2022年人教版数学选修2-1圆锥曲线知识总结 .pdf

1 数学选修 2-1 圆锥曲线知识归纳一、复习总结：名 称椭圆双曲线图 象xOyxOy定 义平面内到两定点21,FF的距离的和为常数（大于21FF）的动点的轨迹叫椭圆 即aMFMF221当 2a2c时，轨迹是椭圆当2a=2c时 ，轨迹是一条线段21FF当 2a2c时，轨迹不存在平面内到两定点21,FF的距离的差的绝对值为常数（小于21FF）的 动 点 的 轨 迹 叫 双 曲 线即aMFMF221当 2a2c时，轨迹是双曲线当 2a=2c时，轨迹是两条射线当 2a2c时，轨迹不存在标 准方 程焦点在x轴上时：12222byax焦点在y轴上时：12222bxay注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在x轴上时：12222byax焦点在y轴上时：12222bxay常数cba,的关 系222bca222bac，渐 近 线焦点在x轴上时：0byax焦点在y轴上时：0bxay精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页2 抛物线：图形xyOFlxyOFl方程)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx焦点)0 ,2(p)0,2(p)2,0(p)2,0(p准线2px2px2py2py二、知识点：椭圆、 双曲线、 抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质1椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2椭圆的标准方程：12222byax，12222bxay（0ba）3椭圆的性质：由椭圆方程12222byax(0ba) (1) 范围 :axa,byb，椭圆落在byax,组成的矩形中(2) 对称性 : 图象关于y轴对称图象关于x轴对称图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心x轴、y轴叫椭圆的对称轴从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点：)0,(),0 ,(2aAaA，),0(), 0(2bBbB加两焦)0,(),0 ,(21cFcF共有六个特殊点21AA叫椭圆的长轴，21BB叫椭圆的短轴 长分别为ba 2,2.ba,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长，椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点xyOFlxyOFl精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页3 (4)离心率 : 椭圆焦距与长轴长之比ace2)(1abe10e椭圆形状与e的关系：0,0 ce，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0e时的特例, 1ace椭圆变扁，直至成为极限位置线段21FF，此时也可认为圆为椭圆在1e时的特例（识记方法）以下 4-7 点要求不高，或者不要求. 4. 椭圆的第二定义: 一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个) 1 ,0(内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率5椭圆的准线方程对于12222byax，左准线caxl21:；右准线caxl22:对于12222bxay，下准线cayl21:；上准线cayl22:6. 椭圆的焦半径公式：椭圆22221(0)xyabab焦半径公式 : 21()aPFe xaexc，22()aPFexaexc其中e是离心率其中21, FF分别是椭圆左右焦点焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式：0201eyaPFeyaPF其中e是离心率其中21,FF分别是椭圆的下上焦点焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关可以记为：左加右减，上减下加7 椭圆的参数方程)(sincos为参数byax精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页4 以下为椭圆重要结论：（要求记忆1、2、3 条，了解 4、5）1. 准线到中心的距离为2ac，焦点到对应准线的距离( 焦准距 )cbccaccap2222过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：22bag. 2. 椭圆22221(0)xyabab两焦半径与焦距构成三角形的面积: 1221|tan2F PFPF PFSc yb3 椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点 . 例：今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的两个焦点，长轴长为2a，焦距为2c，当静放在点A 的小球 (小球的半径不计)，从点 A 沿直线 l 击出，经椭圆壁反弹后再回到A，若 l 与椭圆长轴的夹角为锐角，则小球经过的路程是( D ) A.4b B.2(a-c) C.2(a+c) D.4a 4. 椭圆的的内外部: （1）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab. （2）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab. 5. 椭圆的切线方程: (1) 椭圆22221(0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab. （2）过椭圆22221xyab外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00221x xy yab. （3）椭圆22221(0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222A aB bc. 8双曲线的定义：平面内到两定点21,FF的距离的差的绝对值为常数（小于21FF）的动点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页5 的轨迹叫双曲线即aMFMF221这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距在同样的差下， 两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线）两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（两条射线）双曲线的形状与两定点间距离、定差有关9双曲线的标准方程及特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：焦点在x轴上时双曲线的标准方程为：12222byax(0a,0b) ；焦点在y轴上时双曲线的标准方程为：12222bxay(0a,0b) (2)cba,有关系式222bac成立，且0,0,0cba其中a与b的大小关系 : 可以为bababa,10焦点的位置: 从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x、2y项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x项的系数是正的，那么焦点在x轴上；2y项的系数是正的，那么焦点在y轴上11双曲线的几何性质：（1）范围、对称性由标准方程12222byax，从横的方向来看，直线x=-a，x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大， y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心.（2）顶点顶点：0 ,),0,(21aAaA，特殊点：bBbB,0), 0(21实轴：21AA长为a2, a叫做半实轴长虚轴：21BB长为b2，b叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页6 （3）渐近线过双曲线12222byax的渐近线xaby（0byax）（4）离心率双曲线的焦距与实轴长的比acace22，叫做双曲线的离心率范围：1e双曲线形状与e 的关系：1122222eacaacabk，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔12等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质： （1）渐近线方程为：xy； （2）渐近线互相垂直； （3）离心率2e13共渐近线的双曲线系如果双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax以下 14-17 点要求不高，或者不要求. 14双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l的距离之比为常数)0(acace的点的轨迹是双曲线其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线常数 e 是双曲线的离心率15双曲线的准线方程：对于12222byax来说， 相对于左焦点)0 ,(1cF对应着左准线caxl21:，相对于右焦点)0,(2cF对应着右准线caxl22:；对于12222bxay来说， 相对于上焦点),0(1cF对应着上准线cayl21:；相对于下焦点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页7 ),0(2cF对应着下准线cayl22:16. 双曲线的焦半径（了解）定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点21,FF的连线段，叫做双曲线的焦半径焦点在 x 轴上的双曲线的焦半径公式：0201exaMFexaMF（21,FF分别是左、 右焦点）焦点在 y 轴上的双曲线的焦半径公式：0201eyaMFeyaMF（21,FF分别是下、 上焦点）17双曲线的焦点弦：定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦焦点弦公式：当双曲线焦点在x 轴上时，过左焦点与左支交于两点时：)(221xxeaAB过右焦点与右支交于两点时：)(221xxeaAB当双曲线焦点在y 轴上时，过左焦点与左支交于两点时：)(221yyeaAB过右焦点与右支交于两点时：)(221yyeaAB18双曲线的重要结论：( 识记（ 1）- （4）点，了解（5）点 ) （1）双曲线焦点到对应准线的距离( 焦准距 )2bpc（2）过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：22bag. （3）两焦半径与焦距构成三角形的面积1221cot2F PFF PFSb.（4）焦点到渐近线的距离总是b. （5）双曲线的切线方程: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页8 (1) 双曲线22221(0,0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab. (2)过 双 曲 线22221xyab外 一 点00(,)P xy所 引 两 条 切 线 的 切 点 弦 方 程 是00221x xy yab. （3）双曲线22221xyab与直线0AxByC相切的条件是22222A aB bc. 19抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线20抛物线的准线方程：(1)0(22ppxy, 焦点 :)0 ,2(p，准线l：2px(2)0(22ppyx, 焦点 :)2,0(p，准线l：2py(3)0(22ppxy, 焦点 :)0 ,2(p，准线l：2px(4) )0(22ppyx, 焦点 :)2,0(p，准线l：2py相同点： (1) 抛物线都过原点；(2) 对称轴为坐标轴；(3) 准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242pp不同点： (1) 图形关于X轴对称时， X为一次项， Y为二次项，方程右端为px2、左端为2y； 图形关于Y轴对称时， X为二次项， Y为一次项， 方程右端为py2， 左端为2x（ 2）开口方向在X轴（或 Y轴）正向时，焦点在X轴（或 Y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在 X轴（或 Y轴）负向时，焦点在X轴（或 Y轴）负半轴时，方程右端取负号21抛物线的几何性质（1）范围因为 p0，由方程022ppxy可知，这条抛物线上的点M的坐标 (x，y)满足不等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页9 式 x0 ，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸（2）对称性以y 代 y，方程022ppxy不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴（3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点在方程022ppxy中，当 y=0 时，x=0，因此抛物线022ppxy的顶点就是坐标原点（4）离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率， 用 e表示 由抛物线的定义可知，e=122 抛物线的焦半径公式：（画图即可）抛物线)0(22ppxy，0022xppxPF抛物线)0(22ppxy，0022xppxPF抛物线)0(22ppyx，0022yppyPF抛物线)0(22ppyx，0022yppyPF23直线与抛物线：（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点） ；相切（一个公共点）将bkxyl :代入0:22FEyDxCyAxC，消去 y，得到关于 x 的二次方程02cbxax（* ）若0，相交；0，相切；0，相离综上，得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页10 联立pxybkxy22，得关于x 的方程02cbxax当0a（二次项系数为零） ，唯一一个公共点（交点）当0a，则若0，两个公共点（交点）0，一个公共点（切点）0，无公共点（相离）（2）相交弦长：弦长公式：21kad，（3）焦点弦公式：抛物线)0(22ppxy，)(21xxpAB（识记）抛物线)0(22ppxy，)(21xxpAB抛物线)0(22ppyx，)(21yypAB抛物线)0(22ppyx，)(21yypAB（4）通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦通径：pd2通径是所有焦点弦（经过焦点的弦简称焦点弦）中最短的弦（5）若已知过焦点的直线倾斜角（识记这条结论）则pxypxky2)2(20222pykpy221212pyykpyysin24422221ppkpyy221sin2sin1.1pyyAB结论sin2.22pSAOB结论（6）常用结论：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页11 pxypxky2)2(20222pykpy和04)2(22222pkxppkxk221.3pyy结论和421pxx（7）若 OA 、OB是过抛物线22(0)ypx p顶点 O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点(2,0)p（8）过抛物线pxy22的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，则pFQPF21124抛物线)0(22ppxy的参数方程：222ptyptx（t 为参数）25. 提示 . 处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用点差法：设为曲线上不同的两点，是的中点，则可得到弦中点与两点间关系：推导：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页