2022年第四讲基本不等式 2.pdf
学习必备欢迎下载基本不等式一、基本不等式：定理1：222abRabab若 、，则，当且仅当ab时，222abab等号成立。0001232abRababab注：定理成立的条件，；“”成立的条件是；几何意义是分别以、 边长的正方形的面积不小于以， 为边长的矩形的面积的倍。000022212312412ababRabababRab定理 ：若 、，则，当且仅当时，取 “”注：定理成立的条件是，；等号成立的条件是；几何意义是直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高；圆的半弦长不小于半径长主要应用：证明不等式；求最值或取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载05,2,aba bRa baba b若，则为的算术平均，为的几何平均。二、题组 2：利用基本不等式证明不等式272P1 2直通车例 、所用基本知识：不等式的有关性质、两个基本定理、还有柯西不等式、排序不等式；证明不等式的基本方法：比较法（最基本、最重要的方法） 、综合法、分析法、反证法、放缩法、构造法等。证题的基本思路：认真分析已知条件，理解好关键条件条件，分析好条件与所求证式之间的关系，分析好条件、结论与有关定理的关系， 从而找出适当的证明方法。常用已证过的不等式：2a0 （a R ） ; a0 （a R） ; 222abab及其变形；2222;ababab222() ;22abab22221() ,()4;2abababab2abab（a0，b 0 ）及其变形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下载2(0),2(0).babaabababab222112ababab022221.131()() ;242111112,(1)(1)112(2)1aakk kkk kkkkkkNkkk注：应用基本不等式进行放缩以上且02应用反证法的情形： (1) 直接证明困难 ; (2) 需分成很多类进行讨论（3) 结论为“至少”、 “至多” 、 “有无穷多个”等命题；（4）结论为“唯一”类命题；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载222222221.2.111; 28212521254.4abcabbcacbabbbbb2求证：已知 a,b(0,+)，且 a+b=1，求证：（1）a（ ）；1（3）a+；a1（ ）a+a3.0111114a b ca bb cc a已知, , 求证：,中至少有一个不大于330,0,2,2pqpqpq若且求证：5.0,2111221xxx xxxx已知求证：1146.,abcabbcac已知求证：2227.R2Nnnna b cabcabcnn已知, 且，求证：, 其中， ,在直角坐标系xOy中，点P到两点(03)，(03)，的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载距离之和等于 4，设点P的轨迹为C，直线1ykx与C交于A，B两点 （）写出C的方程； （）若OAOB，求k的值； （）若点A在第一象限，证明：当k0时，恒有|OA|OB| 数列na为等差数列，na为正整数，其前n项和为nS，数列nb为等比数列，且113,1ab，数列nab是公比为 64 的等比数列，2264b S. （1）求,nna b； （2）求证1211134nSSS. 设数列na满足3*110,1,nnaacac nNc其中为实数。 （）证明：0,1na对任意*nN成立的充分必要条件是0,1c；（）设103c，证明：1*1(3 ),nnacnN; （）设103c，证明：222*1221,13naaannNc三、题组 2 利用基本不等式求最值：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载1.定理：和为定值积最大；积为定值和最小。2222333312.2223223baabaabaababababcabcabcabcab cR重要结论：；, 其中， ， ,求最值的基本方法：函数单调性、配方法、判别式法、有界性、导数法等。注；01运用定理时在注意“一定、二正、三相等”；176P 1 2直通车-02解题技巧：等分某一个式子；两边平方后再处理或运用换元法进行转化；179P4直通车加(减) 同一个数或乘 (除) 同一个数；176270P 1 3 P2直通车- ,例，“1”的逆用；176271P2 P4直通车例 ,真题,03解题步骤：先把所求式化为熟悉的基本不等式，然后判断其是否为正数，再判断是否为定值，最后判断等号是否成立；04灵活运用各种方法求最值。176179P3 1P 3直通车- 、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学习必备欢迎下载272275PP直通车、名校联考已知302x, 求函数(32 )yxx的最大值 . 2.R3a bababab若 ,，且满足，则的取值范围是求函数22(3)3xyxx的最小值 .21xyx求函数2232xyx的最小值 . 已知0,0ab,2310ab, 求32ba的最大值；已知0 x，0y，且21xy，则11uxy的最小值；222197.,1,8.,1,12x yRxyxyba bRaab已知 :且求的最小值；已知 :且求的最大值 .已知函fxkxb数的图象与xy、轴分别相交于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学习必备欢迎下载点 A、 B,22ABij(i、 j分别是与xy、轴正半轴同方向的单位向量 ), 函数226g xxx(1) 求 k、b 的值; (2) 当 x 满足 f(x) g(x) 时, 求函数)(1)(xfxg的最小值 . 四、题组 3 基本不等式在实际中的应用解题思路：认真审题，理解好关键字眼，明确各个条件的关系，明白在做一件什么事；根据审题，建立合适的数学模型；求解数学模型；检验所得结果是否满足题意；得出实际问题的解，并作答。某村计划建造一个室内面积为8002m的矩形蔬菜温室。在温室内， 沿左右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？如图，为处理含有某种杂质的污水， 要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a b,的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a b,各为多少米时， 经沉淀后流精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载出的水中该杂质的质量最小（A，B孔的面积忽略不计）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页
