2022年离散数学代数结构作业部分答案 .pdf

第四章代数结构（作业）作业： P86：4、7、9 4、（1）若 a和 b 是整数，则a+b+ab 也是整数，故a*b 也是整数，所以运算*是封闭的。（2）任选整数集合中的三个元素x,y 和 z。则有：(x*y)*z = (x+y+xy)*z = (x+y+xy)+z+(x+y+xy)z = x+y+z+xy+xz+yz+xyz x*(y*z) = x*(y+z+yz) = x+(y+z+yz)+x (y+z+yz) = x+y+z+yz+xy+xz+xyz = (x*y)*z 因此， * 运算满足结合律。（3）假设 e 为（ Z,*）的幺元，则有：任选整数集中的一个元素x，都有0*x = 0+x+0 x=x 且x*0 = x+0+x 0=x 故 0 是(Z,*) 的幺元。7、N+上的所有元素都是（N+ ,*）等幂元；（ N+ ,*）无幺元；（ N+ ,*）的零元为1。9、 （ A,* ）中的等幂元：a、b、c、d；（ A,* ）中的幺元：b；（ A,* ）中的零元：c；a-1 = d， b-1 = b，c-1 不存在， d-1 = a，作业： P87：12、13、18 12、 （A，* ）到（ N4,4）的同构映射f 为：f(a)=0, f(b)=1, f(c)=2, f(d)=3; 或者：f(a)=0, f(b)=3, f(c)=2, f(d)=1; 13、同构映射f 为：f(0)=, f(1)=a, f(2)=b, f(3)=a,b; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页或者：f(0)=, f(1)=b, f(2)=a, f(3)=a,b; 18、任选 a N+,b N+, 只需证明 f(a+b)=f(a)+f(b) 由 f 的定义可知：f(a+b)=2a+2b=f(a)+f(b) ，故 f 是（ N+,+）到 (E+,+)的同态映射。作业： P96：3，P97：7 3、(1) 显然， * 运算对 Z 是封闭的。 (2) (a*b)*c = (3(a+b+2)+ab)*c = 3(3(a+b+2)+ab)+c+2)+(3(a+b+2)+ab)c = 3(3a+3b+c+ab+8+ac+bc+2c)+abc = 3(3a+3b+3c+ab+ac+bc+8)+abc a*(b*c) = a*(3(b+c+2)+bc) = 3(a+(3(b+c+2)+bc)+2)+a(3(b+c+2)+bc) = 3(a+3b+3c+bc+8+ab+ac+2a)+abc = 3(3a+3b+3c+ab+ac+bc+8)+abc = (a*b)*c 故* 运算满足结合律。（3）任选 aZ， (-2)*a=a且 a*(-2)=a，所以 -2 是(Z,*)的幺元。所以（ Z,* ）是独异点。7、因为 1 为(A,*)运算的幺元， 而且对任意A的子集 A,* 在 A上都是封闭和可结合的运算，因此，（A,* ）的所有子独异点为(A,*) ，其中 A必须包含1。即：(A,*)的所有子独异点为：(1,*),(1,2,*),(1,3,*),(1,4,*),(1,2,3,*),(1,2,4,*),(1,3,4,*),(1,2,3,4,*) P105：3、4、13 3、1100ba2200ba212100bbaa, a1, a21,-1, 所以 a1a21,-1，b1b21,-1。故（ G,）是封闭的。而(1100ba2200ba) 3300ba=212100bbaa3300ba=32132100bbbaaa1100ba(2200ba3300ba)=1100ba323200bbaa=32132100bbbaaa故（ G,）是可结合的。 （也可以说因为矩阵乘法是可结合的。）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页令 e=1001，a=1001，b=1001，c=1001 e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e e=1001是幺元。任选 xG，xx=e，故x-1=x。(G, ) 与群 (N4,4) 不同构， 因为 (G, )中每个元素以自身为逆元，而(N4,4) 并非如此。4、 （ 1）封闭性任选 a,bZ, ，显然， a+b-2Z, 故运算 * 满足封闭性。（ 2）结合律任选 a,b,cZ （a*b） *c=a+b+c-2-2=a+b+c-4 a*(b*c)=a+(b+c-2)-2=a+b+c-4，故（ a*b）*c= a*(b*c),即* 运算满足结合律。（ 3）证明存在幺元任选 a Z, 2*a=2+a-2=a且 a*2=a+2-2=a ，故 2 幺元。（ 4）证明每个元素可逆任选 a Z，则 4-aa；而且 a*(4-a)=2,（ 4a）*a=2，故 (4-a) 是 a 的逆元。13、任选 a,bG,(a*b)*(b*a)=a*(b*b)*a=a*e*a=a*a=e=(a*b)*(a*b)。故上等式两边同时左乘a-1*b-1, 故 a*b=b*a 。所以 (G,*) 是可交换群。P112：3、12、14 3、N120,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 1 的阶数为12；2 的阶数为6；3 的阶数为4；4 的阶数为3；5 的阶数为12；6 的阶数为2；显然 (N12,12) 是循环群，由循环群性质：一个n 阶循环群若存在k 阶子群，则仅有一个k 阶子群，因此精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页(N12,12) 的所有 2 阶子群： (6,62,12)=(0,6,12); (N12,12) 的所有 3 阶子群： (4,42,43,12)=(0,4,8,12); (N12,12) 的所有 4 阶子群： (3,32,33,34,12)=(0,3,6,9,12); (N12,12) 的所有 6 阶子群：(2,22,23,24,25,26,12)=(0,2,4,6,8,10,12) 12、证明；若b,cS，则对 G中任意元素x，由于 (G,*) 是群，因此 *运算满足结合律, 即(b*c)*a=b*(c*a) 又由条件 b*a=a*b ，可知：b*(c*a)=b*(a*c)=(b*a)*c=(a*b)*c=a*(b*c) 进而， (b*c)*a=a*(b*c)；故 b*cS ，故运算 *对 S封闭，由于 c*a=a*c, 且* 运算在 中满足消去律，故： c-1*(c*a)*c-1=c-1*(a*c)*c-1; 根据结合律，可知： (c-1*c)*(a*c-1)=(c-1*a)*(c*c-1); 即 a*c-1=c-1*a。故 c-1S。即 S中每个元素都有逆元。故(S,*)是(G,*) 的子群。14、证明：设e 为 (G,*) 的幺元。任选 a,bA，则 e=a*a-1 故 e A，即 (A,*)中有幺元e。而 e*b-1=b-1A,故 A中每个元素都有逆元。进而， a*(b-1)-1=a*bA，故运算 * 对 A封闭。故(A,*)是(G,*) 的子群。P118：作业： 6、7 6、(N70,7)同构于 (N6, 6)。3 为(N70,7)的生成元。小于 6的自然数中，只有5 与 6 互质，故35=5 也是 (N70,7)的生成元。即(N70,7)的所有生成元为：3 和 5。7、显然， 1 的阶数为7，故 1 为（ N7, 7）的生成元。小于 7的自然数中，共有1， 2，3，4，5， 6这七个数与7 互质，因此11=1，12=2，13=3，14=4，155，166 是（ N7, 7）的所有生成元。P125：作业： 4、6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页4、本题等价于求4 次对称群中所有阶数为2 的元素。112342134f212342143f312343214f412343412f512344231f612344321f712341324f812341432f912341243f，4321432110f6、设 S3f1,f2,f3,f4,f5,f6 1123123f2123132f3123213f4123231f5123312f6123321f令 （注意：定义ai的时， ai的前三列与fi的三列完全相同）112312443a212313442a312321443a412323441a512331442a612332441a令 A=a1,a2,a3,a4,a5,a6 如下定义双射函数g：AS3；g(fi)=ai；i=1,2,3,4,5,6 可以验证 fi*fjS3，都有： g(fi* fj)=g(fi)*g( fj)，其中 *为置换的复合运算。 （注意：因为ai的前三列与 fi的三列完全相同，这样定义就可以保证g(fi* fj)=g(fi)*g( fj)一定成立）故(A,*) 为与 (S3,*) 同构的 4 次置换群。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页