222222kkmkkmyx即得相切所以212212)()(|yyxxAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 30 页41)44(4)41(64)1 (2222242kmkkmkk.3|342mm由于当3m时，,3| AB所以), 1 1,(,3|34|2mmmAB. 因为,2|3|343|34|2mmmmAB且当3m时， |AB|=2 ，所以 |AB|的最大值为2. 29.（福建理17）已知直线l： y=x+m，mR。（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l 相切与点P，且点 P在 y 轴上，求该圆的方程；（II ）若直线 l 关于 x 轴对称的直线为l，问直线l与抛物线C：x2=4y 是否相切？说明理由。本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13 分。解法一：（I）依题意，点P 的坐标为（ 0，m）因为MPl，所以01120m，解得 m=2，即点 P 的坐标为（ 0，2）从而圆的半径22|(20)(02)2 2,rMP故所求圆的方程为22(2)8.xy（II ）因为直线l的方程为,yxm所以直线 l的方程为.yxm由22,4404yxmxxmxy得244416(1)mm（1）当1,0m即时，直线 l与抛物线C 相切精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 30 页（2）当1m，那0时，直线 l与抛物线 C 不相切。综上，当m=1 时，直线 l与抛物线C 相切；当1m时，直线 l与抛物线C 不相切。解法二：（I）设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为22(2).xyr依题意，所求圆与直线:0lxym相切于点 P（0，m） ，则224,|20|,2mrmr解得2,2 2.mr所以所求圆的方程为22(2)8.xy（II ）同解法一。30.（广东理19）设圆 C 与两圆2222(5)4,(5)4xyxy中的一个内切，另一个外切。（1）求 C 的圆心轨迹L 的方程 ; （2）已知点M3 5 4 5(,),(5,0)55F，且 P为 L 上动点，求MPFP的最大值及此时点P 的坐标（ 1）解：设C 的圆心的坐标为( ,)x y，由题设条件知2222|(5)(5)|4,xyxy化简得 L 的方程为221.4xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 30 页（ 2）解：过M，F 的直线l方程为2(5)yx，将其代入L 的方程得21532 5840.xx解得12126 514 56 52 514 5 2 5,(,),(,).515551515xxlLTT故 与 交点为因 T1 在线段 MF 外， T2 在线段 MF 内，故11| 2,MTFTMF22| 2.MTFTMF，若 P不在直线MF 上，在MFP中有|2.MPFPMF故|MPFP只在 T1 点取得最大值2。31.（湖北理20）平面内与两定点1(,0)Aa，2( ,0)A a(0)a连续的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹， 加上1A、2A两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线（）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值得关系；（）当1m时，对应的曲线为1C；对给定的( 1,0)(0,)mU，对应的曲线为2C，设1F、2F是2C的两个焦点。试问：在1C撒谎个，是否存在点N，使得1FN2F的面积2|Sm a。若存在，求tan1FN2F的值；若不存在，请说明理由。本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。（满分 14 分）解： （I）设动点为M，其坐标为( ,)x y，当xa时，由条件可得12222,MAMAyyykkmxaxaxa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 30 页即222()mxymaxa，又12(,0),(,0)AaA A的坐标满足222,mxyma故依题意，曲线C 的方程为222.mxyma当1,m时曲线 C 的方程为22221,xyCama是焦点在y 轴上的椭圆；当1m时，曲线C 的方程为222xya，C 是圆心在原点的圆；当10m时，曲线C 的方程为22221xyama，C 是焦点在x 轴上的椭圆；当0m时，曲线C 的方程为22221,xyamaC 是焦点在x 轴上的双曲线。（II ）由（ I）知，当m=-1 时， C1 的方程为222;xya当( 1,0)(0,)m时，C2 的两个焦点分别为12(1,0),(1,0).FamF am对于给定的( 1,0)(0,)m，C1 上存在点000(,)(0)N xyy使得2|Sm a的充要条件是22200020,0,121| |.2xyayamym a由得00 |,ya由得0|.1m aym当|150,0,21m aamm即或1502m时，存在点 N，使 S=|m|a2；当|15,21m aam即-1m精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 30 页或152m时，不存在满足条件的点N，当1515,00,22m时，由100200(1),(1,)NFamxyNFamxy，可得22221200(1),NFNFxm ayma令112212|,|,NFrNFrF NF，则由22121 21 2cos,cosmaNFNFr rmar r可得，从而221 21sin1sintan22cos2maSr rma，于是由2|Sm a，可得2212 |tan|,tan.2mmam am即综上可得：当15,02m时，在 C1 上，存在点N，使得212|,tan2;Sm aF NF且当150,2m时，在 C1 上，存在点N，使得212|,tan2;Sm aF NF且当1515( 1,)(,)22m时，在 C1 上，不存在满足条件的点N。32.（湖南理21）如图7，椭圆22122:1(0)xyCabab的离心率为32， x 轴被曲线22:Cyxb截得的线段长等于C1 的长半轴长。（）求 C1，C2 的方程；（）设 C2 与 y 轴的焦点为M，过坐标原点O 的直线l与 C2 相交于点A,B,直线 MA,MB分别与 C1 相交与 D,E（i）证明： MD ME; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 30 页（ii）记 MAB, MDE 的面积分别是12,S S问：是否存在直线l,使得121732SS?请说明理由。解 ： （）由题意知.1,2,2,2,23baabbaace解得又从而故 C1，C2 的方程分别为.1, 14222xyyx（）（i）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k，则直线l 的方程为kxy. 由12xykxy得012kxx. 设212211,),(),(xxyxByxA则是上述方程的两个实根，于是.1,2121xxkxx又点 M 的坐标为（ 0，1） ，所以2121212212122111)()1)(1(11xxxxkxxkxxkxkxxyxykkMBMA.11122kk故 MA MB ，即 MD ME. （ii）设直线MA 的斜率为k1，则直线MA 的方程为1, 1, 1211xyxkyxky由解得1,1021kykxyx或则点 A 的坐标为) 1,(211kk. 又直线 MB 的斜率为11k，同理可得点B 的坐标为).11,1(211kk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 30 页于是221111111111111| |1|1|222|kSMAMBkkkkk由044, 1221yxxky得. 08)41(1221xkxk解得12121218,140,14114kxkxykyk或则点 D 的坐标为2112211841(,).1 414kkkk又直线 ME 的斜率为k1，同理可得点E 的坐标为).44,48(2121211kkkk于是)4)(1(|)1 (32|2121211212kkkkMEMDS. 因此21122114(417).64SkSk由题意知，2221112114171(417),4,.64324kkkk解得或又由点 A、B 的坐标可知，21211111113,.12kkkkkkkk所以故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为.2323xyxy和33.（辽宁理20）如图，已知椭圆C1 的中心在原点O，长轴左、右端点M，N 在 x 轴上，椭圆 C2 的短轴为MN，且 C1， C2 的离心率都为e，直线 lMN ，l 与 C1交于两点，与C2 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 30 页（I）设12e，求BC与AD的比值；（II ）当 e 变化时，是否存在直线l，使得 BOAN ，并说明理由解： （I）因为 C1，C2 的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)xyb yxCCababaa设直线:(|)lxtta，分别与 C1，C2 的方程联立，求得2222( ,),( ,).abA tatB tatba4分当13,22ABebayy时分别用表示 A，B 的纵坐标，可知222|3|:|.2|4BAybBCADya6分（ II）t=0 时的 l 不符合题意 .0t时， BO/AN 当且仅当BO 的斜率 kBO 与 AN 的斜率 kAN 相等，即2222,baatatabtta解得222221.abetaabe因为2212| |,01,1,1.2etaeee又所以解得所以当202e时，不存在直线l，使得 BO/AN ；当212e时，存在直线l 使得 BO/AN. 12 分34.（全国大纲理21）已知 O 为坐标原点，F 为椭圆22:12yCx在 y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为- 2的直线l与 C 交于 A、B 两点，点P满足0.OAOBOP（）证明：点P在 C 上；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 30 页（）设点P 关于点 O 的对称点为Q，证明： A、P、 B、Q 四点在同一圆上解：（I）F（0，1） ，l的方程为21yx，代入2212yx并化简得242 210.xx 2 分设112233(,),(,),(,),A xyB xyP xy则122626,44xx1212122,2()21,2xxyyxx由题意得3123122(),()1.2xxxyyy所以点 P的坐标为2(, 1).2经验证，点P 的坐标为2(, 1)2满足方程221,2yx故点 P在椭圆 C 上。 6 分（ II）由2(, 1)2P和题设知，2(,1)2QPQ 的垂直平分线1l的方程为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 30 页2.2yx设 AB 的中点为M，则2 1(,)42M，AB 的垂直平分线为2l的方程为21.24yx由、得12,l l的交点为2 1(, )88N。 9 分2222122222213 11|()( 1),28883 2|1(2)|,23 2|,422113 3|()(),482883 11|,8NPABxxAMMNNAAMMN故|NP|=|NA|。又|NP|=|NQ|， |NA|=|NB| ，所以 |NA|=|NP|=|NB|=|MQ| ，由此知 A、P、B、Q 四点在以N 为圆心， NA 为半径的圆上 12 分35.（全国新课标理20）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（ 0， -1） ， B 点在直线3y上， M点满足/ /MBOA，MA ABMB BA， M 点的轨迹为曲线C（I）求 C 的方程；（II ）P 为 C 上动点，l为 C 在点 P处的切线，求O 点到l距离的最小值(20）解：()设 M(x ，y)，由已知得B(x ，-3)，A(0，-1). 所以MAuuu r=（-x，-1-y） ，MBuuu r=(0，-3-y)，ABuu u r=(x，-2). 再由题意可知（MAuuu r+MBuuu r）?ABuu u r=0， 即（ -x，-4-2y）? (x，-2)=0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 30 页所以曲线C 的方程式为y=14x2-2. ()设 P(x0，y0)为曲线 C：y=14x2-2 上一点，因为y=12x，所以l的斜率为12x0因此直线l的方程为0001()2yyxxx，即2000220 x xyyx则 O 点到l的距离20020| 2|4yxdx.又200124yx，所以2020220014142(4)2,244xdxxx当20 x=0 时取等号，所以O 点到l距离的最小值为2. 36.（山东理22）已知动直线l与椭圆C: 22132xy交于 P11,xy、 Q22,xy两不同点，且OPQ 的面积OPQS=62,其中 O 为坐标原点 . （）证明2212xx和2212yy均为定值 ; （）设线段PQ 的中点为 M，求| |OMPQ的最大值；（）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得62ODEODGOEGSSS?若存在，判断DEG 的形状；若不存在，请说明理由. （I）解：（1）当直线l的斜率不存在时，P，Q 两点关于x 轴对称，所以2121,.xx yy因为11(,)P x y在椭圆上，因此2211132xy又因为6,2OPQS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 30 页所以116| |.2xy由、得116|,| 1.2xy此时222212123,2,xxyy（ 2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为,ykxm由题意知m0，将其代入22132xy，得222(23)63(2)0kxkmxm，其中22223612(23)(2)0,k mkm即2232km（ *）又212122263(2),2323kmmxxx xkk所以22222121222 632|1()41,23kmPQkxxx xkk因为点 O 到直线l的距离为2|1,mdk所以1|2OPQSPQd2222212 6 32|12231kmmkkk2226 |3223mkmk又6,2OPQS整理得22322,km且符合（ *）式，此时222221212122263(2)()2()23,2323kmmxxxxx xkk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 30 页222222121212222(3)(3)4()2.333yyxxxx综上所述，222212123;2,xxyy结论成立。（ II）解法一：（ 1）当直线l的斜率存在时，由（ I）知116| |,| 2 |2,2OMxPQy因此6| |26.2OMPQ（ 2）当直线l的斜率存在时，由（I）知123,22xxkm22212122222212122222222222222332(),2222916211|()()(3),2244224(32)2(21)1|(1)2(2),(23)yyxxkkmkmmmmmxxyykmOMmmmmkmmPQkkmm所以2222111|(3)2(2)2OMPQmm2222211(3)(2)113225().24mmmm所以5| |2OMPQ，当且仅当221132,2mmm即时，等号成立 . 综合（ 1） （2）得 |OM|PQ|的最大值为5.2解法二：因为222222121221214 |()()()()OMPQxxyyxxyy222212122()()10.xxyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 30 页所以224 |102 | |5.25OMPQOMPQ即5| |,2OMPQ当且仅当2 | |5OMPQ时等号成立。因此|OM|PQ|的最大值为5.2（ III ）椭圆 C 上不存在三点D， E，G，使得6.2ODEODGOEGSSS证明：假设存在11226( , ),(,),(,)2ODEODGOEGD u v E xyG xySSS满足，由（ I）得22222222222212121212222222121212123,3,3;2,2,2,3;1.25, ,1,2uxuxxxvyvyyyuxxvyyu x xv y y解得因此只能从中选取只能从中选取因此 D，E，G 只能在6(, 1)2这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与62ODEODGOEGSSS矛盾，所以椭圆 C 上不存在满足条件的三点D，E，G. 37.（陕西理17）如图，设 P 是圆2225xy上的动点，点D 是 P 在 x 轴上的摄影， M 为 PD 上一点，且45MDPD（）当 P 在圆上运动时，求点M 的轨迹 C 的方程；（）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C 所截线段的长度精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 30 页解： （）设 M 的坐标为（ x,y）P 的坐标为（ xp,yp）由已知得,5,4xpxypyP 在圆上，225254xy，即 C 的方程为2212516xy（）过点（3，0）且斜率为45的直线方程为435yx，设直线与 C 的交点为1122,A x yB xy将直线方程435yx代入 C 的方程，得22312525xx即2380 xx12341341,22xx线段 AB 的长度为22212121216414114125255ABxxyyxx注：求 AB 长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样得分。38.（上海理23） 已知平面上的线段l及点P，在l上任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作(, )d P l。（1）求点(1,1)P到线段:30(35)lxyx的距离(, )d P l；（2）设l是长为 2 的线段，求点集|(, )1DP d P l所表示图形的面积；（3）写出到两条线段12,l l距离相等的点的集合12|( , )( ,)P d P ld P l，其中12,lAB lCD，,A B C D是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是2 分，6 分， 8 分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。(1,3),(1,0),( 1,3),( 1,0)ABCD。(1,3),(1,0),( 1,3),( 1, 2)ABCD。1-1-11yxOBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 30 页( 0 ,1 ) ,( 0 , 0 ) ,( 0 , 0 ) ,ABCD。解：设( ,3)Q x x是线段:30(35)lxyx上一点，则22259|(1)(4)2()(35)22PQxxxx，当3x时，min( , )|5d P lPQ。 设线段l的端点分别为,A B，以直线AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，则( 1,0),(1,0)AB，点集D由如下曲线围成12:1(| 1),:1(| | 1)lyxlyx，222212:(1)1(1),:(1)1(1)CxyxCxyx其面积为4S。 选择(1,3),(1 ,0),( 1,3),( 1,0)ABCD，(, ) |0 x yx 选择(1,3),(1,0),( 1,3),( 1,2)ABCD。2( , ) |0,0( , )|4 , 20( , ) |10,1x yxyx yyxyx yxyx 选择(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)ABCD。(, ) |0,0(,)|,01x yxyx yyxx2( , )|21,12(, )|4230,2x yxyxx yxyx39.（四川理21）椭圆有两顶点A（-1，0） 、B（1，0） ，过其焦点F（0， 1）的直线l 与椭圆交于C、D 两点，并与x 轴交于点 P直线 AC 与直线 BD 交于点 Q（I）当 |CD | = 322时，求直线l 的方程；DB=CA122.5yx-2xy-113ABCDOODCBA31-1yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 30 页（II ）当点 P 异于 A、B 两点时，求证：OP OQ为定值。解：由已知可得椭圆方程为2212yx，设l的方程为1(0),yk xk为l的斜率。则1212222222212122242122(2)2101221222kykxyyxxkkkxkxykxx xy ykk2422221212222288889()()22(2)(2)2kkkxxyykkkkl的方程为21yx40.（天津理 18）在平面直角坐标系xOy中，点( , )P a b (0)ab为动点，12,F F分别为椭圆22221xyab的左右焦点已知12F PF为等腰三角形（）求椭圆的离心率e；（）设直线2PF与椭圆相交于,A B两点，M是直线2PF上的点， 满足2AMBM，求点M的轨迹方程本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分 13 分 . （ I）解：设12(,0),( ,0)(0)FcF cc由题意，可得212| |,PFF F即22()2 .acbc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 30 页整理得22()10,1cccaaa得（舍） ，或1.2ca所以1.2e（II ）解：由（ I）知2 ,3 ,ac bc可得椭圆方程为2223412,xyc直线 PF2 方程为3().yxcA， B 两点的坐标满足方程组2223412,3().xycyxc消去 y 并整理，得2580.xcx解得1280,.5xxc得方程组的解21128,0,53 ,3 3.5xcxycyc不妨设83 3(,),(0,3 )55AccBc设点 M 的坐标为83 3( ,),(,),( ,3 )55x yAMxc ycBMx yc则，由33(),.3yxccxy得于是8 3383 3(,),15555AMyxyx( ,3 ).BMxx由2,AMBM即8 3383 3()()3215555yxxyxx，化简得21816 3150.xxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 30 页将2218153105,0.31616 3xxycxycxx代入得所以0.x因此，点M 的轨迹方程是218163150(0).xxyx41.（浙江理21）已知抛物线1C:3xy，圆2C:22(4)1xy的圆心为点M （）求点M 到抛物线1c的准线的距离；（）已知点P 是抛物线1c上一点（异于原点） ，过点 P 作圆2c的两条切线，交抛物线1c于 A，B 两点，若过 M，P两点的直线l垂直于 AB，求直线l的方程本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15 分。（ I）解：由题意可知，抛物线的准线方程为：1,4y所以圆心M（0，4）到准线的距离是17.4（II ）解：设222001122(,),(,),(,)P xxA x xB xx，则题意得00120,1,xxxx，设过点 P的圆 C2 的切线方程为200()yxk xx，即200ykxkxx则2002|4|1,1kxxk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 30 页即222220000(1)2(4)(4)10 xkxxkx，设 PA， PB 的斜率为12