2022年函数与方程导学案 .pdf

学习必备欢迎下载学案 11函数与方程导学目标：1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似值自主梳理1函数零点的定义(1)对于函数yf(x) (xD)， 把使 _成立的实数x 叫做函数y f(x) (xD)的零点(2)方程 f(x)0 有实根 ? 函数 yf(x)的图象与 _有交点 ? 函数 yf(x)有_2函数零点的判定如果函数 yf(x)在区间 a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_，那么函数yf(x)在区间 _内有零点，即存在c(a，b)，使得 _，这个 _也就是 f(x)0的根我们不妨把这一结论称为零点存在性定理3二次函数yax2bxc (a0)的图象与零点的关系 0 0 0)的图象与 x 轴的交点_，_ _ 无交点零点个数_ 4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间a，b，验证 _，给定精确度 ；第二步，求区间(a，b)的中点 c；第三步，计算_：若 _，则 c 就是函数的零点；若 _，则令 bc此时零点x0(a，c)；若 _，则令 ac此时零点x0(c，b)；第四步，判断是否达到精确度 ：即若 |ab|0的零点个数为() A0 B1 C2 D3 2若函数yf(x)在 R 上递增，则函数yf(x)的零点() A至少有一个B至多有一个C有且只有一个D可能有无数个3如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载ABCD4设 f(x)3x3x8，用二分法求方程3x3x80 在 x(1,2)内近似解的过程中得f(1)0，f(1.25)0，则方程的根所在的区间是() A(1,1.25) B(1.25,1.5) C(1.5,2) D不能确定5(2011 福州模拟 )若函数f(x)的零点与g(x)4x2x 2 的零点之差的绝对值不超过0.25，则 f(x)可以是() Af(x)4x1 Bf(x)(x1)2Cf(x)ex1 Df(x)ln(x0.5) 探究点一函数零点的判断例 1判断函数yln x 2x6 的零点个数变式迁移 1(2011 烟台模拟 )若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x2)f(x)， 且当 x0,1时， f(x)x，则函数yf(x)log3|x|的零点个数是() A多于 4 个B4 个C3 个D2 个探究点二用二分法求方程的近似解例 2求方程 2x33x3 0的一个近似解(精确度 0.1)变式迁移 2(2011 淮北模拟 )用二分法研究函数f(x)x3lnx12的零点时， 第一次经计算 f(0)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_以上横线上应填的内容为() A. 0，1221fB(0,1)f12C.12，143fD. 0，1241f探究点三利用函数的零点确定参数例 3已知 a 是实数，函数f(x) 2ax22x3a，如果函数yf(x)在区间 1,1上有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载零点，求a 的取值范围变式迁移 3若函数 f(x)4xa 2xa1 在(， )上存在零点，求实数a 的取值范围1全面认识深刻理解函数零点：(1)从“数” 的角度看：即是使f(x)0 的实数 x；(2)从“形” 的角度看：即是函数f(x)的图象与x 轴交点的横坐标；(3)若函数 f(x)的图象在xx0处与 x 轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；(4)若函数 f(x)的图象在xx0处与 x 轴相交，则零点x0通常称为变号零点2求函数yf(x)的零点的方法：(1)(代数法 )求方程 f(x)0 的实数根 (常用公式法、因式分解法、直接求解法等)；(2)(几何法 )对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点；(3)(二分法 )主要用于求函数零点的近似值，二分法的条件f(a) f(b)0 表明：用二分法求函数的近似零点都是指变号零点3有关函数零点的重要结论：(1)若连续不间断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点；(2)连续不间断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；(3)连续不间断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变(满分： 75 分) 一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分 ) 1(2010 天津 )函数 f(x)2x3x 的零点所在的一个区间是() A(2， 1) B(1,0) C(0,1) D(1,2) 2 (2011 福州质检 )已知函数 f(x)log2x13x， 若实数 x0是方程 f(x)0的解，且 0 x1x0，则 f(x1)的值() A恒为负B等于零C恒为正D不小于零3下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载4函数 f(x) (x2)(x5)1 有两个零点x1、x2，且 x1x2，则() Ax12,2x22，x25 Cx15 D2x15 5(2011 厦门月考 )设函数f(x)4x4，x1x2 4x3， x1，g(x)log2x，则函数h(x)f(x)g(x)的零点个数是() A4 B3 C2 D1 题号12345 答案二、填空题 (每小题 4 分，共 12 分 ) 6定义在 R 上的奇函数f(x)满足：当x0 时， f(x) 2 006x log2 006x，则在 R 上，函数f(x)零点的个数为_7(2011 深圳模拟 )已知函数f(x)x2x，g(x)xln x，h(x)xx1 的零点分别为x1，x2，x3，则 x1，x2，x3的大小关系是_8(2009 山东 )若函数f(x)axxa(a0，且 a1)有两个零点，则实数a 的取值范围是_三、解答题 (共 38 分) 9(12 分)已知函数f(x)x3x2x214. 证明：存在x0(0，12)，使 f(x0)x0. 10 (12 分)已知二次函数f(x)4x22(p2)x 2p2p1 在区间 1,1内至少存在一个实数 c，使 f(c)0，求实数p 的取值范围11(14 分)(2011 杭州调研 )设函数 f(x)ax2bxc，且 f(1)a2，3a2c2b，求证：(1)a0 且 3ba34；(2)函数 f(x)在区间 (0,2)内至少有一个零点；(3)设 x1，x2是函数 f(x)的两个零点，则2|x1x2|574. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载答案自主梳理1(1)f(x)0(2)x 轴零点2.f(a) f(b)0(a，b) f(c) 0c3.(x1,0)(x2,0)(x1,0)两个一个无4.f(a) f(b)0f(c)f(c)0f(a) f(c)0f(c) f(b)0 时，令 2ln x0，解得 xe2，所以已知函数有两个零点 2B3.B4.B5.A 课堂活动区例 1解题导引判断函数零点个数最常用的方法是令f(x)0， 转化为方程根的个数，解出方程有几个根，函数yf(x)就有几个零点，如果方程的根解不出，还有两种方法判断：方法一是基本方法，是利用零点的存在性原理，要注意参考单调性可判定零点的唯一性；方法二是数形结合法，要注意作图技巧解方法一设 f(x) ln x2x6， yln x 和 y2x6 均为增函数， f(x)也是增函数又 f(1)026 40， f(x)在(1,3)上存在零点又f(x)为增函数，函数在(1,3)上存在唯一零点方法二在同一坐标系画出yln x 与 y62x 的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数 yln x 2x6 只有一个零点变式迁移 1B由题意知 f(x)是偶函数并且周期为2.由 f(x)log3|x|0， 得 f(x)log3|x|，令 yf(x)，ylog3|x|，这两个函数都是偶函数，画两函数y 轴右边的图象如图，两函数有两个交点，因此零点个数在x0， x R 的范围内共4 个 例 2解题导引用二分法求函数的零点时，最好是利用表格，将计算过程所得的各个区间、 中点坐标、 区间中点的函数值等置于表格中，可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程，有时也可利用数轴来表示这一过程；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载在确定方程近似解所在的区间时，转化为求方程对应函数的零点所在的区间，找出的区间 a，b长度尽可能小，且满足f(a) f(b)0；求方程的近似解，所要求的精确度不同得到的结果也不同，精确度 ，是指在计算过程中得到某个区间(a， b)后，直到 |ab|时，可停止计算，其结果可以是满足精确度的最后小区间的端点或区间内的任一实数，结果不唯一解设 f(x)2x33x3. 经计算， f(0) 30，所以函数在 (0,1)内存在零点，即方程 2x33x30 在(0,1)内有解取(0,1)的中点 0.5，经计算f(0.5)0，所以方程2x3 3x30 在 (0.5,1)内有解，如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表. (a，b)(a，b) 的中点fab2(0,1)0.5f(0.5)0 (0.5,0.75)0.625f(0.625)0 (0.625,0.75)0.687 5f(0.687 5)0 (0.687 5,0.75)|0.687 5 0.75|0.062 50.1 至此，可以看出方程的根落在区间长度小于0.1 的区间 (0.687 5,0.75)内，可以将区间端点 0.687 5 作为函数f(x)零点的近似值因此0.687 5 是方程 2x33x30 精确度 0.1 的一个近似解变式迁移2D由于f(0)0，而f(x)x3ln x12中的x3及 ln x12在12， 上是增函数，故f(x)在 12， 上也是增函数，故 f(x)在 0，12上存在零点，所以x0 0，12，第二次计算应计算0 和12在数轴上对应的中点x1012214. 例 3解若 a0，f(x)2x3，显然在 1，1上没有零点，所以a0. 令 48a(3a)8a2 24a40，解得 a3 72. 当 a372时， f(x)0 的重根 x372 1,1，当 a372时， f(x)0 的重根 x372?1,1， yf(x)恰有一个零点在1,1上；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载当 f(1) f(1)(a1)(a5)0，即 1a0 8a224a40112a1f 1 0f 1 0，或a0112a1f 1 0f 1 0，解得 a5 或 a1 或 a372. 变式迁移 3解方法一(换元 ) 设 2xt，则函数f(x)4xa 2xa1 化为 g(t)t2ata 1 (t (0， )函数 f(x)4xa 2xa1 在( ， )上存在零点，等价于方程t2at a10，有正实数根(1)当方程有两个正实根时，a 应满足 a24 a1 0t1t2 a0t1 t2a10，解得： 1a22 2；(2)当方程有一正根一负根时，只需t1 t2a10，即 a0g 0 a10，解得 1a222；(2)当函数g(t)在 (0， )上存在一个零点，另一个零点在(，0)时，实数a 应满足g(0)a10，解得 a 1；(3)当函数 g(t)的一个零点是0 时， g(0) a10，a 1，此时可以求得函数g(t)的另精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载一个零点是1. 综上 (1)(2)(3) 知 a22 2. 课后练习区1B因为 f(1)1230，所以 f(x)在区间 (1,0)上存在零点 2A 3 C能用二分法求零点的函数必须在给定区间a， b上连续不断， 并且有 f(a) f(b)0.A 、B 中不存在f(x)1 时，函数f(x)x24x3 与 g(x)log2x 的图象有 1 个交点，可得函数h(x)有 1 个零点，函数 h(x)共有 3 个零点 63 解析函数 f(x)为 R 上的奇函数，因此f(0)0，当 x0 时， f(x)2 006xlog2 006x 在区间(0，12 006)内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0， )内有且仅有一个零点根据对称性可知函数在(，0)内有且仅有一解，从而函数在R 上的零点的个数为3. 7x1x2x3解析令 x2x0，即 2x x，设 y2x，y x；令 xln x 0，即 ln x x，设 yln x， y x. 在同一坐标系内画出y2x，y ln x， y x，如图： x10 x21，所以 x1x21 解析设函数 yax(a0， 且 a1)和函数 yxa， 则函数 f(x)axxa(a0， 且 a1)有两个零点， 就是函数yax(a0， 且 a1)与函数 y xa 有两个交点， 由图象可知当0a1 时，因为函数yax(a1)的图象过点 (0,1)，而直线yx a 所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点， 所以实数a的取值范围是a1. 9 证明令 g(x)f(x)x.(2 分) g(0)14，g(12)f(12)1218， g(0) g(12)0 的否定是：对于区间1,1内的任意一个x 都有 f(x)0.(4分) 此时f 1 0f 1 0，即2p23p902p2p10，解得：p32或 p3.(10 分) 二次函数 f(x)在区间 1,1内至少存在一个实数c，使 f(c)0 的实数 p 的取值范围是3p2c2b， 3a0,2b0，b2c2b， 3a3a2b2b. a0，3ba0 时，a0， f(0)c0 且 f(1)a20， f(1)a20，函数f(x)在区间 (1,2)内至少有一个零点综合得f(x)在(0,2)内至少有一个零点(10分) (3) x1， x2是函数 f(x)的两个零点，则x1，x2是方程 ax2bxc0 的两根 x1x2ba，x1x2ca32ba. |x1x2|x1x224x1x2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载ba24 32baba222.(12 分) 3ba34， 2|x1x2|574.(14 分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页