2022年直线参数方程的几何意义 .pdf
精品资料欢迎下载一、参数方程及参数等的几何意义若倾斜角为的直线过点)(00yxM， t 为参数，则该直线的参数方程可写为为参数，ttyytxxsincos00若直线过点M ，直线与圆锥曲线交于两点P、Q，则|MP|、 |MQ| 的几何意义就是：|21tMQtMP，；|MP|+|MQ| 的几何意义就是：|MQMP|t |t |21；|MP| |MQ| 的几何意义就是：|21ttMQMP；|PQ|的几何意义就是：2122121214)(|PQ|PQ|tttttttt，即. 例 1：已知直线l：01yx与抛物线2xy交于BA，两点，求线段AB的长和点)2, 1(M到BA,两点的距离之积。（1）如何写出直线l 的参数方程解：因为直线l 过定点M，且 l 的倾斜角为43，所以它的参数方程是43sin243cos1tytx， （t为参数），即tytx222221， （t为参数）（2）如何求出交点A，B 所对应的参数21tt ，？把代入抛物线的方程，得0222tt，222121tttt，（3）|MBMAAB 、与21tt，有什么关系？由参数方程的几何意义可得：104)(|2122121ttttttAB|MBMA=2|2|21tt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页精品资料欢迎下载二、求弦的中点坐标若过点 M)(00yx ，、倾斜角为的直线 l 与圆锥曲线交于A、B 两点，则弦的中点坐标公式为：2)sin()sin(22)cos()cos(2201021201021tytyyyytxtxxxx或)(22)()(2)(22)()(2212022012021211021011021ttpytpytpyyyyttpxtpxtpxxxx，21pp ，为常数，均不为零(其中中点 M 的相应参数为t，而221ttt，所以中点坐标也为：tpyytpxx2010) 若过点 M)(00yx ，、倾斜角为的直线l 与圆锥曲线交于A、 B 两点，且M 恰为弦AB 中点，则中点M 的相应参数：221ttt=0 （因为tpyytpxx200100，而21pp，均不为 0，所以 t=0）例 2：直线 l)(542531为参数， ttytx与双曲线1)2(22xy相交于 A、B 两点，求弦 AB中点 M 的坐标。解：把)(542531为参数， ttytx直接代入1)2(22xy中，可得：1)531()54(22tt，即0503072tt，则73021tt，所以 M 的横坐标为：716791)730(21531-, 点 M 的纵坐标为：727122)730(21542（注：这部分内容在演草纸上显示即可）所以中点 M 的坐标为)72716(，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页精品资料欢迎下载三应用部分例 3：经过点 M(2,1) 作直线 l，交椭圆141622yx于 A，B 两点，如果点M 恰好为线段AB的中点，求直l 的方程。解：设经过点M(2,1) 的直线 l 的参数方程为：)(,sin1cos2为参数，ttytx代入椭圆方程，整理得：08)sin2(cos4)1sin3(22tt由 t 的几何意义可知|B|21tMtMA，因为点 M 在椭圆内， 这个方程必有两个实根，所以1sin3)sin2(cos4221tt. 因为点 M 为线段 AB 的中点，所以0sin2cos0221，即tt于是直线l 的斜率为21tank，因此，直线l 的方程是0421)2(21yxxy，即. 例 4：已知经过点P(2，0)，斜率为34的直线和抛物线xy22相交于A， B 两点，设线段AB 的中点为M，求点 M 的坐标 . 解：设过点P(2，0)的直线 AB 的倾斜角为 ，由已知可得：54sin,53cos. 所以，直线的参数方程为)(54532为参数，ttytx代 入 抛 物 线xy22， 整 理 得 ：05 01 582tt， 中 点M的 相 应 参 数 为1615221ttt，所以点M 的坐标是)43,1641(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页精品资料欢迎下载例 5：已知直线l：x+y-1=0 与抛物线2xy交于 A，B 两点，求线段AB 的长和点M(-1,2)到 A、B 两点的距离之积. 解法一 ：解：由201xyyx可得：012xx（*）由韦达定理可得：1-12121xxxx，10524)(k1|AB|212212xxxx由(*) 解得25-1-25121xx，25325321yy，记直线与抛物线的交点坐标为A)253251()253,251(，B，则24)53)(53(5353)2532()2511()2532()2511(|2222MBMA解法二 ：解：因为直线l 过定点M，且 l 的倾斜角为43，所以它的参数方程是43sin243cos1tytx， （t为参数），即tytx222221， （t为参数）把代入抛物线的方程，得0222tt，222121tttt，104)(|2122121t tttttAB|MBMA=2|2|21tt. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页
