2022年等差数列的性质、求和知识点及训练 .pdf
名师总结优秀知识点等差数列的性质、求和知识点及训练重点：掌握等差数列的通项公式、 求和公式以及等差中项的求法难点: 对等差数列的综合考察一知识梳理1. 定义：daann1（d为常数）（2n） ；2等差数列通项公式：*11(1)()naanddnad nN，首项 :1a，公差 :d ，末项 :na推广：dmnaamn)(从而mnaadmn；3等差中项（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项即：2baA或baA2（ 2 ） 等 差 中 项 ： 数 列na是 等 差 数 列)2(211-naaannn212nnnaaa4等差数列的前n 项和公式：1()2nnn aas1(1)2n nnad211()22dnad n2AnBn（其中 A、B是常数）（当 d0时， Sn是关于 n的二次式且常数项为0）5等差数列的判定方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页名师总结优秀知识点（1）定义法：若daann1或daann 1( 常数Nn)na是等差数列（ 2 ） 等 差 中 项 ： 数 列na是 等 差 数 列)2(211-naaannn212nnnaaa（3）数列na是等差数列bknan（其中bk,是常数）。（4）数列na是等差数列2nSAnBn, （其中 A、B是常数）。6等差数列的证明方法定义法：若daann1或daann 1(常数Nn)na是等差数列7. 提醒 ： （ 1）等差数列的通项公式及前n和公式中， 涉及到 5 个元素：1a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个，便可求出其余 2 个，即知3 求 2。（2）通常把题中条件转化成只含1a和d的等式！8. 等差数列的性质：（1）若公差0d， 则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。（ 2） 当mnpq时 , 则 有qpnmaaaa， 特 别 地 ， 当2mnp时 ， 则 有2mnpaaa. (3) 若na 是等差数列，则232,nnnnnSSSSS，也成等差数列（公差为md ）图示：mmmmmmSSSmmSSmmSmaaaaaaaa323231221321精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页名师总结优秀知识点（4）若等差数列na、nb的前n和分别为nA、nB，且( )nnAf nB，则2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB. （5）若na、nb为等差数列，则nnab为等差数列(6) 求nS的最值法一： 直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，nS取最大值（或最小值） 。若S p= S q则其对称轴为2pqn法二：“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和即当，001da由001nnaa可得nS达到 最大值 时的n值“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。即 当，001da由001nnaa可得nS达到 最小值 时的n值或求na中正负分界项（7）设数列na是等差数列，奇S是奇数项的和，偶S是偶数项的和，nS是前 n 项的和，则：1. 当项数为偶数n2时，奇偶SSdn，其中 n 为总项数的一半，d 为公差；2、在等差数列na中，若共有奇数项12n项，则121111(1)(21)1nnnnnSnaSSSnaSnSnaSSaSn奇奇偶奇偶奇偶偶注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页名师总结优秀知识点基本量法：即运用条件转化为关于1a和( )d q的方程；巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量【类型 1】求等差数列通项【例 1】 .等差数列na中，51210,31aa，求1, ,nd aa. 【变式 1】四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，求这四个数. 【例 2】 等差数列na中，381312aaa，381324a a a，求通项公式na. 【变式 1】等差数列na中，51510,25,aa则25a的值是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页名师总结优秀知识点【变式 2】已知等差数列 中61018aa31a，则13a【变式 3】 等差数列na中，135105aaa，24699aaa， 则20a【变式 4】若等差数列na的前 5 项和525S，且23a，则7a【例 3】 已知数列中，=1，则数列的通项公式为 _ 【变式1】已知数列 中，=2,=3，其前 n项和满足 (n2，nN ) ，则数列 的通项公式为 ( ) A =n B= C= n-l D=n+l 【例 4】在数列na和数列nb中，nS为数列na的前 n 项和，且满足22nSnn，数nana1a1(1)2nnnaannana1a2anS1121nnnSSS*nanana2nnana精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页名师总结优秀知识点列nb的前 n 项和nT满足13nnTnb，且11b（1）求数列na的通项公式（2）求数列nb的通项公式【例 5】数列na中，11551,nnnaaaa，求数列na的通项公式；【类型 2】求等差数列前n 项和【例 1 已知na为等差数列，nS为其前n项和，*nN，若32016,20,aS则10S的值为_ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页名师总结优秀知识点【变式 1】如果是一个等差数列的前n 项和，其中a， b，c 为常数，则c的值为【例2】 （ 10 年全国文6）等差数列na中，34512aaa，那么na的前7 项和7S【变式 1】 已知数列na、nb都是公差为 1 的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511ba，*11,Nba设nbnac（*Nn） ，则数列nc的前 10 项和等于（）A55B70C85D100 【例 3】na通项公式为21nann，则nS_2nSanbnc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页名师总结优秀知识点【变式 1】na通项公式为11nann则nSna通项公式为11nann，若其前n 项和为 10，则项数 n 为【例 4】 等差数列na中，249nan，前 n 项和记为nS，求nS取最小值时n 的值 .【变式 】差数列na中，213nan，则n时nS有最大值；【类型 3】等差数列性质的应用【例 1】 （1）等差数列na中，230,100,mmSS求3mS的值 .（2）等差数列na中，481,4SS，求17181920aaaa的值 . 【例 2】（2009 年辽宁理科14）等差数列na中，na的前 n 项和为nS， 如果369,36SS，则789aaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页名师总结优秀知识点【变式 1】 （2009 年辽宁文）等差数列na中，na的前 n 项和为nS，366,24,SS，则9a【变式 2】已知等差数列na中，12345612,18,aaaaaa则789aaa【变式 3】已知数列na和nb的前 n 项和分别为,nnAB，且7 + 1,42 7nnAnBn求1111ab的值 . 【例 3】 等差数列的前 n 项和记为，若为一个确定的常数，则下列各数中一定是常数的是（）CBCD【变式 1】等差数列中，则（）nanS2610aaa6S11S12S13Sna1912,24,aa9S精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页名师总结优秀知识点C -36 B48 C54D72 【变式 2】等差数列中，已知前15 项的和，则等于（）AB12 CD6 【变式 3】在等差数列中，若则【类型 4】证明数列是等差数列【例 1】 知数列na的前 n 项和为21+2nnnS，求通项公式na并判断是否为等差数列na9015S8a245445na99,S46aa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页名师总结优秀知识点【例 2】在数列中，,设证明是等差数列【例 3】已知数列na的前 n 项和为nS，且满足)2(021nSSannn，211a，求证：数列nS1是等差数列；求数列na的通项公式。【变式 1】数列na中，11551,nnnaaaa，判断1na是否为等差数列. 【例 4】 数列na中，144nnaa，12nnab；1） 求证nb是等差数列；nannnaaa22,111,21nnnabnb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页名师总结优秀知识点2） 求na的通项公式 . 【变式 1】已知数列na满足152a，114122nnnaana（1）设11nnba，求证nb为等差数列；（2）求na通项；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页
