2022年第十一讲--两角和与差的正弦、余弦和正切公式-经典难题复习巩固 .pdf

精典专题系列第 11 讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、导入：难解的结古罗马时代，一位预言家在一座城市内设下了一个奇特难解的结，并且预言，将来解开这个结的人必定是亚细亚的统治者。长久以来，虽然许多人勇敢尝试，但是依然无人能解开这个结。当时身为马其顿将军的亚历山大，也听说了关于这个结的预言，于是趁着驻兵这个城市之时，试着去打开这个结。亚历山大连续尝试了好几个月，用尽了各种方法都无法打开这个结，真是又急又气。有一天，他试着解开这个结又失败后，恨恨地说：“我再也不要看到这个结了。”当他强迫自己转移注意力，不再去想这个结时，忽然脑筋一转，他抽出了身上的佩剑，一剑将结砍成了两半儿结打开了。大道理：勇敢地跳出思想的绳索，打开心结。过后会发现，事情实际上没有看到的和想象中的那么困难。积极一点，什么都会给你让路。二、知识点回顾：1两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin( )；cos()；tan(). 2二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2 ； cos2 ； tan2 . 三、专题训练：考点一三角函数式的化简、求值(1)化简：sin50 13tan10 cos20cos801cos20；(2)若 f(x)1sinx cosx sinx2 cosx222cosx(0 x )，求 f(3)自主解答 (1) sin50 (13tan10 ) sin50 cos103sin10 cos10sin50 2sin40 cos101，cos80 1cos20sin10 2sin210 2sin210 . DSE 金牌化学专题系列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页sin50 13tan10 cos20cos80 1cos201cos202sin2102.(2)f(x) 2sinx2cosx22cos2x2sinx2cosx24cos2x2cosx2sin2x2cos2x2|cosx2|cosx2 cosx|cosx2|因为 0 x ，所以 0 x20，所以 f(x) cosx f(3) cos312.变式训练：化简：2sin(4x)6cos(4x)解： 原式 2 212sin(4 x)32cos(4x) 2 2cos3sin(4x)sin3cos(4x) 2 2sin(4 x3) 2 2sin(712x)考点二三角函数的给值求值已知角 A、B、C 为 ABC 的三个内角，OM(sinBcosB ，cosC)，ON(sinC，sinBcosB)，OMON15. (1)求 tan2A 的值；(2)求2cos2A2 3sinA 12sin A4的值自主解答 (1)OMON(sinBcosB)sinCcosC(sinB cosB)sin(BC) cos(B C)15，sinAcosA15，两边平方并整理得：2sinAcosA2425，24250， A (2，) ， sinAcosA12sinAcosA75联立得：sinA35，cosA45，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页 tanA34， tan2A2tanA1tan2A321916247.(2) tanA34，2cos2A23sinA12sin A4cosA3sinAcosAsinA1 3tanA1tanA13 341 3413.变式训练：已知向量a(sin ， 2)与 b(1，cos)互相垂直，其中 (0，2)(1)求 sin 和 cos 的值；(2)若 sin( ) 1010，02，求 cos的值解： (1) a b， sin 2cos 0，又 (0，2)，sin 2 55，cos 55. (2) sin( ) 1010， cos( ) 31010或31010. 当 cos( ) 31010时，cos cos ( ) cos cos( ) sin sin( )553 1010255101022. 当 cos( ) 31010时，cos cos ( ) cos cos( ) sin sin( )553 101025510102100. (0，2)，不合题意，舍去 cos 的值等于22.考点三三角函数的给值求角已知 02 ，tan212，cos( ) 210. (1)求 sin 的值； (2)求 的值自主解答 (1) tan212， sin sin(2 2)2sin2cos2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页2sin2cos2sin22cos222tan21tan22212112245.(2) 0 2，sin 45， cos 35. 又 0 2 ， 0 . 由 cos( )210，得 0 2. sin( )98107 210， sin sin( ) sin( )cos cos( )sin7 21035210452525022. 由2 得 34 . (或求 cos 22，得 34 ) 思考：若将条件改为“02，cos 17，cos( )1314”，如何求解？解： 1 0 2，cos 17 sin 437.2 由0 2，得 0 2.又 cos 1314， sin( )1cos2 1131423 314. 由 ( )，得 cos cos ( )coscos()sinsin( )171314437331412. 3.变式训练：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页已知 02，2 ，且 cos 17，sin 5 314，求 的值解： 因为 02，2 ，所以 0 ，又 cos 17，sin 5 314，所以 sin 4 37，cos 1114，所以 cos( ) 12，所以 3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查，而该公式与三角形问题相结合更能体现其解题功能，且能考查学生灵活运用公式及三角恒等变换的能力，是高考的一种重要考向考题印证 (2010 重庆高考 )(13 分)设 ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为a、b、c，且 3b23c23a2 4 2bc. (1)求 sinA 的值；(2)求2sin A4sin BC41 cos2A的值规范解答 (1)由余弦定理得cosAb2 c2 a22bc2 23，(3 分) 又 0A ，故 sinA1 cos2A13.(6 分)(2)原式2sin A4sin A41cos2A2sin A4sin A42sin2A(9 分) 222sinA22cosA22sinA22cosA2sin2Asin2Acos2A2sin2A72. (13 分 )四、技法巧点：1公式常见变形及应用技巧(1)对公式的掌握，既要能正用，还要能逆用及变形应用记忆公式要注意角、三角函数名称排列以及连结符号“”“”的变化特点，要掌握一些常见的变形使用，如 tan( ) tan tan 1 tan tan 变形为 tan tan tan( )(1 tantan)，cos2 2cos2 112sin2变形为 cos2 1cos22， sin2 1cos22等(2) 要注意从整体上把握公式的结构特点，根据公式的整体特点采用代数变形( 如平方相加、平方相减) ，有利于简化复杂的三角运算2常见角的变换明确变形目标，重视角的变换，注意角的范围确定变形的目标和方向很重要，根据所求目标及条件常可对角进行一些变换，如 2 ( ) ( ) ，2 ( )( )， ( ) ， 3 ( ) ( 3)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页 22等等，再根据条件确定其范围，计算有关函数值五、巩固练习：一、选择题 (共 6 个小题，每小题5 分，满分30 分) 1(2010 全国卷 )已知 sin 23，则 cos( 2 )() A53B19C.19D.53解析： cos( 2 ) cos2 (12sin2 ) 2(23)2119. 答案： B 2设 asin14 cos14，bsin16 cos16，c62，则 a、b、 c的大小关系是() AabcB acbCbcaDba0，b0，c0， acb. 答案： B 3已知 tan( )25，tan( 4)14，那么 tan( 4)等于 () A.1318B.1322C.16D.322解析： 因为 4 4 ，所以 4( ) ( 4)所以tan( 4) tan( )( 4)tan tan 41 tan tan 4322. 答案： D 4(2011 潮州模拟 )sin2 2425，0 2，则2cos(4 )的值为 () A.15B15C.75D15解析： 2cos(4 )sin cos ， 2cos(4 )2(sin cos )2 1sin2124254925. 0 0， 2cos(4 )75. 答案： C 5.2cos10 sin20 sin70 的值是 () 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页A.12B.32C.3 D.2 解析： 原式2cos30 20 sin20 sin70 2 cos30 cos20sin30 sin20 sin20 sin70 3cos20 cos203. 答案： C 6已知 A、B 均为钝角，且sinA55，sinB1010，则 AB 等于 () A.74B.54C.54或74D.94解析： 由已知可得cosA2 55，cos B3 1010， cos( AB)cos Acos BsinAsinB22，又2 A ，2B ， AB2 ， AB74. 答案： A 二、填空题 (共 3 小题，每小题5 分，满分15 分) 7.22cos821 sin8的化简结果是_解析： 原式4cos242sin4cos422|cos4| 2|sin4cos4| 54 432 cos40，且 sin4cos4 原式2cos42(sin4cos4) 2sin4. 8(2011 东城模拟 )若 sin( )45， (0，2)，则 sin2 cos22的值等于 _解析： sin( )45， sin 45，又 (0，2)， cos 35 sin2 cos222sin cos 1cos 2245351352425. 9若 f(sinx)3cos2 x，则 f(cosx)_. 解析： f(sinx)3cos2x3(12sin2x)2sin2x 2，所以 f(x)2x22，因此 f(cosx)2cos2x2(2cos2x1)33cos2 x. 三、解答题 (共 3 小题，满分35 分) 10.如图，以 Ox 为始边作角与 (0 ) ，它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点 P 的坐标为 (35，45)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页(1)求sin2 cos2 11tan的值；(2)若OPOQ0，求 sin( )解： (1)由三角函数定义得cos 35，sin 45，则原式2sin cos 2cos21sincos2cos sin cossin cos cos2cos22(35)21825. (2)OPOQ0， 2， 2， sin sin( 2) cos 35，cos cos( 2)sin 45. sin( )sin cos cos sin4545 (35)35725. 11已知锐角 ABC 中，三个内角为A，B，C，两向量 p(22sinA，cos AsinA)，q(sinAcosA,1 sinA)，若 p 与 q是共线向量(1)求角 A 的大小；(2)求函数 y2sin2Bcos(C3B2)取最大值时角B 的大小解： (1)p(2 2sinA， cos AsinA)， q(sinAcosA,1 sinA)，p q， (2 2sinA)(1 sinA) (cosA sinA)(sinAcosA)0，化简得： sin2A34， ABC 为锐角三角形， sinA32， A60 . (2)y2sin2Bcos(C3B2) 2sin2Bcos(180 B A3B2) 2sin2Bcos(2B60 )1 cos2 B cos(2 B60 ) 1sin(2B30 )，当 B 60 时函数取得最大值2. 12已知向量a(12，32)，b(cosx，sinx)，x (0，2)(1)若 ab，求 sinx 和 cos2 x 的值；(2)若 a b2cos(12k 136x)(kZ)，求 tan(x512)的值解： (1) a b，12sinx32cos x. 于是 sinx3cosx，又sin2x cos2x1， cos2x14，又 x (0，2)，sinx1cos2x11432. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页cos2 x2cos2x112112. (2) a b12cosx32sinxcos6sinxsin6cosx sin(x6)，而 2cos(x12k 136)2cos(2k x62)2cos(x6)(k Z)，于是 sin(x6)2cos(x6)，即 tan(x6)2. tan(x512)tan(x6)4 tan x6tan41tan x6 tan42 112 1 3. 六、反思总结：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1(2010 全国新课标 )若 cos 45，是第三象限的角，则sin( 4)() A7210B.7210C210D.210解析： 由题知， cos 45，是第三象限的角，所以sin 35，由两角和的正弦公式可得sin( 4)sin cos4 cossin4(35)22(45)227210.2(2011 厦门模拟 )3sin70 2cos210() A.12B.22C2 D.32解析：3sin70 2cos2103cos202cos2103 2cos210 12cos2102.3已知 cos( 6)sin 4 35，则 sin( 76)的值是() A235B.235C45D.45解析： cos( 6)sin 435，32sin 32cos 435 sin( 6)45， sin( 76) sin( 6)45.4设 sin 35(2 )，tan( )12，则 tan( 2) 的值为 _解析： 由 sin 35(2 )，得 cos 45， tan 34. 又 tan( ) 12， tan 12，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页故 tan2 2tan 1tan243，于是 tan( 2) 344313443724.5当 0 x2时，函数f(x)1cos2x 8sin2xsin2x的最小值为 _6已知 、为锐角，向量a (cos ，sin )，b (cos ，sin )，c (12，12)若 a b22， a c314，求角 2 的值解： a b (cos ，sin) (cos，sin)coscos sin sin cos( )22，a c (cos ，sin ) (12，12) 12cos 12sin 314. 又 02，02，2 2. 由得 4，由得 6.由 、 为锐角，得 512. 从而 2 23.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页