2022年初中函数知识点总复习 .pdf

学习必备欢迎下载初中函数知识点总复习（一）平面直角坐标系知识点归纳1、 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系；2、 坐标平面上的任意一点P 的坐标，都和惟一的一对有序实数对 （ba,）一一对应；其中，a为横坐标，b为纵坐标坐标；3、x轴上的点，纵坐标等于0；y轴上的点，横坐标等于0；坐标轴上的点 不属于 任何象限；4、 四个象限的点的坐标具有如下特征：小结： （1）点 P（yx,）所在的象限横、纵坐标x、y的取值的正负性；（2）点 P（yx,）所在的数轴横、纵坐标x、y中必有一数为零；5、 在平面直角坐标系中，已知点P),(ba，则（1）点 P到x轴的距离为b； （2）点 P 到y轴的距离为a；（3）点 P到原点 O 的距离为 PO22ba6、 平行直线上的点的坐标特征：a)在与x轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等；点 A、B 的纵坐标都等于m；b)在与y轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；点 C、D 的横坐标都等于n；象限横坐标x纵坐标y第一象限正正第二象限负正第三象限负负第四象限正负P（ba,）abxyO-3 -2 -1 0 1 a b 1 -1 -2 -3 P(a,b) Y x X Y A B mX Y C D nab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页学习必备欢迎下载7、 对称点的坐标特征：a)点 P),(nm关于x轴的对称点为),(1nmP， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数；b)点 P),(nm关于y轴的对称点为),(2nmP， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数；c)点 P),(nm关于原点的对称点为),(3nmP，即横、纵坐标都互为相反数；关于 x 轴对称关于 y 轴对称关于原点对称8、 两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：a)若点 P（nm,）在第一、三象限的角平分线上，则nm，即横、纵坐标相等；b)若点 P（nm,）在第二、四象限的角平分线上，则nm，即横、纵坐标互为相反数；在第一、三象限的角平分线上在第二、四象限的角平分线上（二）一次函数知识点归纳【基本要点】1、变量： 在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量： 在一个变化过程中只能取同一数值的量。2、函数： 一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量， y 是 x 的函数。注：这是课本对于函数的定义，在理解与实际运用中我们要注意以下几点：1、函数只能描述两个变量之间的关系，多一个少一个变量都是不对的；如：y=xz 中有三个变量，就不是函数；y=0 中只有一个变量，也不是函数；而y=0（x0）却是函数，因为括号中标明了自变量的取值范围；2、当自变量去每一个确定的值时因变量只能取唯一确定的值相对应，反之，当因变量取每一个确定的值时自变量可以去若干个值相对应；因为这两个变量有先变与后变的问题，让后变的先取一个值，先变的就不一定只取一个值；3、我们只能说函数值是自变量的函数，或用自变量来表示函数值，如：a 是 b 的函数就说明a 是函数值， b 是自变量；用y 表示 x 就说明 y 是自变量， x 是函数值；任何函数都要标明谁是谁的函数，不能随便说一个解析式是不是函数，如：Y=x2，只能说 y 是 x 的函数，就不能说x 是 y 的函数；4、函数解析式的表示：只有函数值写在等号左边，含有自变量的式子写在等号右边；注意不能写成2y=3x-3 或 y2=3x-3 的形式；5、任何函数都包含自变量的取值范围，如果没指明说明自变量的取值范围是任意实数。自变量的取值范围从以下几个方面把握：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。3、函数的图像X y P 1PnnmO X y P 2PmmnO X y P 3PmmnO nX y P mnO y P mnO X 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页学习必备欢迎下载一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象4、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。5、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。6、函数的表示方法列表法 ：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。解析式法 ：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。图象法 ：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。7、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k 是常数， k0) 的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数 . 注：正比例函数一般形式y=kx (k 不为零 ) k 不为零 x 指数为 1 b 取零当 k0 时，直线 y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大 y 也增大；当k0 时，图像经过一、三象限；k0，y 随 x 的增大而增大；k0 时，向上平移；当b0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b0，y 随 x 的增大而增大；k0 时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当 b0 时，向上平移；当b0 或 ax+b0 a0 y 0 x y 0 x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页学习必备欢迎下载性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442） ；（3）在对称轴的左侧，即当xab2时， y 随 x 的增大而增大， 简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=ab2时， y 有最小值，abacy442最小值（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442） ；（3）在对称轴的左侧，即当xab2时， y 随 x 的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=ab2时， y 有最大值，abacy442最大值2、二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数，中，cb、a的含义：a表示开口方向：a0时，抛物线开口向上， ， ，a0 时，图像与x 轴有两个交点；当=0 时，图像与x 轴有一个交点；当0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或左 (h0) 【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0)】平移 |k|个单位y=a(x-h)2+ky=a (x-h)2y=ax2+ky=ax2a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0h，X=h xh 时，y随x的增大而增大；xh 时，y随x的增大而减小；xh 时，y有最小值 00a向下0h，X=h xh 时，y随x的增大而减小；xh 时，y随x的增大而增大；xh 时，y有最大值 0a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上hk，X=h xh 时，y随x的增大而增大；xh 时，y随x的增大而减小；xh 时，y有最小值 k 0a向下hk，X=h xh 时，y随x的增大而减小；xh 时，y随x的增大而增大；xh 时，y有最大值 k 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页学习必备欢迎下载请将2245yxx利用配方的形式配成顶点式。请将2yaxbxc 配成2ya xhk。总结：从解析式上看，2ya xhk 与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbya xaa，其中2424bacbhkaa，四、二次函数2yaxbxc图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc 化为顶点式2()ya xhk，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点10 x ，20 x ，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点 . 五、二次函数2yaxbxc的性质1. 当0a时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y有最小值244acba2. 当0a时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y有最大值244acba六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2yaxbxc （a， b ，c为常数 ，0a） ；2. 顶点式：2()ya xhk （a， h ， k 为常数 ，0a） ；3. 两根式：12()()ya xxxx（0a，1x ，2x 是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页学习必备欢迎下载有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，显然0a 当0a时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当0a时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小2. 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 在0a的前提下，当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧； ab 同号同左上加当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的右侧 a,b 异号异右下减 在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴右侧； a,b 异号异右下减当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的左侧 ab 同号同左上加总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置总结：同左上加异右下减3. 常数项c 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0 ； 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置总之，只要abc， ， 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式精选学习资料 - 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