2022年硕士研究报告生入学考试考研数学一试题及答案解析 .pdf
个人资料整理仅限学习使用2003 年硕士研究生入学考试数学一）试卷及答案解读一、 填空题 本题共 6 小题，每小题4 分，满分24 分. 把答案填在题中横线上）1） = .【分析 】型未定式，化为指数函数或利用公式=进行计算求极限均可. 【详解 1】=, 而，故 原式 =【详解 2】 因为，所以原式=【评注 】 本题属常规题型2） 曲面与平面平行的切平面的方程是. 【分析 】 待求平面的法矢量为，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面切平面的法矢量与平行确定 .【详解 】 令，则，. 设 切 点 坐 标 为， 则 切 平 面 的 法 矢 量 为， 其 与 已 知 平 面平行，因此有，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页个人资料整理仅限学习使用可解得，相应地有故所求的切平面方程为，即. 【评注 】 本题属基本题型。3） 设，则= 1 .【分析】将展开为余弦级数，其系数计算公式为. 【详解 】 根据余弦级数的定义，有 = = =1. 【评注 】 本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算 . 4 ） 从的 基到 基的 过 渡 矩 阵 为 . 【分析 】 n 维向量空间中，从基到基的过渡矩阵P满足=P，因此过渡矩阵P为：P=. 【 详解 】根据定义，从的基到基的过渡矩阵为P=. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页个人资料整理仅限学习使用 =【评注 】 本题属基本题型。 的概率密度为则 . 【 分 析 】已 知 二 维 随 机 变 量 (X,Y的 概 率 密 度f(x,y， 求 满 足 一 定 条 件 的 概 率，一般可转化为二重积分=进行计算 .【详解 】 由题设，有 = y 1 D O 1 x 【评注 】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式的公共部分D，再在其上积分即可. 完全类似例题见文登数学全真模拟试卷数学一P .14 第一大题第 5）小题 .服从正态分布，从中随机地抽取16 个零件，得到长度的平均值为40 (cm，则的置信度为0.95 的置信区间是 .(注：标准正态分布函数值【 分 析 】已 知 方 差， 对 正 态 总 体 的 数 学 期 望进 行 估 计 ， 可 根 据精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页个人资料整理仅限学习使用，由确定临界值，进而确定相应的置信区间. 【 详 解 】由 题 设 ， 可 见于 是 查 标 准 正 态 分 布 表 知本题 n=16, , 因此，根据，有，即，故的置信度为0.95 的置信区间是 . 【评注 】 本题属基本题型. 二、选择题 本题共6 小题，每小题4 分，满分24 分 . 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）在内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B)两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D 三个极小值点和一个极大值点. C y O x 【分析 】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共 4 个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解 】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3 个，而x=0 则是导数不存在的点 . 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0 左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0 为极大值点，故f(x共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C.【评注 】 本题属新题型，类似考题2001 年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知 f(x的图象去推导的图象，本题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过 . 对任意 n 成立 . (B 对任意 n 成立 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页个人资料整理仅限学习使用(C 极限不存在 . (D 极限不存在 . D 【分析 】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A,(B； 而极限是型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限属型，必为无穷大量，即不存在.【 详解 】用举反例法，取，则可立即排除(A,(B,(C ，因此正确选项为(D.【评注 】对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项. 完全类似方法见数学最后冲刺P .179.在点 (0,0的某个邻域内连续，且，则(A 点(0,0不是 f(x,y的极值点 . (B 点(0,0是 f(x,y的极大值点 . (C 点(0,0是 f(x,y的极小值点 . (D 根据所给条件无法判断点(0,0是否为 f(x,y的极值点 . A 【分析 】 由题设，容易推知f(0,0=0，因此点 (0,0是否为f(x,y的极值，关键看在点(0,0的充分小的邻域内f(x,y是恒大于零、恒小于零还是变号. 【详解 】 由知，分子的极限必为零，从而有f(0,0=0, 且充分小时），于是可见当 y=x 且充分小时，；而当 y= -x 且充分小时，. 故点 (0,0不是 f(x,y的极值点，应选(A.【评注 】本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想。 当时，向量组II 必线性相关 . (B 当时，向量组II 必线性相关 . (C 当时，向量组I 必线性相关 . (D 当时，向量组I 必线性相关 . D 【 分 析 】本 题为 一 般教 材 上 均 有 的 比 较 两组向量 个 数 的 定 理 ： 若向量组I：可由向量组II：线性表示，则当时，向量组I 必线性相关 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页个人资料整理仅限学习使用或其逆否命题：若向量组I：可由向量组II：线性表示，且向量组 I 线性无关，则必有. 可见正确选项为(D. 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【 详解 】用排除法：如，则，但线性无关，排除(A；，则可由线性表示，但线性无关，排除(B；，可由线性表示，但线性无关，排除(C. 故正确选项为(D.【评注 】本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项。秩(B； 若秩 (A秩(B，则 Ax=0 的解均是Bx=0的解； 若 Ax=0 与 Bx=0同解，则秩 (A=秩(B； 若秩 (A=秩 (B， 则 Ax=0 与 Bx=0 同解 . 以上命题中正确的是(A . (B .(C . (D . B 【分析 】 本题也可找反例用排除法进行分析，但两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住与 ，迅速排除不正确的选项.【详解 】 若 Ax=0与 Bx=0同解，则n-秩(A=n - 秩(B, 即秩 (A=秩(B，命题成立，可排 除 (A,(C； 但 反 过 来 ， 若 秩 (A=秩 (B，则 不 能 推 出Ax=0 与Bx=0 同 解 ， 如，则秩 (A=秩(B=1，但 Ax=0 与 Bx=0 不同解，可见命题不成立，排除 (D,故正确选项为 (B.【例】 齐次线性方程组Ax=0 与 Bx=0同解的充要条件(A r(A=r(B. (B A,B 为相似矩阵 .(C A, B的行向量组等价. (D A,B的列向量组等价. C 有此例题为基础，相信考生能迅速找到答案. . (B . (C . (D . C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页个人资料整理仅限学习使用【分析 】先由分布的定义知，其中，再将其代入，然后利用F分布的定义即可. 【详解 】 由题设知，其中，于是=，这里，根据F 分布的定义知故应选 (C. 【评注 】 本题综合考查了t 分布、分布和F 分布的概念，要求熟练掌握此三类常用统计量分布的定义. 三 、本题满分10 分）过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及 x 轴围成平面图形D. (1) 求 D 的面积 A。(2) 求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积V. 【分析 】 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A。 旋转体体积可用一大立体 设切点的横坐标为，则曲线y=lnx 在点处的切线方程是由该切线过原点知，从而所以该切线的方程为平面图形 D 的面积2） 切线与 x 轴及直线x=e 所围成的三角形绕直线x=e 旋转所得的圆锥体积为曲线 y=lnx 与 x 轴及直线x=e 所围成的图形绕直线x=e 旋转所得的旋转体体积为，因此所求旋转体的体积为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页个人资料整理仅限学习使用 y 1 D O 1 e x 【评注 】 本题不是求绕坐标轴旋转的体积，因此不能直接套用现有公式. 也可考虑用微元法分析 . 四 、=, 所以 =因为级数收敛，函数f(x在处连续，所以令，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页个人资料整理仅限学习使用, 再由，得五 、 。(2 【分析 】 本题边界曲线为折线段，可将曲线积分直接化为定积分证明，或曲线为封闭正向曲线，自然可想到用格林公式；(2的证明应注意用(1的结果 .【详解 】 方法一 ：(1 左边 = =，右边 = =，所以. (2 由于，故由 1）得方法二： 由(1知 = = 利用轮换对称性） =【评注 】 本题方法一与方法二中的定积分与二重积分是很难直接计算出来的，因此期望通过计算出结果去证明恒等式与不等式是困难的. 另外，一个题由两部分构成时，求证第二部分时应首先想到利用第一部分的结果，事实上，第一部分往往是起桥梁作用的.六 、本题满分10 分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功 . 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0r. 问(1 汽锤击打桩3 次后，可将桩打进地下多深？(2 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ 设第n 次击打后，桩被打进地下，第 n 次击打时，汽锤所作的功为. 由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为，所以，由可得即由可得，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页个人资料整理仅限学习使用从而，即汽锤击打3 次后，可将桩打进地下. 2） 由归纳法，设，则 =由于，故得, 从而于是，即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下 m. 【评注 】 本题巧妙地将变力作功与数列极限两个知识点综合起来了，有一定难度。但用定积分求变力做功并不是什么新问题，何况本题的变力十分简单。七 、在内具有二阶导数，且是 y=y(x的反函数 . (1 试将 x=x(y所满足的微分方程变换为 y=y(x满足的微分方程；(2 求变换后的微分方程满足初始条件的解 . 【分析 】 将转化为比较简单，=，关键是应注意：= =. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页个人资料整理仅限学习使用然后再代入原方程化简即可. 【详解 】 (1 由反函数的求导公式知，于是有=. 代入原微分方程得 ( * (2 方程 ( * 所对应的齐次方程的通解为设方程 ( * 的特解为，代入方程 ( * ，求得，故，从而的通解是由，得. 故所求初值问题的解为【评注 】 本题的核心是第一步方程变换。八 、连续且恒大于零，其中，(1 讨论 F(t在区间内的单调性 . (2 证明当 t0 时，【分析 】 (1 先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重积分，再根据导函数的符号确定单调性；(2 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可.【详解 】 (1 因为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页个人资料整理仅限学习使用，所以在上，故 F(t 在内单调增加 . 0 时，只需证明t0 时，即令，则，故 g(t在内单调增加 . 因为 g(t在 t=0 处连续，所以当t0 时，有 g(tg(0. 又 g(0=0, 故当 t0 时， g(t0, 因此，当t0 时，【评注 】 本题将定积分、二重积分和三重积分等多个知识点结合起来了，但难点是证明为，g(x为即可 . 九 、本题满分10 分）设矩阵，求B+2E 的特征值与特征向量，其中为 A 的伴随矩阵，E为 3 阶单位矩阵 . 【分析 】 可先求出，进而确定及 B+2E ，再按通常方法确定其特精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页个人资料整理仅限学习使用征值和特征向量；或先求出A 的特征值与特征向量，再相应地确定A*的特征值与特征向量，最终根据B+2E与 A*+2E 相似求出其特征值与特征向量.【详解 】 方法一：经计算可得，=. 从而，故 B+2E的特征值为当时，解，得线性无关的特征向量为所以属于特征值的所有特征向量为，其中是不全为零的任意常数. 当时，解，得线性无关的特征向量为，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页个人资料整理仅限学习使用所以属于特征值的所有特征向量为，其中为任意常数 . 方法二：设A 的特征值为，对应特征向量为，即. 由于，所以又因，故有于是有，因此，为 B+2E的特征值，对应的特征向量为由于，故 A 的特征值为当时，对应的线性无关特征向量可取为，当时，对应的一个特征向量为由，得，. 因此， B+2E的三个特征值分别为9，9，3. 对应于特征值9 的全部特征向量为，其中是不全为零的任意常数；对应于特征值3 的全部特征向量为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页个人资料整理仅限学习使用，其中是不为零的任意常数. 【评注 】 设，若是 A 的特征值，对应特征向量为，则 B 与 A 有相同的特征值，但对应特征向量不同，B对应特征值的特征向量为本题计算量大，但方法思路都是常规和熟悉的，主要是考查考生的计算能力。不过利用相似矩阵有相同的特征值以及A 与 A*的特征值之间的关系讨论，可适当降低计算量.十 、 有唯一解，故系数矩阵与增广矩阵的秩均为2，于是由于 =, 但根据题设，故精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页个人资料整理仅限学习使用充分性：由，则从必要性的证明可知，故秩由于 =，故秩 (A=2. 于是，秩(A=秩=2. 因此方程组 (*有唯一解，即三直线交于一点 .方法二 ：必要性设三直线交于一点，则为 Ax=0 的非零解，其中于是. 而 =, 但根据题设，故充分性：考虑线性方程组 ( * 将方程组 (*的三个方程相加，并由a+b+c=0 可知，方程组 (*等价于方程组(* * 因为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页个人资料整理仅限学习使用 =-, 故方程组 (* * 有唯一解，所以方程组(*有唯一解，即三直线交于一点 .【评注 】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点.十一 、 乙箱中次品件数的数学期望；(2 从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 【分析 】 乙箱中可能的次品件数为0，1，2， 3，分别求出其概率，再按定义求数学期望即可；而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率，涉及到两次实验，是典型的用全概率公式的情形，第一次实验的各种可能结果 X 的可能取值为0，1，2，3，X 的概率分布为， k=0,1,2,3. 即 X 0 1 2 3 P 因此(2 设A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于，构成完备事件组，因此根据全概率公式，有 = =【评注 】本题对数学期望的计算也可用分解法：设则的概率分布为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页个人资料整理仅限学习使用 0 1P因为，所以十二 、。(2) 求统计量的分布函数；(3) 如果用作为的估计量，讨论它是否具有无偏性. 【分析 】 求分布函数F(x是基本题型；求统计量的分布函数，可作为多维相互独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，只需检验是否成立 .【详解 】(1 (2 = = = =精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页个人资料整理仅限学习使用(3 概率密度为因为 =，所以作为的估计量不具有无偏性. 【评注 】本题表面上是一数理统计问题，实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点. 将数理统计的概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页
