2022年人教版数学必修四三角函数复习讲义 .pdf

精品资料欢迎下载第一讲 任意角与三角函数诱导公式1. 知识要点角的概念的推广 ：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。象限角的概念 ：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。终边相同的角的表示 ：终 边 与终 边 相 同 (的 终 边 在终 边 所 在 射 线上)2()kkZ。注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. 终边在x轴上的角可表示为：,kkZ；终边在y轴上的角可表示为：,2kkZ；终边在坐标轴上的角可表示为：,2kkZ. 角 度 与 弧 度 的 互 换 关 系 ： 360 =2180 =1 =0.01745 1=57.30 =5718注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 与2的终边关系 ：任意角的三角函数的定义: 设是任意一个角，P( ,)x y是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220rxy，那么sin,cosyxrr，tan,0yxx，cotxy(0)y，secrx0 x，csc0ryy。三角函数值 只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。三角函数线的特征：正弦线 MP “站在x轴上(起点在x轴上)” 、余弦线OM “躺在x轴上(起点是原点 ) ” 、正切线 AT“ 站在点(1,0)A处(起点是A) ”同角三角函数的基本关系式：1. 平方关系：222222sincos1,1tansec,1cotcsc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 22 页精品资料欢迎下载2. 倒数关系： sincsc =1,cos sec =1,tan cot=1, 3. 商数关系：sincostan,cotcossin注意： 1.角的任意性。2.同角才可使用。3.熟悉公式的变形形式。三角函数诱导公式：“（2k）” 记忆口诀 : “ 奇变偶不变，符号看象限”典型例题例 1求下列三角函数值：（1）cos210o ；(2)sin45例 2求下列各式的值：（1）sin(34)；(2)cos(60o )sin(210o ) 例 3化简)180sin()180cos()1080cos()1440sin(例 4 已 知 cos( + )= 21，23 a bB. a b c C. a c bD. b c a18. 若是第四象限角，则是（）A 第一象限B.第二象限C. 第三象限期D.第四象限19.若0cos3sin，则sin3cos2sin2cos的值为. 20.sin49tan37= _21.若是第二象限的角，则2是第象限的角。22.若角的终边与85角的终边相同，则在0,2上终边与4的角终边相同的角为；23.终边在x轴上的角的集合为，终边在y轴上的角的集合为，终边在坐标轴上的角的集合为。24. 已知xxxf11)(，若，2，求)cos()(cosff的值。25. 已知21)sin(，求cos)cot()2sin(的值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 22 页精品资料欢迎下载26. 已知：21cossin，求33cossin和44cossin的值。27. 若 cos 23，是第四象限角，求sin(2)sin(3 ) cos(3)cos()cos() cos(4)的值第二讲 三角函数的图像与性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 22 页精品资料欢迎下载1函数BxAy)sin(），（其中00A最大值是BA，最小值是AB，周期是2T，频率是2f，相 位 是x， 初 相 是； 其 图 象 的 对 称 轴 是 直 线)(2Zkkx，凡是该图象与直线By的交点都是该图象的对称中心。2由 ysinx 的图象变换出ysin(x )的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。3由 yAsin(x )的图象求其函数式：4五点法作 y=Asin（x + ）的简图：典例解析例 1（2000 全国， 5）函数 yxcosx 的部分图象是（）函数sinyxcosyxtanyx图象定义域RR|,2x xkkZ值域 1,1 1,1R奇偶性奇函数偶函数奇函数最小正周期22T； 22T； T； 对称轴,2xkkZ,xkkZ无对称中心(,0),kkZ(,0),2kkZ(,0),2kkZ单调递增区间2,2,22kkkZ2,2,kkkZ(,),22kkkZ单调递减区间32,2,22kkkZ2,2,kkkZ无精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 22 页精品资料欢迎下载例 2试述如何由 y=31sin（2x+3）的图象得到 y=sinx 的图象。例 3（2003 上海春， 15）把曲线 ycosx+2y1=0 先沿 x 轴向右平移2个单位，再沿 y 轴向下平移 1 个单位，得到的曲线方程是（）A（1y）sinx+2y3=0 B（y1）sinx+2y3=0 C（y+1）sinx+2y+1=0 D(y+1)sinx+2y+1=0 例 4（2003 上海春， 18）已知函数f（x）=Asin（x +）（A0， 0，xR）在一个周期内的图象如图所示，求直线y=3与函数f（x）图象的所有交点的坐标。例 5（1）已知f（x）的定义域为 0，1，求f（cosx）的定义域；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 22 页精品资料欢迎下载（2）求函数 y=lgsin（cosx）的定义域；例 6求下列函数的单调区间：（1）y=21sin（432x）；（2）y=sin（x+4）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 22 页精品资料欢迎下载例 7关于 x 的函数 f（x）=sin（x+）有以下命题：对任意的，f（x）都是非奇非偶函数；不存在，使 f（x）既是奇函数，又是偶函数；存在，使 f（x）是奇函数；对任意的，f（x）都不是偶函数。其中一个假命题的序号是. 例 8设)0(cossin)(xbxaxf的周期T，最大值4)12(f，（1）求、a、b的值；（2）的值终边不共线，求、的两根，为方程、若)tan(0)(xf。例 9函数 yxxcossin21的最大值是（）A221 B221 C122D122课后练习1 、3sin(2)4yx的 最 小 正 周 期 是、 对 称 轴是、 单 调 递 增 区 间是、 单 调 递 减 区 间精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 22 页精品资料欢迎下载是； 振 幅 是、 相 位是、初相是。用五点法作出该函数的图象。并说明该函数怎样由sinyx变化而来。2、求3sin(2),422yxx的单调递减区间。3、比较大小6cos(),sin,sin876；tan1,tan2,tan34、求3sin(2),366yxx的最大值、最小值及对应的x 的取值范围。5、求3 sin(2),0366yaxxa的最值及对应的x 的取值。6、若2 sin(2),0,32yaxb x的最大值是1，最小值是5，求ab，的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 22 页精品资料欢迎下载7、为了得到3 sin( 2)6yx的图象，只须将3sin(2)3yx的图象向平移个单位。8、定义在R 的函数( )f x，对任意xR都有(2)1( )( )1f xfxf x。（1）证明( )f x是周期函数。（ 2）若(1)2f，求(2013)f。9、若sin()(0,0,)2yAxB A，在其一个周期内的图象上有一个最高点(,3)12和一个最低点7(, 5)12，求这个函数的解析式。10、求215( )2cos2 sin,266f xxaxbx的值域第三讲 三角函数两角和公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 22 页精品资料欢迎下载cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB-1tanBtanAtan(A-B) =tanAtanB1tanBtanAcot(A+B) =cotAcotB1-cotAcotBcot(A-B) =cotAcotB1cotAcotB倍角公式tan2A =Atan12tanA2Sin2A=2SinA?CosA cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A 三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tanatan(3+a)tan(3-a) 半角公式sin(2A)=2cos1Acos(2A)=2cos1Atan(2A)=AAcos1cos1cot(2A)=AAcos1cos1tan(2A)=AAsincos1=AAcos1sin万能公式sina=2)2(tan12tan2aacosa= 22)2(tan1)2(tan1aatana=2)2(tan12tan2aa例 1. 求值：（ 1）.75cos75sin75cos75sin)2( ;70sin20sin10cos2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 22 页精品资料欢迎下载例 2. 已知 3sin sin（2 ）且 tan 1，求 tan（ ）例 3. 已知方程x24ax3a10（a1）的两根分别为tan ，tan且 ， （2,2)，求 sin2（ ）sin（ ）cos（ ）2cos2（ )的值. 例 4. ;cos2sin2sin1BAABA化简.cos,tan,cos,的值求为锐角、已知31542精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 22 页精品资料欢迎下载例 5. （1）如果方程102ccbxx的两根为 tan 、tan ，求22coscossinsincb的值；（ 2 ） 在 非 直 角 ABC中 ， 求 证 ： tanA tanB tanCtanAtanBtanC例6.化简.8sin15sin7sin8sin15cos7sin1.50cos50sin2110tan3180sin50sin22例 7.已知21coscos,31sinsin， 、都是锐角，求 tan（ ）的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 22 页精品资料欢迎下载课后练习1选择题)(37sin83sin37cos7sin1的值为(A)23(B)21(C)21 (D)23)(75tan75tan122的值为(A)32(B)33232C(D)332)(32323的值是则若x,xcosxcosxsinxsin(A)10(B)6(C)5(D)42填空题._3sin,2,23,51cos4则若._15tan3115tan35._sinsincoscos63解答题.60tantan360tantan7 化简.cos,2,2, 0,1411cos,71cos8的值求且已知.cos,0coscoscossinsinsin9的值求若精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 22 页精品资料欢迎下载第四讲 三角函数复习一、知识点整理与归纳 : 1、角的概念的推广、角的集合的表示、角的度量制与换算换 算 关 系 : ：180()弧度， 弧 长 公 式 :lr， 扇 形 面 积 公式:21122Slrr2 、 三 角 函 数 的 定 义 熟 记 三 角 函 数 在 各 象 限 的 符 号 ：sin,cos,tanyxyrrx3、三角函数线及简单应用（判断正负、比较大小，解方程或不等式等）4、正弦函数sinyx、余弦函数cosyx、正切函数tanyx的图像和性质：5、函 数sin()yAx的图像和性质：作图时常用两种方法：五点法：图象变换法：(1)sin()sin()sinsin()(2)sin()yxyxyxyAxyxysixx6、结合函数BxAy)sin(），（其中00A的简图可知：该函数的最大值是BA，最小值是AB，周期是2T，频率是2f，相位是x，初相是；7、几组重要公式一）同角三角函数的基本关系式：1）平方关系：1cossin22；2222tan11coscos1tan12）商式关系：tancossin；sin =tan cos二）诱导公式： “ 奇变偶不变，符号看象限” 。xx0 2232)sin( xAy0 A 0 -A 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 22 页精品资料欢迎下载三）和角公式和差角公式：()S：sin()sincoscossin()S：sinsincoscossin()C：cos()coscossinsin()C：coscoscossinsin()T：tantantan1tantan，()T：tantantan1tantan四 ） 二 倍 角 公 式 ：sin22sincos，22cos2cossin，22 tantan21tan五 ） 合 一 变 形 公 式 ：asin bcos 22basin （ ） 22bacos（ ）六） 降 次 公 式：221cos21cos2cos,sin22，(sin cos)21sin2 ，七）正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin及其变形公式有：（1）CRcBRbARasin2,sin2,sin2；（2）RcCRbBRaA2sin,2sin,2sin；（3）sinsinsin: :ABCa b c等八）余弦定理：2222cosabcbcA及其变形：222cos2bcaAbc等；九）三角形面积公式：1111sinsinsin2222ABCSahbcAabCacB8、利用正弦定理、余弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下四类解斜三角形问题：（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角，（3）已知三边求三内角；（4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角。9、解斜三角形的应用题的解题步骤：（1）分析属于哪种类型的问题（如：测量距离、高度、角度等）；（2）依题意画出示意图，并把已知量标在示意图中；（3）最后确定用哪个定理转化、哪个定理求解，并进行求解；（4）检验并作答 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 22 页精品资料欢迎下载典型例题：例 1、定义在区间20,上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P，过点 P 作 PP1x 轴于点 P1，直线 PP1与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2的长为_。例 2、已知434，40，53)4cos(，135)43sin(，求sin( + )的值。例3 、 已 知 电 流I与 时 间t的 关 系 式 为sin()IAt。（）右图是sin()IAt（ 0，|2）在一个周期内的图象，根据图中数据求sin()IAt的解析式；（）如果 t 在任意一段1150秒的时间内，电流sin()IAt都能取得最大值和最小值，那么的最小正整数值是多少？例 5、已知函数( )f x=223sincos2cos1()xxxxR。300-3001180-1900oIt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 22 页精品资料欢迎下载(1)求函数( )f x的最小正周期及在区间0,2上的最大值和最小值：(2)若06()5f x，0,42x，求0cos2x的值。课后作业1、设 是第二象限角， P(x，)为其终边上一点，且cos x，则 sin的值. 2 、 已 知是 锐 角 ， 且10与的 终 边 相 同 ， 则 角的 大 小为. 3、满足 sin，且(0，)的角的集合是 _ 4 、 已 知tan ， 则sin2 2sincos 4cos2的 值为. 5、已知cos()，且是第四象限角，则cos(3 )的值为. 6、函数 ytanxsinx|tanxsinx|在区间 (，)内的图象大致是 () 7、已知sin、cos是方程 3x22xa0 的两根，则实数a 的值为. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 22 页精品资料欢迎下载8、函数32tan(3 )4yx的单调递减区间是9、若 sinsin21，则 cos2cos4的值为. 10、已知 f(x)2sinx (0 0，| |2 )的图象向左平移个单位长度，则得到偶函数图象，求满足题意的的所有可能的值15、已知函数.3cos33cos3sin)(2xxxxf（1）将 f(x)写成sin()AxB的形式，（ 2）求其图象对称中心；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 22 页精品资料欢迎下载16、（1）已知关于 x 的方程 sink 在0， 上有两解，求实数k 的取值范围（2）设关于 x 的方程 sin在内有两个不同根 、 ，求 的值及 k 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 22 页