2022年函数定义域与值域经典类型总结-练习题-含答案 .pdf

精品资料欢迎下载求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1.函数的定义： 设集合 A 和 B 是非空数集， 按照某一确定的对应关系f，使得集合 A 中任意一个数x,在集合 B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称 f:为 A 到 B 的一个函数。2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是确定的对应关系（f ）,集合 A的取值范围。 由这两个条件就决定了f(x) 的取值范围y|y=f(x),xA。3. 定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。（2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用 “列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法” 或“区间”来表示。4. 值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。（1） 明白值域是在定义域A内求出函数值构成的集合：y|y=f(x),xA。（2）明白定义中集合B是包括值域，但是值域不一定为集合B。二、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1 已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。（1）常见情况简总：表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。表达式中出现指数时：当指数为 0 时，底数一定不能为0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页精品资料欢迎下载根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0. 表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x，必须满足指数底数大于 0 且不等于1. （0底数 1）表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真 数 上 时 ， 要 同 时 满 足 真 数 大 于0， 底 数 要 大 于0且 不 等 于1.（2( )log (1)xf xx）注： （1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集 。（2）求定义域时， 尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。 ( 形如：2()xfxx) 练习1、求下列函数的定义域：221533xxyx1、 （ 1）|536x xxx或或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页精品资料欢迎下载211()1xyx（2）|0 x x021(21)4111yxxx（3）1| 220,12xxxxx且2. 抽象函数（没有解析式的函数）解题的方法精髓是“换元法”，根据换元的思想，我们进行将括号为整体的换元思路解题，所以关键在于求括号整体的取值范围。总结为：（1）给出了定义域就是给出了所给式子中x 的取值范围；（2）在同一个题中x 不是同一个x；（3）只要对应关系f 不变，括号的取值范围不变。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页精品资料欢迎下载（4）求抽象函数的定义域个关键在于求f(x) 的取值范围，及括号的取值范围。例 1：已知 f(x+1)的定义域为 -1,1，求 f （2x-1 ）的定义域。解： f(x+1) 的定义域为 -1,1； （及其中x 的取值范围是-1,1）012x；（x+1 的取值范围就是括号的取值范围）f(x) 的定义域为 0,2； （f 不变，括号的取值范围不变）f(2x-1)中0212x1322xf(2x-1)的定义域为13|22xx练习2、设函数( )f x的定义域为0 1， 则函数2()fx的定义域为 _、 1,1；_；函数(2)fx的定义域为 _4,9_；3、若函数(1)f x的定义域为2 3，则函数(21)fx的定义域是50,;2；函数1(2)fx的定义域为11(,)32。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页精品资料欢迎下载3. 复合函数定义域复合函数形如：( ( )yfg x, 理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成的函数，或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。例 2：( )( 2,3),( )(1)(2),f xg xf xf x若函数的定义域为求g(x) 的定义域。分析：由题目可以看出g(x) 是由 y=x+1、 y=x-2 和 y=f(x)三个函数复合起来的新函数。此时做加运算，所以只要求出f(x+1)和 f(x-2)的定义域，再根据求函数定义域要所有式子同时满足，即只要求出f(x+1)和 f(x-2)的定义域的交集即可。解： 由 f(x)的定义域为（ -2,3 ） ，则 f(x+1)的定义域为（-3,2 ） ，f(x-2)的定义域为（0,4 ） ；3204xx，解得 0 x2 所以， g(x) 的定义域为（0,2 ）. （一）求函数值域方法和情形总结1. 直接观察法（利用函数图象）一般用于给出图象或是常见的函数的情形，根据图象来看出y 值的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页精品资料欢迎下载练习（1）223yxx1,2x求值域。0,5y2. 配方法适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数，此时注意对称轴的位置，在定义域范围内（以a0 为例） ，此时对称轴的地方为最大值，定义域为内端点离对称轴最远的端点处有最小值；对称轴在定义域的两边则根据单调性来求值域。总结为三个要点：（1）含参数的二次型函数，首先判断是否为二次型， 即讨论 a； （2）a不为 0 时，讨论开口方向；（3）注意区间，即讨论对称轴。例 1：求2( )46f xxx在1,5上的值域 .解：配方：2( )(2)2f xx f(x)的对称轴为x=2 在 1,5 中间min(2)2yf（端点 5 离 x=2 距离较远，此时为最大值）max(5)11yf所以， f(x) 的值域为 2,11. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页精品资料欢迎下载练习（2）223yxx()xR求值域。|4yy3. 分式型（1）分离常量法：应用于分式型的函数，并且是自变量x 的次数为1，或是可以看作整体为1 的函数。 具体操作： 先将分母搬到分子的位子上去，观察与原分子的区别，不够什么就给什么，化为dyabxc。例 2：51( )42xfxx求的值域 .解：510(42) 1515744( )424242(42)xxf xxxx由于分母不可能为0，则意思就是函数值不可能取到54，即：函数f(x) 的值域为5|4yy. 练习精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页精品资料欢迎下载311xyx求值域（3）|3y y（2）利用20 x来求函数值域：适用于函数表达式为分式形式，并且只出现2x形式，此时由于为平方形式大多时候x 可以取到任意实数，显然用分离常量法是行不通，只有另想它法（有界变量法）。例 3：求函数2231( )2xf xx的值域 . 解： 由于22x不等于 0，可将原式化为22231yxyx即2(3)12yxy（由于20 x）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页精品资料欢迎下载只需3y, 则有21203yxy(3)y( 12 )0y所以，函数值域1,32y. 练习（4）225941xxyx求值域1|52y yy且（3） 方程根的判别式法：适用于分式形式， 其中既出现变量x 又出现2x混合，此时不能化为分离常量，也不能利用上述方法。对于其中定义域为R精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页精品资料欢迎下载的情形，可以使用根的判别式法。例 4：求函数221xyx的值域解：由于函数的定义域为R，即210 x原式可化为220yxxy（由于 x 可以取到任意的实数，那么也就说总有一个x 会使得上述方程有实数根，即方程有根那么判别式大于或等于0，注：这里只考虑有无根，并不考虑根为多少）所以，2440y所以，函数值域为1,1y练习：求值域（5）211yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页精品资料欢迎下载4. 换元法通过换元将一个复杂的问题简单化更便于求函数值域，一般函数特征是函数解析式中含有根号形式，以及可将问题转换为我们熟悉的函数形式等问题。而换元法其主要是让我们明白一种动态的方法来学习的一种思路，注重换元思维的培养，并不是专一的去解答某类问题，应该多加平时练习。注：换元的时候应及时确定换元后的元的取值范围。例 5：求函数( )21f xxx的值域解：令21,0,1txtxt则，带入原函数解析式中得2221152(1)222()48yttttt因为，0t所以，函数的值域为15,8y. 练习：求值域（6）12yxx1|2y y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页精品资料欢迎下载一选择题（共10 小题）1 （ 2007?河东区一模）若函数f（x）=的定义域为A，函数g （x） =的定义域为B， 则使 A B= ?的实数 a的取值范围是 （）A（ 1，3）B 1，3C（2，4）D2， 4 2若函数 f（x）的定义域是 1，1，则函数 f（ x+1）的定义域是（）A1， 1B0，2C2，0D0，13 （ 2010?重庆）函数的值域是（）A0，+）B0，4C0，4）D（0，4）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页精品资料欢迎下载4 （ 2009?河东区二模）函数的值域是（）A（0，+）BC（0， 2）D（0，）5已知函数y=x2+4x+5，x 3，3）时的值域为（）A（2，26）B1，26）C（1， 26）D（1，266函数 y=在区间 3，4上的值域是（）A1，2B3，4C2，3D1，67函数 f（x）=2+3x2x3在区间 2，2上的值域为（）A2，22B6，22C0，20D6，248函数的值域是（）A y|y R 且 y 1 B y|4 y1 Cy|y 4 且y 1 DR9函数 y=x22x（ 1x2）的值域是（）A0，3B1，3C1，0D1， 3）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页精品资料欢迎下载10函数的值域为（）A2，+）BCD（0，2二填空题11 （2013?安徽）函数y=ln（1+）+的定义域为_12 （2012?四川）函数的定义域是_ （用区间表示）13求定义域：14函数 y=x2+2x1，x 3， 2的值域是_15函数 y=10的值域是_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页