2022年相似三角形题型归纳 .pdf

三角形题型归纳一、线段比例问题（构造平行）1、下图中， E为平行四边形ABCD 的对角线AC上一点， AE EC=1 3， BE的延长线交CD的延长线于G，交 AD于 F，求证： BF FG=1 2.2、已知：如图，在直角三角形ABC中， BAC= 90， AB= AC ，D为 BC的中点， E为 AC上一点， 点 G在 BE上，连结 DG并延长交AE于 F，若 FGE= 45， （1）求证： BD BC= BG BE ；（2）求证： AG BE ； （3）若 E为 AC的中点，求EFFD的值。3、如图 1，在 RtABC中， BAC=90 ， AD BC于点 D，点 O是 AC边上一点，连接BO交AD于 F，OE OB交 BC边于点 E （1） 求证： ABF COE ； （2） 当 O为 AC的中点，时，如图 2，求的值； （3）当 O为 AC边中点，时，请直接写出的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页4、如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交ACCD，于点PQ， （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1 除外）； （2）求:BP PQ QR二、相似比乘积处理方法（逆向和正向分析找解题思路）1、如下图，已知在 ABC 中， AD平分 BAC,EM是 AD的中垂线，交BC延长线于E.求证：DE2=BE CE.2、 过ABC的顶点 C任作一直线， 与边 AB及中线 AD分别交于点F和 E， 求证：AE ED=2AF FB. 3、如果四边形ABCD的对角线交于O ，过 O作直线 OG AB交 BC于 E，交 AD于 F，交 CD的延长线于G，求证： OG2=GE GF.A B C D E P O R 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页4、已知如图，CD是 RtABC斜边 AB上的高， E为 BC的中点， ED的延长线交CA于 F。求证：5、如图，在RtABC中， CD是斜边 AB上的高，点M在 CD上，DH BM且与 AC的延长线交于点 E.求证： （1）AED CBM ；（2）6、如图， BD、CE分别是 ABC 的两边上的高，过D作 DG BC 于 G ，分别交CE及 BA的延长线于 F、 H 。求证：（1）DG2BG CG ； （2）BG CG GF GH7、已知如图， P为平行四边形ABCD 的对角线 AC上一点，过P的直线与AD 、BC 、CD的延长线、 AB的延长线分别相交于点E、 F、G、H.求证：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页8、 （1）如图 1，点在平行四边形ABCD 的对角线 BD上，一直线过点P分别交 BA ，BC的延长线于点Q，S，交于点求证：（2）如图 2，图 3，当点在平行四边形ABCD的对角线或的延长线上时是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2 为例进行证明或说明） ；三、构造相似辅助线 A、X字型1、如图： ABC中， D是 AB上一点， AD=AC ，BC边上的中线AE交 CD于 F。求证：2、四边形ABCD 中， AC为 AB、AD的比例中项，且AC平分 DAB 。求证：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页3、如图， 过平行四边形ABCD 的顶点 A的直线交BD于 P，交 CD于 Q ，并交 BC的延长线于R，求证：22PBPDPRPQ四、相似类定值问题1、如图，在等边 ABC 中， M 、N分别是边AB ，AC的中点， D为 MN 上任意一点，BD 、CD的延长线分别交AC、AB于点 E、F求证：2、已知，在 ABC 中作内接菱形CDEF ，设菱形的边长为a求证：3、如图，在 ABC 中，已知CD为边 AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在ABC上。求证：ABRDCPQ精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页4、如图所示， ?ABCD 中，AC与 BD交于 O点，E为 AD延长线上一点，OE交 CD于 F，EO延长线交 AB于 G 求证：5、 一条直线截ABC的边 BC 、 CA 、 AB （或它们的延长线）于点 D、 E、 F 求证：6、已知： P为?ABCD 边 BC上任意一点，DP交 AB的延长线于Q点，求证：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页五、证明线段相等1、在等腰ABC，ACAB分别过点B、C作两腰的平行线，经过点A的直线与两平行线分别交于点D、E，连接DC，BE，DC与AB边相交于点M，BE与AC边相交于点N。(1) 如图 1，若CBDE /，写出图中所有与AM相等的线段，并选取一条给出证明。(2) 如图 2，若DE与CB不平行，在 (1) 中与AM相等的线段中找出一条仍然与AM相等的线段，并给出证明。2、在面积为24 的 ABC中，矩形DEFG 的边 DE在 AB上运动，点F、G分别在 BC 、 AC上。（1）若 AE 8，DE2EF ，求 GF的长； （2）若 ACB 90，如图 2，线段 DM 、EN分别为ADG和 BEF的角平分线，求证：MG NF； （3）请直接写出矩形DEFG 的面积的最大值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页3、在ABC中，点D从A出发，在AB边上以每秒一个单位的速度向B运动，同时点F从B出发，在BC边上以相同的速度向C运动，过点D作DEBC交AC于点E运动时间为t秒（1）若AB5，BC6，当t为何值时，四边形DFCE为平行四边形； （2）连接AF、CD若BDDE，求证：BAFBCD； （3）AF交DE于点M，在DC上取点N，使MNAC，连接FN求证：BFCFDNCN；若AB5，BC6，AC4，当MNFN时，请直接写出t的值EFABCDEFABCDNMEFABCD六、对应练习题1、如下图，在 ABC 中， D、E分别为 BC的三等分点，CM为 AB上的中线， CM分别交 AE、AD于 F、G ，则 CF FG GM=5 32精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页2、已知：在四边形ABCD 中， AD BC ， BAC D，点 E、F 分别在 BC、CD上，且 AEF ACD ，试探究AE与 EF之间的数量关系。 （1）如图 1，若 AB BC AC ，则 AE与 EF之间的数量关系是什么； （2）如图 2，若 AB BC ，你在（ 1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想，并加以证明； （3）如图 3，若 AB kBC ，你在（ 1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想，并加以证明3、在 RtABC ，C=90 ， D为 AB边上一点，点M 、N分别在 BC、AC边上，且DM DN 作MF AB于点 F，NEAB于点 E （1）特殊验证：如图1，若 AC=BC ，且 D为 AB中点，求证：DM=DN ，AE=DF ； （2）拓展探究：若AC B C如图2，若 D为 AB中点， （1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；如图3，若 BD=kAD ，条件中“点M在 BC边上”改为“点 M在线段 CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与 DF的数量关系并加以证明精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页A B C D E F G 图 1 4、 （ 1）如图 1，在ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DEBC，AQ交DE于点P求证：QCPEBQDP （2）如图，在ABC中，BAC=90，正方形DEFG的四个顶点在ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；如图3，求证MN2=DM EN5、已知线段OA OB ，C为 OB上中点， D为 AO上一点，连AC 、BD交于 P点 （ 1）如图 1，当 OA=OB 且 D为 AO中点时， 求PCAP的值； （2）如图 2，当 OA=OB ，AOAD=41时，求 tan BPC ；6、如图 1，D是 ABC的 BC 边上的中点， 过点 D的一条直线交AC于 F，交 BA的延长线于E，AG BC交 EF于 G ，我们可以证明EG DC=ED AG成立（不要求考生证明）. （1）如图 2，若将图 1 中的过点D的一条直线交AC于 F， 改为交 CA的延长线于F， 交 BA的延长线于E ，改为交BA于 E，其它条件不变，则EG DC=ED AG还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（2）根据图2，请你找出EG 、FD 、 ED 、FG四条线段之间的关系 , 并给出证明 ;（3）如图 3, 若将图 1 中的过点D的一条直线交AC于 F，改为交 CA的反向延长线于F. 其它条件不变，则（2）得到的结论是否成立？DCPOAB图 1 DCPOAB图 2 A B C D F E G 图 3 A B C D E F G 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页7、已知：在ABC中 AB AC ，点 D 为 BC边的中点，点F 是 AB边上一点，点E 在线段 DF的延长线上， BAE BDF ，点 M在线段 DF上，ABE DBM （1）如图 1，当 ABC 45时，求证： AE 2MD ； （2）如图2，当 ABC 60时，则线段AE 、MD之间的数量关系为：。 （3）在（2）的条件下延长BM到 P，使 MP BM ，连接 CP ，若 AB 7，AE 72，求 tan ACP的值8、如图 13，梯形 ABCD 中，AD BC ，ABC 2BCD 2a，点 E在 AD上，点 F在 DC上，且BEF= A.（1）BEF=_( 用含a 的代数式表示 ) ； （2）当 AB AD时，猜想线段EB 、EF的数量关系，并证明你的猜想；（3）当 AB AD时，将“点E在 AD上”改为“点E在 AD的延长线上， 且 AEAB ，AB mDE ，AD nDE ”，其他条件不变 （如图 14） ，求 EB/EF的值（用含 m 、n 的代数式表示） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页