2022年第三章空间向量与立体几何导学案 .pdf

3.1.1空间向量及其运算学习目标1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题学习过程一、课前准备（预习教材P84 P86，找出疑惑之处）复习 1：平面向量基本概念：具有和的量叫向量，叫向量的模（或长度） ；叫零向量，记着；叫 单 位 向 量 . 叫 相 反 向 量 ，a 的 相 反 向 量 记 着. 叫相等向量. 向量的表示方法有，和共三种方法 . 复习 2：平面向量有加减以及数乘向量运算：1. 向 量 的 加 法 和 减 法 的 运 算 法 则 有法则和法则 . 2. 实数与向量的积：实数 与向量 a 的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：(1)| a|. (2)当 0 时， a与 A. ；当 0 时， a 与 A. ；当 0 时， a. 3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？加法交换律：ab ba加法结合律：(ab)ca（ bc）数乘分配律： (ab) a b二、新课导学 学习探究探究任务一 ：空间向量的相关概念问题 ： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？新知 ：空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中，OB，AB，试试 ：1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求,.ab aba.b2. 点 C 在线段 AB 上，且52ACCB,则ACAB , BCAB . 反思 ：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？加法交换律：A. + B. = B. + a；加法结合律：(A. + b) + C. =A. + (B. + c)；数乘分配律： (A. + b) =A. +b 典型例题例 1 已知平行六面体ABCDA B C D （如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：ABBC；ABADAA；12ABADCC1( )2ABADAA变式 ：在上图中，用,AB AD AA 表示,AC BD 和DB . 小结 ：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页例 2 化简下列各式：ABBCCA ; ;ABMBBOOM;ABACBDCDOAODDC . 变式 ：化简下列各式：OAOCBOCO ; ABADDC; NQQPMNMP . 小结 ：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化. 动手试试练1. 已知平行六面体ABCDA B C D , M为A1C1与 B1D1的交点，化简下列表达式：111AAA B ; 11111122A BA D ; 111111122AAA BA D1111ABBCCCC AA A . 三、总结提升 学习小结1. 空间向量基本概念；2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律 知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移. 学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 下列说法中正确的是（）A. 若 a = b ，则 a， b 的长度相同，方向相反或相同 ; B. 若 a与 b是相反向量，则a = b ; C. 空间向量的减法满足结合律; D. 在四边形ABCD 中，一定有ABADAC . 2. 长方体ABCDA B C D中，化简A AABAD= 3. 已知向量 a，b 是两个非零向量，00,ab 是与 a，b同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（）A. 00abB. 00ab 或00abC. 01aD. 0a =0b 4. 在四边形ABCD 中，若 ACABAD ,则四边形是（）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 平行四边形5. 下列说法正确的是（）A. 零向量没有方向B. 空间向量不可以平行移动C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D. 同向且等长的有向线段表示同一向量课后作业1.在三棱柱ABC-ABC 中， M,N 分别为BC,BC的中点，化简下列式子：AM+ BNA NMC+ BB2. 如图，平行六面体1111ABCDA B C D 中，点M为AC 与的BD的交点，ABa ， ADb ，1A Ac ，则下列向量中与1B M 相等的是（）A. 1122abcB. 1122abcC. 1122abcD. 1122abc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页3.1.2 空间向量的数乘运算（一）学习目标1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题学习过程一、课前准备（预习教材P86 P87，找出疑惑之处）复习 1：化简： 5（ 32ab）+4（ 23ba） ；63abcabc. 复习 2：在平面上，什么叫做两个向量平行？在平面上有两个向量,a b ， 若 b 是非零向量， 则 a 与b 平行的充要条件是二、新课导学 学习探究探究任务一 ：空间向量的共线问题 ：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？新知 ：空间向量的共线：1. 如果表示空间向量的所在的直线互相或，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量 . 2. 空间向量共线：定理： 对空间任意两个向量,a b（0b） ，/ab 的充要条件是存在唯一实数，使得推论： 如图， l 为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O， 点 P 在直线 l 上的充要条件是试试 ：已知5 ,28 ,ABab BCab3CDab，求证 : A,B,C 三点共线 . 反思 ：充分理解两个向量,a b 共线向量的充要条件中的0b，注意零向量与任何向量共线. 典型例题例 1 已知直线AB，点O 是直线AB 外一点，若OPxOAyOB ，且 x+y1，试判断A,B,P 三点是否共线？变式 ： 已知 A,B,P 三点共线，点 O 是直线 AB 外一点，若12OPOAtOB ，那么 t例 2 已知平行六面体ABCDA B C D ， 点 M 是棱AA的中点，点 G 在对角线AC 上，且 CG:GA=2:1,设 CD = a ，,CBb CCc ，试用向量, ,a b c 表示向量,CA CA CM CG . 变式1：已知长方体ABCDA B C D ，M 是对角线 AC中点，化简下列表达式：AACB; ABB CC D111222ADABA A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页变式 2：如图，已知,A B C 不共线，从平面ABC 外任一点 O ，作出点,P Q R S ,使得：22OPOAABAC32OQOAABAC32OROAABAC23OSOAABAC . 小结 ：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向. 动手试试练 1. 下列说法正确的是（）A. 向量 a 与非零向量b 共线， b 与 c 共线，则 a与c共线；B. 任意两个共线向量不一定是共线向量；C. 任意两个共线向量相等；D. 若向量 a 与 b共线，则 ab . 2. 已 知32,(1)8amn bxmn，0a， 若/ab ，求实数. x三、总结提升 学习小结1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. 知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移. 学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 下列说法正确的是（）A. a与非零向量b共线 ,b 与 c 共线，则 a与 c 共线B. 任意两个相等向量不一定共线C. 任意两个共线向量相等D. 若向量 a 与 b 共线，则 ab2. 正方体ABCDA B C D 中，点E 是上底面A B C D 的中心，若BBxADyABzAA , 则 x，y，z. 3. 若点 P 是线段 AB 的中点，点O 在直线 AB 外，则 OPOA+ OB . 4. 平行六面体ABCDA B C D , O 为 A1C 与 B1D的交点 ,则1()3ABADAAAO5. 已知平行六面体ABCDA B C D ，M 是 AC 与BD 交点，若,ABa ADb AAc ，则与B M 相等的向量是（）A. 1122abc ；B. 1122abc；C. 1122abc；D. 1122abc . 课后作业：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页3.1.2 空间向量的数乘运算（二）学习目标1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题学习过程一、课前准备（预习教材P86 P87，找出疑惑之处）复习 1：什么叫空间向量共线？空间两个向量,a b ，若 b 是非零向量，则a 与 b 平行的充要条件是复习 2：已知直线AB，点 O 是直线 AB 外一点，若1233OPOAOB ，试判断A,B,P 三点是否共线？二、新课导学 学习探究探究任务一 ：空间向量的共面问题 ：空间任意两个向量不共线的两个向量,a b有怎样的位置关系？空间三个向量又有怎样的位置关系？新知 ：共面向量：同一平面的向量. 2. 空间向量共面：定理： 对空间两个不共线向量,a b，向量p 与向量,a b 共面的充要条件是存在，使得. 推论： 空间一点P 与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是： 存在，使 对空间任意一点O，有试试： 若空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C 满足关系式111236OPOAOBOC ,则点 P 与 A,B,C共面吗？反思 ：若空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C 满足关系式OPxOAyOBzOC ,且点P 与A,B,C 共面，则 xyz. 典型例题例 1 下列等式中， 使 M,A,B,C 四点共面的个数是 （ ）;OMOAOBOC111;532OMOAOBOC0;MAMBMC0OMOAOBOC. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 变式 ：已知 A,B,C 三点不共线， O 为平面 ABC 外一点，若向量17,53OPOAOBOCR则 P ,A,B,C 四点共面的条件是例 2如图，已知平行四边形ABCD,过平面 AC 外一点 O 作射线OA,OB,OC,OD, 在四条射线上分别取点E,F,G,H,并且使,OEOFOGOHkOAOBOCOD求证： E,F,G,H 四点共面 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页变式 ：已知空间四边形ABCD 的四个顶点A,B,C,D不共面，E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,AD 的中点，求证：E,F,G,H 四点共面 . 小结 ：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向. 动手试试练 1. 已知,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OPOAOBOC，试判断：点P与,A B C 是否一定共面？练 2. 已知32 ,(1)8amn bxmn ，0a，若/ab ，求实数. x三、总结提升 学习小结1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. 知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移. 学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量1D A 、1D C 、11AC是（）A. 有相同起点的向量B等长向量C共面向量D不共面向量. 2. 正方体ABCDA B C D 中，点E 是上底面A B C D 的中心，若BBxADyABzAA , 则 x，y，z. 3. 若点 P 是线段 AB 的中点，点O 在直线 AB 外，则 OPOA+ OB . 4. 平行六面体ABCDA B C D , O 为 A1C 与 B1D的交点 ,则1()3ABADAAAO . 5. 在下列命题中：若a、b 共线，则 a、b 所在的直线平行；若a、b 所在的直线是异面直线，则a、b 一定不共面； 若 a、 b、 c 三向量两两共面， 则 a、b、c三向量一定也共面；已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为pxaybzc其中正确命题的个数为（）. A0 B.1 C. 2 D. 3 课后作业：1. 若324 ,(1)82amnp bxmnyp ，0a，若/ab ，求实数, x y. 2. 已 知 两 个 非 零 向 量21,e e不 共 线 ,12,ABee121228,33ACeeADee . 求证：,A B C D 共面ABCDFEGH精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页3.1.3空间向量的数量积（1）学习目标1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题学习过程一、课前准备（预习教材P90 P92，找出疑惑之处）复习 1：什么是平面向量a与 b的数量积？复习2：在边长为1 的正三角形ABC 中，求ABBC.二、新课导学 学习探究探究任务一 ：空间向量的数量积定义和性质问题 ：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？新知 ：1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量,a b ，在空间一点 O ，作,OAa OBb ，则AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作. 试试 ： 范围 :,a b,a b =0 时, ab与;,a b =时, ab与,a bb a成立吗？,a b，则称 a 与 b 互相垂直，记作. 2) 向量的数量积：已知向量,a b ，则叫做,a b 的数量积，记作 a b，即 a b. 规定 :零向量与任意向量的数量积等于零. 反思 ： 两个向量的数量积是数量还是向量？0a（选 0 还是 0 ） 你能说出a b的几何意义吗？3) 空间向量数量积的性质：（ 1）设单位向量e ，则| cos,a eaa e（ 2） aba b（ 3） a a .4) 空间向量数量积运算律：（ 1） ()()()aba bab （ 2） a bb a （交换律）（ 3）()abca ba c （分配律反思 ：)()a bcab c（吗？举例说明. 若a ba c，则bc 吗？举例说明 . 若0a b，则00ab或吗？为什么？ 典型例题例 1 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 . 变式 1：用向量方法证明：已知：,m n是平面内的两条相交直线，直线l 与平面的交点为B，且,lm ln. 求证： l例2 如图，在空间四边形ABCD 中，2AB，3BC，2 3BD，3CD，30ABD，60ABC，求AB与 CD 的夹角的余弦值DABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页变式 ：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2 BB1,则 AB1与 C1B 所成的角为（）A. 60B. 90C. 105D. 75例 3 如图，在平行四边形ABCD-A1B1C1D1中，4,3ABAD,5AA,90BAD,BAA = DAA =60 ,求AC 的长 . 动手试试练 1. 已知向量, a b满足1a，2b，3ab，则ab_. 练 2.22 2 ,22aba b已知, 则 ab与的夹角大小为 _.三、总结提升 学习小结1.向量的数量积的定义和几何意义. 2. 向量的数量积的性质和运算律的运用. 知识拓展向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法. 学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 下列命题中：若0ab，则 a ， b中至少一个为0若 a0且 abac，则 bc ()()abcabc22(32 )(32 )94ababab正确有个数为（）A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个2. 已知1e 和2e 是两个单位向量，夹角为3，则下面向量中与212ee 垂直的是（）A. 12eeB. 12eeC. 1eD. 2e3.已知ABC中，,ABC所对的边为, ,a b c，且3,1ab,30C,则BCCA= 4. 已知4a，2b，且 a和 b 不共线， 当ab与 ab 的夹角是锐角时，的取值范围是. 5. 已知向量,a b满足4a，2b，3ab，则ab_ 课后作业：1. 已知空间四边形ABCD 中，ABCD ，ACBD ，求证： ADBC . 2. 已知线段AB、BD 在平面内,BDAB, 线段 AC,如果 ABa,BDb,AC c,求 C、D 间的距离 . DABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；学习过程一、课前准备（预习教材P92-96找出疑惑之处）复习 1：平面向量基本定理：对平面上的任意一个向量P ，,a b 是平面上两个向量，总是存在实数对,x y ， 使得向量P 可以用,a b来表示，表达式为，其中,a b 叫做. 若 ab ，则称向量P 正交分解 . 复习 2：平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取x 轴和 y 轴上的向量, i j 作为基底，对平面上任意向量a ，有且只有一对实数 x，y，使得 axiy j ， ，则称有序对, x y为向量 a的，即 a . 二、新课导学 学习探究探究任务一 ：空间向量的正交分解问题 ：对空间的任意向量a，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？新知 ： 空间向量的正交分解：空间的任意向量a，均可分解为不共面的三个向量11a 、22a 、33a ，使112233aaaa . 如果123,a aa 两两，这种分解就是空间向量的正交分解.(2)空间向量基本定理：如果三个向量, ,a b c，对空间任一向量p ，存在有序实数组 , x y z ，使得pxaybzc . 把的一个基底，, ,a b c 都叫做基向量 . 反思 ：空间任意一个向量的基底有个. 单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相，长度都为，则这个基底叫做单位正交基底 ，通常用 i,j,k表示 . 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量 a，且设 i、j、k 为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组 , , x y z ，使得axiy jzk ，则称有序实数组 , , x y z 为向量a的坐标，记着p. 设 A111(,)xy z， B222(,)xyz，则 AB . 向量的直角坐标运算：设 a123(,)aaa，b123(,)b b b，则 ab112233(,)ab ab ab； ab112233(,)ab ab ab； a123(,)aaa()R ； ab1 12 23 3a ba ba b . 试试 ：1. 设23aijk ，则向量 a 的坐标为. 2. 若 A (1,0,2) ，B (3,1, 1)，则 AB . 3. 已知 a (2, 3,5) ，b ( 3,1, 4) ，求 ab，ab，8a，ab 典型例题例1 已知向量, ,a b c 是空间的一个基底，从向量, ,a b c 中选哪一个向量，一定可以与向量,pabqab 构成空间的另一个基底？变式 ：已知 O,A,B,C 为空间四点， 且向量,OA OB OC不构成空间的一个基底，那么点 O,A,B,C 是否共面？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页小结 ：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：这三个向量一定不共面 . 例 2 如图，M,N 分别是四面体QABC 的边 OA,BC 的中点， P,Q 是 MN 的三等分点，用,OA OB OC表示 OP 和 OQ . 变式 ：已知平行六面体ABCDA B C D ，点 G 是侧面BBC C 的中心， 且 OAa，,OCb OOc ，试用向量, ,a b c表示下列向量: ,;OBBA CAOG . 动手试试练 1. 已知2, 3,1 ,2,0,3 ,0,0,2abc，求：abc；68abc. 练 2. 正方体ABCDA B C D 的棱长为2，以 A 为坐标原点，以AB,AD,AA为 x 轴、 y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则点1D ，,AC AC 的坐标分别是，. 三、总结提升 学习小结1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理；2. 空间向量坐标表示及其运算 知识拓展建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据已知条件，通过作辅助线来创造建系的图形. 学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 若a, ,b c为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（）A.,a ab abB. ,b ab abC. ,c ab abD. 2 ,ab ab ab2. 设 i、j、k 为空间直角坐标系O-xyz 中 x 轴、 y 轴、z 轴正方向的单位向量，且ABijk ，则点B的坐标是3. 在三棱锥OABC 中， G 是ABC 的重心（三条中线的交点），选取,OA OB OC 为基底， 试用基底表示OG 4. 正方体ABCDA B C D 的棱长为2，以 A 为坐标原点，以AB,AD,AA为 x 轴、 y 轴、 z轴正方向建立空间直角坐标系，E 为 BB1中点，则E 的坐标是. 5. 已知关于x 的方程222350 xtxtt有两个实根，catb ，且1,1,3 ,1,0,2ab，当 t时， c 的模取得最大值. 课后作业1. 已知3,5, 7 ,2,4,3AB,求,AB BA 线段 AB的中点坐标及线段AB 的长度 . 2. 已 知, ,a b c 是 空 间 的 一 个 正 交 基 底 ， 向 量,ab ab c 是另一组基底，若p 在, ,a b c 的坐标是1,2,3 ，求 p 在,ab ab c 的坐标 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页3.1.5 空间向量运算的坐标表示学习目标1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2. 会用这些公式解决有关问题. 学习过程一、课前准备（预习教材P95 P97，找出疑惑之处）复习 1：设在平面直角坐标系中，A (1,3) ，B ( 1,2) ，则线段 AB. 复习 2：已知3,2,5 ,1,5,1ab，求：aB. 3ab；6A. ；ab. 二、新课导学 学习探究探究任务一 ：空间向量坐标表示夹角和距离公式问题 ：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？新知 ：1. 向量的模 ：设 a123(,)a aa，则 a2. 两个向量的夹角公式：设 a123(,)a aa，b123(,)b bb，由向量数量积定义：a b|a|b|cosa,b，又由向量数量积坐标运算公式：ab，由此可以得出：cosa,b试试 ： 当 cosa、 b 1 时， a 与 b 所成角是； 当 cosa、 b 1 时， a 与 b所成角是； 当 cosa、b 0 时，a 与 b 所成角是，即a 与b 的位置关系是，用符合表示为. 反思 ：设 a123(,)a aa，b123(,)b b b，则 a/B. a 与 b所成角是a 与 b的坐标关系为； aba 与 b 的坐标关系为；3. 两点间的距离公式：在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 点111(,)A xy z，222(,)B xyz，则线段AB 的长度为：222211212()()()ABxxyyzz.4.线段中点的坐标公式：在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 点111(,)A xy z，222(,)B xyz，则线段AB 的中点坐标为: . 典型例题例 1. 如图 ,在正方体1111ABCDA B C D 中，点11,EF 分别是1111,A B C D 的一个四等分点， 求1BE 与1DF 所成的角的余弦值变 式 ： 如 上 图 ,在 正 方 体1111A B C DA B C D 中 ，1111113A BB ED F，求1BE 与1DF 所成角的余弦值例 2. 如图，正方体1111ABCDA B C D 中，点E,F 分别是111,BB D B 的中点，求证：1EFDA . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页变式 ：如图，正方体1111ABCDA B C D 中，点M 是AB 的中点，求1DB 与 CM 所成角的余弦值. 小结 ：求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的直角坐标系中找出两个向量的坐标，然后再用公式计算 . 动手试试练 1. 已知 A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：线段 AB 的中点坐标和长度；到 A、B 两点距离相等的点( , , )P x y z 的坐标 x、y、z 满足的条件练 2. 如图，正方体的棱长为2，试建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标，并和你的同学交流 . 三、总结提升 学习小结1. 空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2. 解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建立合适的空间直角坐标系，写出向量的坐标，然后再代入公式进行计算. 知识拓展在平面内取正交基底建立坐标系后，坐标平面内的任意一个向量，都可以用二元有序实数对表示，平面向量又称二维向量.空间向量可用三元有序实数组表示，空间向量又称三维向量.二维向量和三维向量统称为几何向量. 学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1. 若 a123(,)a aa， b123(,)b b b， 则312123aaabbb是/ab的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不不要条件2. 已知2, 1,3 ,4,2,abx ，且 ab ，则 x. 3. 已知1,0,0 ,0,1,1AB,OAOB 与 OB 的夹角为 120，则的值为（）A. 66B. 66C. 66D. 64. 若2,2,0 ,3,2,axbx x，且,a b的夹角为钝角，则x的取值范围是（）A. 4xB. 40 xC. 04xD. 4x5. 已知1,2,1,2aybx， 且(2 )/(2)abab ，则（）A. 1,13xyB. 1,42xyC. 12,4xyD. 1,1xy课后作业：1.如图，正方体ABCDA B C D 棱长为a， 求,AB BC 的夹角；求证：A BAC . 2. 如图，正方体1111ABCDA B C D 中，点M,N 分别为棱11,A A B B 的中点，求 CM 和1D N 所成角的余弦值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页3.1 空间向量及其运算（练习）学习目标1. 熟练掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运算，向量的数量积运算及其坐标表示；2. 熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些公式解决有关问题 . 学习过程一、课前准备： （阅读课本p115）复习 ：1. 具有和的量叫 向量 ，叫向量的模 ；叫零向量 ， 记着；具有叫单位向量 . 2. 向 量 的 加 法 和 减 法 的 运 算 法 则 有法则和法则 . 3.实数 与向量 a 的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：(1)| a|. (2)当 0 时， a与 A. ；当 0 时， a 与 A. ；当 0 时， a. 4. 向量加法和数乘向量运算律：交换律： ab结合律： (ab)c数乘分配律： (ab)5. 表示空间向量的所在的直线互相或，则这些向量叫共线向量， 也叫平行向量 . 空间向量共线定理：对空间任意两个向量,a b（0b） ，/ab 的充要条件是存在唯一实数，使得； 推论：l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量 a的直线，对空间的任意一点O，点P 在直线l上的充要条件是6. 空间向量共面：共面向量：同一平面的向量. 定理： 对空间两个不共线向量,a b ，向量 p 与向量,a b 共面的充要条件是存在，使得. 推论： 空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是： 存在，使 对空间任意一点O，有7. 向量的数量积： a b. 8. 单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相，长度都为，则这个基底叫做单位正交基底，通常用 i,j,k表示 . 9.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量 a，且设 i、j、k 为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组 , , x y z ，使得axiy jzk ，则称有序实数组 , , x y z 为向量a的坐标，记着p. 10. 设 A111(,)xy z，B222(,)xyz，则 AB . 11. 向量的直角坐标运算：设 a123(,)aaa，b123(,)b b b，则 ab；a b； a；a b 动手试试1在下列命题中：若a、b 共线，则a、b 所在的直线平行； 若 a、 b 所在的直线是异面直线，则 a、b 一定不共面；若a、b、c 三向量两两共面，则a、b、 c三向量一定也共面；已知三向量a、b、c， 则空间任意一个向量p总可以唯一表示为pxaybzc其中正确命题的个数为（）A0 B. 1 C. 2 D. 3 2在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，向量1D A、1D C 、11AC是（）A有相同起点的向量B等长向量C共面向量D不共面向量3已知 a（ 2， 1，3） ，b（ 1，4， 2） ，c（7，5，） ，若 a、b、c 三向量共面，则实数 =（）A. 627B. 637C. 647D. 6574若 a、b 均为非零向量，则|a bab 是 a 与 b共线的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件5已知 ABC 的三个顶点为A（3，3，2） ，B（4，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页3， 7） ， C （0， 5， 1） ， 则 BC 边上的中线长为 （）A 2 B3 C 4 D5 6. 32,2 ,aijk bijk 则 53ab（）A 15 B 5 C 3 D 1 典型例题例 1 如图，空间四边形OABC 中，,OAa OBb ，OCc ，点 M 在 OA 上，且 OM=2MA,点 N 为 BC 的中点，则 MN. 变 式 ： 如 图 ， 平 行 六 面 体ABCDA B C D 中 ，,ABa ADb，AAc , 点,P M N分 别 是,CA CD C D 的中点，点Q 在CA 上，且41CQQA,用基底, ,a b c 表示下列向量：AP ; AM ; AN ; AQ . 例2如 图 ， 在 直 三 棱 柱ABC A1B1C1中 ，190 ,1,2,6ABCCBCAAA,点M是1CC 的中点，求证：1AMBA . 变式 ：正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为2，底面边长为 1，点 M 是 BC 的中点， 在直线1CC 上求一点N，使得1MNAB学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测（时量： 5 分钟满分： 10 分）计分：1直三棱柱ABC A1B1C1中，若 CAa ，CBb，1CCc， 则1A B（）A. abcB. abcC. abcD.abc2.,ma mb( ,nabR向量且、0)则 （）A/mnBm 与 n 不平行也不垂直C. mn ，D以上情况都可能. 3. 已知 a+ b + c 0 ，|a |2，|b | 3，|c |19 ，则向量 a 与 b 之间的夹角,a b为（）A30B45C60D以上都不对4.已知1,1, 0 ,1,0, 2 ,ab且 kab 与 2ab 互相垂直，则k 的值是（）A. .1 B. 15C. 35D. 755. 若 A(m1，n1,3)， B. (2m,n,m2n)，C(m 3,n3,9)三点共线，则m+n= 课后作业如图，在棱长为1 的正方体1111ABCDAB C D 中，点,E F G 分别是11,DDBD BB 的中点 . 求证 ： EFCF ； 求EF与 CG 所成角的余弦； 求 CE 的长 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页3.2立体几何中的向量方法（1）学习目标1. 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念; 2. 掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题学习过程一、课前准备（预习教材P102 P104，找出疑惑之处）复习 1：可以确定一条直线；确定一个平面的方法有哪些？复习 2：如何判定空间A,B,C 三点在一条直线上？复习 3：设 a123(,)a aa， b123(,)b b b，ab二、新课导学 学习探究探究任务一 ： 向量表示空间的点、直线、平面问题 ：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？新知 ： 点：在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量OP 来表示，我们把向量OP 称为点P的位置向量 . 直线： 直线的 方向向量 ：和这条直线平行或共线的非零向量 . 对于直线l 上的任一点P,存在实数t，使得APtAB ，此方程称为 直线的向量参数方程. 平面： 空间中平面的位置可以由内两个不共线向量确定 .对于平面上的任一点P, ,a b 是平面内两个 不 共 线 向 量 ， 则 存 在 有 序 实 数 对 ( , )x y ,使 得OPxay b . 空间中平面的位置还可以用垂直