2022年空间角的求法精品 .pdf
学习必备欢迎下载PCDBA空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。空间角的计算思想主要是转化 ：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。一、异面直线所成角的求法异面直线所成的角的范围：090（一）平移法【例1】已知四边形ABCD为直角梯形，/ADBC，90ABC，PA平面AC，且2BC，1PAADAB，求异面直线PC 与 BD 所成角的余弦值的大小。【解】过点C作/CEBD交AD的延长线于E，连结PE，则PC与BD所成的角为PCE或它的补角。2CEBD，且2210PEPAAE由余弦定理得2223c o s26PCCEPEPCEPC CEPC与BD所成角的余弦值为63（二）补形法【变式练习】已知正三棱柱111ABCA B C的底面边长为8，侧棱长为 6，D为AC中点。求异面直线1AB与1BC所成角的余弦值。【答案】125A1C1C B A B1D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载ABCP二、直线与平面所成角直线与平面所成角的范围：090方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）【例 2】如图，在三棱锥PABC中，90APB，60PAB，ABBCCA，点P在平面ABC内的射影O在AB上，求直线PC与平面ABC所成的角的大小。【解】连接OC，由已知，OCP为直线PC与平面ABC所成角设AB的中点为D，连接,PD CD。ABBCCA，所以CDAB90 ,60APBPAB，所以PAD为等边三角形。不妨设2PA，则1,3,4ODOPAB222 3,13CDOCODCD在Rt OCP中，339tan1313OPOCPOC【变式练习1】如图，四棱锥SABCD中，/ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形。2ABBC，1CDSD，求AB与平面SBC所成的角的大小。【解】由AB平面SDE知，平面ABCD平面SDE作SFDE，垂足为F，则SF平面ABCD，32SDSESFDE作FGBC，垂足为G，则1FGDC连结SG，则SGBC，又BCFG，SGFGG故BC平面SFG，平面SBC平面SFG作FHSG，H为垂足，则FH平面SBC217SFFGFHSG，即F到平面SBC的距离为217由于/EDBC，所以/ED平面SBC，故E到平面SBC的距离d也为217设AB与平面SBC所成的角为，则21sin7dEB，则21arcsin7精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载A B C N M P Q MNHQPBA【变式练习2】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，1BC，2 3PC，2PDCD，求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。【解】过点P作PECD于点E，连接BE,A DP DA DD C，则平面PDC平面ABCDPE面ABCD，则PBE是直线PB与平面ABCD所成角2,231 2 03 ,1C DP DP CP D CP ED E在Rt BCE中，22221013BEBCCEPBBEPE在Rt BPE中，39sin13PEPBEPB三、二面角的求法二面角的范围：0180求二面角的大小，关键在于找出或作出二面角的平面角。从找平面角的角度出发，有以下几种方法：（一）定义法：在棱上选一恰当的“点”（一般是选一个特殊的点，如：垂足、中点等），过这一“点”在两个半平面内作棱的垂线，两垂线所成的角即为二面角的平面角。（一般在找出角后，利用三角形求解）【例 3】在三棱锥PABC中，60APBBPCAPC，求二面角APBC的余弦值。【解】在PB上取1PQ，作MQPB交PA于M，作QNPB交PC于N1cos3MQN【变式练习】 如图， 点A在锐二面角MN的棱MN上， 在面内引射线AP，使AP与MN所成角45PAM，与面所成角的大小为30，求二面角MN的大小。【解】在射线AP上取一点B，作BH于点H，作HQMN于Q2s i n2B Q H，则MN为45精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载A B C B1C1A1 N Q ABCP（二）利用三垂线三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。逆定理： 如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。从半平面内的任一点A出发向另一个半平面引一条直线AH，过H作棱l的垂线HG，垂足为G，连AG，则由三垂线定理可证lAG, 故AGH就是二面角l的平面角。三垂线定理是求解二面角问题的最常用的方法，其关键是寻找或求作一条垂线，即从第一个半平面内的某一个点出发，且垂直于另一个半平面。【例 4】如图，在三棱锥PABC中，90APB，60PAB，ABBCCA，点P在平面ABC内的射影O在AB上，求二面角BAPC的大小。【解】过AB中点D作DEAP于E，连接CE，由已知可得，CD平面PAB据三垂线定理可知，CEPA则CED为BAPC的平面角易知，若1AB，则3DE，2 3CD在Rt CDE中，2 3tan23CDCEDDE【变式练习】在直三棱柱111ABCA B C中，90BAC，11ABBB，直线1B C与平面ABC成30角，求二面角1BB CA的正弦值。【解】由直三棱柱性质得平面ABC平面11BCC B，过A作AN平面11BCC B，垂足为N，则AN平面11BCC B（AN即为我们要找的垂线）在平面1BCB内过N作NQ棱1B C，垂足为Q，连QA则NQA即为二面角的平面角。1AB在平面ABC内的射影为AB，CAAB1CAB A，又11ABBB，得12AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载A1 D1 B1 C1 E D B C A 直线1B C与平面ABC成30角130B CB，又12BC，则1Rt B AC中，由勾股定理得2AC1AQ，在Rt BAC中，1,2ABAC，得63AN6sin3ANAQNAQ即二面角1BB CA的正弦值为36从不直接找出平面角的角度出发，主要有两种方法：面积法（面积射影法），向量法。（三）面积法（面积射影法）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cosSS射）求出二面角的大小。求证：cosSS射【例 5】 如图，E为正方体1111ABCDA B C D的棱1CC的中点，求平面1AB E和底面1111A B C D所成锐角的余弦值。【答案】所求二面角的余弦值为32【变式练习】如图，S是正方形ABCD所在平面外一点，且SD面ABCD，1AB，3SB。求面ASD与面BSC所成二面角的大小。【答案】45C D A E DCBAS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载ABCDOA1B1C1D1四、真题演练1 （山东） 已知三棱柱111CBAABC的侧棱与底面垂直，体积为49，底面是边长为3的正三角形， 若P为底面111CBA的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）.A125.B3.C4.D62（大纲）已知正四棱柱1111DCBAABCD中，ABAA21， 则CD与平面1BDC所成角的正弦值等于 （）.A32.B33.C32.D313 （山东） 如图所示，在三棱锥ABQP中，PB平面ABQ，BQBPBA,FECD,分别是,AQ BQ，,AP BP的中点，BDAQ2，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH。（1）证明：ABGH；（2）求二面角EGHD的余弦值。4 （陕西）如图，四棱柱1111DCBAABCD的底面ABCD是正方形，O为底面中心，OA1平面ABCD,21AAAB。（1）证明：CA1平面DDBB11；（2）求平面1OCB与平面DDBB11的夹角的大小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载ABCDSED1DCBA1B1C1AP5 （ 湖 南 理 ） 如 图 在 直 棱 柱1111DCBAABCD中 ，ADBC，090BAD，BDAC，1BC,31AAAD（1）证明：DBAC1； （2）求直线11CB与平面1ACD所成角的正弦值。6 （四川理） 如图， 在三棱柱11ABCA B C中，侧棱1AA底面ABC，12ABACAA，120BAC，1,D D分别是线段11,BC B C的中点，P是线段AD的中点（1） 在平面ABC内， 试作出过点P与平面1ABC平行的直线l， 说明理由，并证明直线l平面11ADD A；（2）设（ 1）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角1AA MN的余弦值7如图，在四棱锥SABCD中，ADBC且ADCD；平面CSD平面ABCD，CSDS，22CSAD；E为BS的中点，2,3CEAS求：（1）点A到平面BCS的距离；（2）二面角ECDA的大小。【解】（1）/ADBC，且BC平面BCS/AD平面BCS则A点到平面BCS的距离等于点到平面BCS的距离平面CSD平面ABCDADCD，故ADCSD平面，从而ADSD由/ADBC，得BCDS又由CSDS知DS平面BCS从而DS为点A到平面BCS的距离精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载Rt ADS中223 12DSASAD（2）如图，过E作EGCD，交CD于点G，又过G点作GHCD交AB于H故EGH为二面角ECDA的平面角，记为， 过E作/EFBC， 交CS于点F， 连结GF平面ABCD平面CSD，GHCD易知GHGF，故2EGF由于E为BS边中点，故112CFCS在Rt CFE中，22211EFCECFEF平面CSD，又EGCD故由三垂线定理的逆定理得FGCD，从而又可得CGFCSD:因此GFCFDSCD，而在Rt CSD中，22426CDCSSD故11263CFGFDSCD在Rt FEG中，tan3EFEGFFG，可得3EGF故所求二面角的大小为6精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
