2022年知识讲解《解三角形》全章复习与巩固基础 .pdf
读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思解三角形全章知识复习与巩固编稿：李霞审稿：张林娟【学习目标】1. 正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2. 应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题【知识网络】【要点梳理】要点一：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即：sinsinsinabcABC要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形，且2sinsinsinabcRABC（R为ABC的外接圆半径） ；（2）应用正弦定理解决的题型：已知两角和一边，求其它已知两边和一边的对角，求其它（3）在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解. 要点二：余弦定理在 ABC中，Abccbacos2222，Baccabcos2222，Cabbaccos2222变形为：bcacbA2cos222，acbcaB2cos222，abcbaC2cos222精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思要点诠释：（1）应用余弦定理解决的题型：已知三边，求各角已知两边和一边的对角，求其它已知两边和夹角，求其它；（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别；（3）正、余弦定理可以结合使用. 要点三：三角形的面积公式(1) 111222abcSahbhch，其中,abchh h为, ,a b c边上的高(2)BacAbcCabSsin21sin21sin21（3）()()()Sp papbpc，其中2abcp要点四：三角形形状的判定方法设 ABC 的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、 C，解斜三角形的主要依据是：（1）角与角关系：由于A+B+C = ，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)= cosC；tan(A+B)= tanC；2sin2cos,2cos2sinCBACBA；（2）边与边关系：a + b c，b + c a，c + a b，ab c， bc b；（3）边与角关系：正弦定理、余弦定理常用两种途径：（1）由正余弦定理将边转化为角；（2）由正余弦定理将角转化为边. 要点诠释： 化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等综合结合起来. 在 ABC 中，熟记并会证明：A， B， C 成等差数列的充分必要条件是B=60；ABC 是正三角形的充分必要条件是A， B， C 成等差数列且a， b，c 成等比数列 .要点五：解三角形应用的分类（1）距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；（2）高度问题（最后都转化为解直角三角形）；（3）角度问题；（4）面积问题 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思【典型例题】类型一：正、余弦定理的基本应用例 1.ABC 中， D 为边 BC 上的一点， BD 33，5sin13B，3cos5ADC，求 AD 【思路点拨】确定在在ABD 中运用正弦定理，将问题转化为求BAD的正弦值 . 【解析】由3cos05ADC知2B由已知得12cos13B，4sin5ADC，从而sinsin()BADADCB=sincoscossinADCBADCB412353351351365由正弦定理得sinsinADBDBBAD，所以sinsinBDBADBAD53313=253365【总结升华】解答此类问题应注意以下几点：（1）画出三角形，把相关数据标注在三角形中，便于确定已知和所求； （2）明确求解所用的定理，有些题目正、余弦定理都可以求解；（3）注意对三角形的内角和定理、大边对大角定理的灵活运用，避免增解、漏解的现象. 举一反三：【变式1】设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a ,b, c . 若 ()()abc abcab , 则角C_. 【答案】由222()()abc abcababcab根据余弦定理可得22212cos223abcCCab【变式 2】在 ABC 中，已知 BAC 60， ABC 45，3BC，则 AC _【答案】由正弦定理得sinsinACBCABCBAC，即3sin 45sin60AC，得3sin 452sin60AC类型二：正、余弦定理的综合应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思例 2.在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为a，b，c，已知1cos24C（1）求 sinC 的值；（2）当 a2，2sinAsinC 时，求 b 及 c 的长【思路点拨】（1）利用二倍角公式及三角形内角的范围，易求得sinC 的值； （2）首先利用正弦定理将角化为边，易求得边c，要求边 b，考虑用余弦定理，即先求出cosC 的值 . 【解析】（1）因为21cos212sin4CC，及0C，所以10sin4C（2）当 a2，2sinA sinC 时，由正弦定理sinsinacAC，得 c4由21cos22cos14CC，及0C得6cos4C由余弦定理得2222coscababC，得26120bb解得6b或2 6所以6,4bc或2 64.bc【总结升华 】 解答该类题目要注意以下几个方面：（1）借助图形标注已知和所求；（ 2）利用三角形的性质把相关条件化归到同一个三角形中；（3）注意灵活利用正、余弦定理，实施边、角互化. 举一反三：【变式 1】在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是a，b，c，若223abbc，sin2 3sinCB，则 A 的度数为【答案】sin2 3sin2 3CBcb，22222233abbcabcbcc22223bcacbc，22222333c o s222222bcacb cccAb cb cb cb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2 333222，在 ABC 中 A30【变式 2】设 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A BC，3b=20acosA，则 sinA：sinB：sinC 为（）A 4:3:2 B. 5：6：7 C. 5:4:3 D. 6:5:4 【答案】由于a，b，c 三边的长为连续的三个正整数，且ABC，可设三边长分别为a、a-1、 a-2由余弦定理可得222222(1)(2)5cos22(1)(2)2(2)bcaaaaaAbcaaa又 3b=20acosA，可得33(1)5cos20202(2)baaAaaa解得6a，故三边是6,5,4. 由正弦定理可得sinA：sinB： sinC=6:5:4 类型三：利用正、余弦定理解决实际问题例 3. 在 20XX 年的“利剑”军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为32a的军事基地C 和 D，测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和 B 处，且 ADB 30， BDC 30， DCA 60，ACB 45，如下图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离【思路点拨】首先根据问题的背景，把相关数据标注在图形中，转化到解三角形中求边长的问题，然后根据已知选用相应的定理进行求解，最后把求解的结果还原为实际问题的答案【解法】解法一：ADC ADB+ CDB 60， ACD 60，DAC 60，32A DC Da，在 BCD 中， DBC 180 30 105 45，由正弦定理得sinsinDBCDBCDDBC，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思62sin3334sin2422BCDBDCDaaDBC在 ADB 中，由余弦定理得，2222cosABADBDAD BDADB222333333332444228aaaaa，64A Ba或64aAB（舍去），蓝方这两支精锐部队的距离为64a解法二：（同解法一）32ADDCACa，在 BCD 中， DBC 45，由正弦定理得sin30sin45BCCD，64B Ca，在 ABC 中，由余弦定理得2222cos45ABACBCACBC2223336232482428aaaaa，64A Ba或64aAB（舍去），蓝方这两支精锐部队的距离为64a【总结升华】测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题，首先要明确题意，根据条件和图形特征寻找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解，另外基线的选取要恰当举一反三：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思【变式 1】 如图，A、 B 两点都在河的对岸 （不可到达） ， 测量者在河岸边选定两点C、 D， 测得40CDm，并且在 C、D 两点分别测得060ACB，060ADB，030BCD，045ADC，求河的对岸的两点 A、B 间的距离。【答案】在ADC中，030BCD，060ACB，045ADC000603090ACDACBBCD，在ADCRt中，040402cossin 45CDADADC（m ）在BDC中，060ADB，030BCD，045ADC，0006045105BDCADBADC，045DBC由正弦定理得：00sin40sin 30202sinsin 45CDBCDBDmDBC（）在ABD中，由余弦定理得：2202cos6020 6ABADBDADBD（m ）故 A、B 间的距离为20 6 m.【变式 2】甲船在 A 处、乙船在甲船正南方向距甲船20 海里的 B 处，乙船以每小时 10 海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8 海里的速度由A 处向南偏西 60o方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？【答案】设经过x 小时后，甲船和乙船分别到达C,D 两点xBDABADxAC1020,8则A B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思,6170.,614800)6170(24440056024421)1020(82)1020()8(60cos222222222取得最小值时当取得最小值取得最小值时当CDxCDCDxxxxxxxADACADACCD此时 ,甲、乙两船相距最近类型四：解三角形与其他知识的交汇例 4.设锐角三角形ABC的内角ABC， ，的对边分别为abc， ，2 sinabA（1）求B的大小；（2）求cossinAC的取值范围【思路点拨】 （1）利用正弦定理将边进行角的转换，求得B 的正弦值，进而求B； （2）利用三角形中的内角和定理，利用三角函数的知识进行求解. 【解析】（ 1）由2 sinabA，根据正弦定理得sin2sinsinABA，所以1sin2B，由ABC为锐角三角形得6B（2）cossincossinACAAcossin6AA13coscossin22AAA3sin3A由ABC为锐角三角形知，22AB，2263B2336A，所以13sin232A由此有333sin3232A，所以cossinAC的取值范围为3322，【总结升华 】本题考查解三角形, 三角恒等变换以及正弦定理的应用. 高考中 , 三角解答题一般有两种题型 : 一、解三角形 : 主要是运用正余弦定理来求解边长, 角度 , 周长 , 面积等 ; 二、三角函数的图像与性质: 主要是运用和角公式, 倍角公式 , 辅助角公式进行三角恒等变换, 求解三角函数的最小正周期, 单调区间 , 最值 ( 值域 ) 等. 来年需要注意第二种题型的考查. A B D C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思举一反三：【变式 1】已知 a，b，c 为 ABC 的三个内角A，B，C 的对边，向量m（1, 3） ，n（cosA,sinA）.若 mn，且 acosB+bcosA=csinC，则角 B【答案】6. 【变式 2】已知函数21( )3sincoscos2222xxxf x， ABC中三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c （1）求( )fx的单调增区间；（2）若()1f BC，3,1ab，求角 C 的大小 . 【答案】（ I）因为21( )3sincoscos2222xxxf x3cos13sinsincos2221221xxxxsin()6x又sinyx的单调递增区间为2 ,2 22kk（），()Zk所以令2 2 262kxk解得22 2 33kxk所以函数( )f x的单调增区间为2(2 ,2 ) 33kk，()Zk（ 2）因为()1,f BC所以sin()16BC，又(0, )BC，7(,)666BC所以,623BCBC，所以23A由正弦定理sinsinBAba把3,1ab代入，得到1sin2B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思又,baBA，所以6B，所以6C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页
