2022年初中平面几何一题多变 .pdf

平面几何一题多变在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。“一题多变”的常用方法有：1、变换命题的条件与结论；2、保留条件，深化结论；3、减弱条件，加强结论；4、探讨命题的推广；5、考查命题的特例；6、生根伸枝，图形变换；7、接力赛，一变再变；8、解法的多变等。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 34 页19、 （增加题1 的条件） AE 平分 BAC 交 BC 于 E，求证： CE：EB=CD ：CB 20、 （增加题1 的条件） CE 平分 BCD ，AF 平分 BAC 交 BC 于 F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 34 页求证： （1）BF CE= BE DF （2）AECF （3）设 AE 与 CD 交于 Q，则 FQBC 21、已知， ABC 中， ACB=90 度， CD AB，D 为垂足，以CD 为直径的圆交AC 、BC于 E、F，求证：CE：BC=CF ：AC（注意本题和16 题有无联系）22、已知， ABC 中， ACB=90 度， CDAB ，D 为垂足，以AD 为直径的圆交AC 于 E，以 BD 为直径的圆交BC 于 F，求证：EF 是 O1 和 O2 的一条外公切线23、已知， ABC 中， ACB=90 度， CDAB， D 为垂足，作以AC 为直径的圆O1，和以 CD 为弦的圆 O2，求证：点 A 到圆 O2 的切线长和AC 相等（ AT=AC ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 34 页24、已知， ABC 中， ACB=90 度， CDAB，D 为垂足，E 为 ACD 的中点，连ED 并延长交CB 的延长线于F，求证： DF：CF=BC ：AC 25、如图， O1 与 O2 外切与点D， 内公切线 DO 交外公切线EF 于点 O，求证： OD 是两圆半径的比例中项。题 14 解答：因为 CD2=AD DB AC2=AD AB BC2=BD AB 所以 1/AC2+1/BC2 =1/（AD AB ）+1/（BD AB ）=（AD+DB ）/（AD BD AB ）=AB/ADBD AB 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 34 页=1/AD BD =1/CD2 15 题解答：因为 M 为 AB 的中点，所以AM=MB ，AD-DB=AM+DM-(MB-DM)=2DM AC2-BC2=AD*AB-DB*AB =(AD-DB)AB =2DM*AB 26、 （在 19 题基础上增加一条平行线）已知， ABC 中， ACB=90 度，CDAB ，D 为垂足， AE 平分 BAC 交 BC 于 E、交 CD于 F， FGAB 交 BC 于点 G，求证： CE=BG 27、 （在 19 题基础上增加一条平行线）已知， ABC 中， ACB=90 度，CDAB ，D 为垂足， AE 平分 BAC 交 BC 于 E、交 CD于 F， FGBC 交 AB 于点 G，连结 EG，求证：四边形CEGF 是菱形28、 （对 19 题增加一个结论）已知， ABC 中， ACB=90 度，CDAB ，D 为垂足， AE 平分 BAC 交 BC 于 E、交 CD于 F，求证： CE=CF 29、 （在 23 题中去掉一个圆）已知，ABC 中， ACB=90 度，CDAB ，D 为垂足，作以AC 为直径的圆O1，求证：过点D 的圆 O1 的切线平分BC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 34 页30、 （在 19 题中增加一个圆）已知， ABC 中， ACB=90 度，CDAB ，D 为垂足， AE 平分 BAC 交 BC 于 E，交 CD于 F，求证： CED 平分线段AF 31、（在题1 中增加一个条件）已知， ABC 中， ACB=90 度， CDAB ，D 为垂足， A=30 度，求证： BD=AB/4 （沪科版八年级数学第117 页第 3 题）32、 （在 18 题基础上增加一条直线）已知， ABC 中， ACB=90 度， CDAB ，D 为垂足，作BCE=BCD P为 AC 上任意一点，直线PQ 交 CD 于 Q，交 CB 于 M，交 CE 于 N 求证： PQ/PN=QM/MN 32 题证明：作 NSCD 交直线 AC 与点 S，则 PQ/PN=CQ/SN 又 BCE=BCD QM/MN=CQ/CN （三角形内角平分线性质定理）BCE+ NCS=BCD +ACD NSCD， NSC=ACD NSC=NCS 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 34 页SN=CN PQ/PN=QM/MN 题 33 在“ 题一中 ” ，延长 CB 到 E，使 EB=CB ，连结 AE、DE ，求证： DE AB= AE BE 题 33 证明CB2= BD AB 因 EB=CB EB2= BD AB EB：BD=AB ：BE 又 EBD= ABE EBD ABE EB：AB=DE ：AE DE AB= AE BE 题 34 （在 19 题基础上增加一条垂线）已知， ABC 中， ACB=90 度， CDAB ，D 为垂足，AE 平分 CD 于 F，EGAB 交 AB 于点 G，求证： EG2= BE EC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 34 页证明：延长 AC 、GE，设交点为H， EBG EHC EB：EH=EG：EC EH EG= BE EC 又 HGCD，CF=FD EH=EG EG2= BE EC 题 35（在题 19 中增加点F）已知， ABC 中， ACB=90 度， CDAB ，D 为垂足，AE 平分 BCA 交 BC 于点 E，交 CD 于 F，求证： 2CF FD = AF EF 题 36、 （在题 16 中，减弱条件，删除ACB=90 度这个条件）已知， ABC 中， CDAB ，D 为垂足， DEAC 于 E，DFBC 于 F，求证： CE/BC=CF/AC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 34 页题 37 （在题 17 中， 删除 ACB=90 度和 CDAB，D 为垂足这两个条件，增加 D 是 AB 上一点，满足 ACD= ABC ）已知， ABC 中， D 是 AB 上一点，满足ACD= ABC ，又 CE 平分 BCD 求证： AE2= AD AB 题 38 已知， ABC 中， ACB=90 度， CDAB ，D 为垂足， PC 为 ABC 的切线求证： PA/AD=PB/BD 题 39 （在题 19 中点 E“ 该为 E 为 BC 上任意一点 ” ）已知， ABC 中， ACB=90 度， CDAB ，D 为垂足，E 为 BC 上任意一点，连结AE，CFAE ，F 为垂足，连结DF，求证： ADF AEB 题 40：已知， ABC 中， ACB=90 度， CDAB ，D 为垂足求证： SADC ：SBDC=AD ：DB 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 34 页题 41 已知，如图，ABC 中，CD AB，D 为垂足，且AD/CD=CD/BD ，求 ACB 的度数。题 42 已知， CD 是 ABC 的 AB 边上的高，D 为垂足，且AD/CD=CD/BD ，则 ACB 一定是 90 度吗？为什么？题 43：已知， ABC 中， ACB=90 度， CDAB ，D 为垂足， ADC 的内切圆 O1，BDC 的内切圆 O2，求证： SO1：SO2=AD ：DB 题 44：已知， ABC 中， ACB=90 度， CDAB ，D 为垂足， ADC 的内切圆 O1 的半径 R1，BDC 的内切圆 O2 的半径 R2， ABC 的内切圆 O 的半径 R，求证： R1+R2+R=CD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 34 页题 45、已知， ABC 中， ACB=90 度， CDAB ，D 为垂足，作以AC 为直径的圆O1，和以 BD为直径的圆O2，设 O1 和 O2 在 ABC 内交于 P 求证：PAD 的面积和 PBC 的面积相等题 45 解：CAP= CDP=DBP（圆周角、弦切角）RtAPCRtBPD AP PD= BP PC 又 APD 和 CPB 互补（ APC+ BPD=180 度）S PAD=1/2 AP PD sinAPD S PBD=1/2 BP PC sinCPB S PAD= S PBD 题 46（在题 38 的基础上变一下）已知， ABC 中， ACB=90 度， CDAB ，D 为垂足， PC 为 ABC 的切线，又CE 平分ACB 交 ABC 与 E，交 AB 与 D ，若 PA=5，PC=10，求 CD CE 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 34 页题 47 在题 46 中，求 sin PCA 题 48（由题 19 而变）已知， ABC 中， ACB=90 度， CDAB ，D 为垂足，AE 平分 ACB 交 BC 于 E，EGAB 交 AB 于点 G，求证： （1）AC=AG （2） 、AG2= AD AB （3） 、G 在 DCB 的平分线上（4） 、FGBC （5） 、四边形 CEFG 是菱形题 49 题 49 解答：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 34 页题目 50（题 33 再变）已知， ABC 中， ACB=90 度， CD AB，D 为垂足，延长CB 到 E，使 EB=CB ，连结AE 交 CD 的延长线于F，如果此时AC=EC ，求证：AF= 2FE 题 50 解：过点 E 作 EMCF，M 为垂足，则AD：DB=AC2 ：CB2=4 ：1 又 DB ：EM=1：2 所以， AD ：EM=2 ：1 ADF EMF AF：EF=AD ：EM=2 ：1 AF=2EF 题目 51（题 50 中连一线）已知， ABC 中， ACB=90 度， CD AB，D 为垂足，延长CB 到 E，使 EB=CB ，连结AE 交 CD 的延长线于F，连结 FB，如果此时AC=EC ，求证：ABC= EBF 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 34 页（题 51 的几种解法）解法 1、作 ACB 的平分线交AB 于点 G，易证 ACG CEF CG=EF 证 CBG EBF ABC= EBF 题 51 解法 2 作 ACB 的平分线交AB 于点 G，交 AE 于点 P，则点 G 为 ACE 的垂心， GFCE 又 AEC= GCE，四边形 CGFE 为等腰梯形CG=EF 再证 CBG EBF ABC= EBF 题 51 解法 3 作 ACB 的平分线交AB 于点 G，交 AE 于点 P，则点 G 为 ACE 的垂心，易证 APG CPF（AAS ）PG=PF 又 GPB=FPB，PB=PB PBG FBP（SAS） PBG=FBP ABC= EBF 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 34 页题 51 解法 4（原题图）由题 50 得， AF=2EF AF：EF=AC ：BE=2 又 CAF=BEF=45 度 ACF EBF ACF=EBF 又 ACF=CBA ABC= EBF 题 51 解法 5 作 ME CE 交 CD 的延长线于M，证 ABC CME（ASA ） ABC= M 再证 MEF BEF（SAS） EBM= M ABC= EBF 题 51 解法 6 作点 B 关于点 C 的对称点 N，连结 AN，则 NB=2BE ，又由题 50，AF=2EF ，BFAN EBM= N 又 ABC= N（对称点）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 34 页 ABC= EBF 题 51 解法 7 过点 C 作 CHBF 交 AB 于 M，B 为 CE 的中点， F 为 HE 的中点又由题 50，AF=2EF ，H 为 AF 的中点又 CHBF M 为 AB 的中点 MCB= MBC 又 EBM= MCB ABC= EBF 题目 52（题 50、51 结论的引伸）已知， ABE 中， AC=EC ， ACE=90 度，CDAB 交斜边 AB 于 F，D 为垂足，B 为 CE 的中点，连结FB，求证：（1）、 AF=2EF （2）、 ABC= EBF （3）、 EBF= E+BAE （4）、 ABF=2 DAC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 34 页（5）、 AB ：BF=AE ：EF （6）、 CD：DF=AE ：AF （7）、 AD ：DB=2AF ： EF （8）、 CD/DF FA/AE EB/BC=1 题目 53 （题 52 的一部分）已知如图，、 AC=CE 、 ACCE 、 CB=BE 、 CFAB 求证：、 AF=2EF 、 ABC= EBF （题 53 的 14 个逆命题中，是真命题的请给出证明）题目 54（题 53 的逆命题1）已知如图，、 AF=2EF 、 ACCE 、 CB=BE 、 CFAB 求证：、 AC=CE 、 ABC= EBF 平面几何一题多变题目 55（题 53 的逆命题2）已知如图，、 AC=CE 、 AF=2EF 、 CB=BE 、 CFAB 求证：、 ACCE 、 ABC= EBF 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 34 页题目 56（题 53 的逆命题3）已知如图，、 AC=CE 、 ACCE 、 AF=2EF 、 CFAB 求证：、 CB=BE 、 ABC= EBF 题目 57（题 53 的逆命题4）已知如图，、 AC=CE 、 ACCE 、 AF=2EF 、 CB=BE 求证：、 CFAB 、 ABC= EBF 题目 58（题 53 的逆命题5）已知如图，、 CB=BE 、 ABC= EBF 、 ACCE 、 CFAB 求证：、 AF=2EF 、 AC=CE 题目 59（题 53 的逆命题6）已知如图，、 AC=CE 、 CFAB 、 CB=BE 、 ABC= EBF 求证：、 AF=2EF 、 ACCE 题目 60（题 53 的逆命题7）已知如图，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 34 页、 AC=CE 、 ACCE 、 ABC= EBF 、 CFAB 求证：、 AF=2EF 、 CB=BE 题目 61（题 53 的逆命题8）已知如图，、 AC=CE 、 ACCE 、 CB=BE 、 ABC= EBF 求证：、 AF=2EF 、 CFAB 题目 62（题 53 的逆命题9）已知如图，、 AF=2EF 、 CFAB 、 CB=BE 、 ABC= EBF 求证：、 AC=CE 、 ACCE 题目 63（题 53 的逆命题10）已知如图，、 ACCE 、 AF=2EF 、 CFAB 、 ABC= EBF 求证：、 AC=CE 、 CB=BE 题目 64（题 53 的逆命题11）已知如图，、 CB=BE 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 34 页、 ABC= EBF 、 ACCE 、 AF=2EF 求证：、 AC=CE 、 CFAB 题目 65（题 53 的逆命题12）已知如图，、 AC=CE 、 AF=2EF 、 CFAB 、 ABC= EBF 求证：、 ACCE 、 CB=BE 题目 66（题 53 的逆命题13）已知如图，、 AC=CE 、 AF=2EF 、 CB=BE 、 ABC= EBF 求证：、 ACCE 、 CFAB 题目 67（题 53 的逆命题14）已知如图，、 AC=CE 、 ACCE 、 AF=2EF 、 ABC= EBF 求证：、 CB=BE 、 CFAB 题目 68 已知如图， ABC 中， ACB=90 度， CDAB，D 为垂足，CM 平分 ACB ，如果 SACM=30 ，SDCM=6 ，求 S BCD= ？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 34 页（题 68 解答）解：设 SBCD=x, 则 SACM/ S CMB=30/ （6+ x）=AM/MB SACD/ S CDB=36/ x=AD/DB 又 AC2= AD AB BC2= BD AB AC2/ BC2=AD/BD CM 平分 ACB （ AM/ BM ）2=AD/BD 30/(6+x)2=36/x 解方程得 x=4 或 x=9 SBCD=4 或 SBCD=9 题目 69 已知如图， ABC 中， ACB=90 度， D 为斜边 AB 上一点，满足AC2= AD AB 求证： CDAB 题目 70 已知如图， ABC 中， ACBC, ACB=90 度，CM 平分 ACB ，且 CM+CB=AC ，求证： 1/AC- 1/BC=2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 34 页题 70 证明：过点 M 作 MD BC，D 为垂足，作MD AC ，E 为垂足，设 ME=x,AC=b,BC=a, 则 CM= 2 x ，AE=b-x, 由 AE/AC=ME/BC ，得 (b-x)/b=x/a, x=ab/(a+b) 又 CM+CB=AC 2 x+a=b,ab/(a+b)=(b-a)/ 2整理得： b2-a2=2ab两边都除以 ab, 1/AC- 1/BC=2题目 71(依题 68 变 ) 已知如图， ABC 中（ ACBC ） ， ACB=90 度， CDAB ，D 为垂足，CM 平分 ACB, 且 BC、 AC 是方程 x2-14x+48=0 的两个根，求 AD 、 MD 的长。题目 71 解：显然，方程 x2-14x+48=0 的两根为 6 和 8，又 ACBC AC=8 ，BC=6 由勾股定理 AB=10 ACD ABC ，得 AC2= AD AB AD=6.4 CM 平分 ACB AM/MB=AC/CB 解得， AM=40/7 MD=AD-AM=24/35 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 34 页题目 72 已知如图， ABC 中， ACB=90 度，AB=2AC ，现在将它折成如右图的形状，这时顶点A正好落在 BC 上，而且 AMN 是正三角形，求 AMN 与 ABC 的面积之比。题 72 解： ACB=90 度， AB=2AC B=30 度由题意，四边形AMAN是菱形， ABM ABC AM/AC=BM/AB 设 AM=x, AB=2AC=2a x/a=(2a-x)/2a x=2a/3 由三角形面积公式，得SAMN ：SABC=2 ：9 题目 73 已知， ABC 中， ACB=90 度， CDAB ，D 为垂足求证： AB+CDAC+BC 题 73 的证明：由三角形面积公式，得AB CD=AC BC 2AB CD=2AC BC 又勾股定理，得AB2=AC2+BC2 AB2+2AB CD =AC2+BC2+2ACBC( 等式性质 ) AB2+2AB CD =（ AC+BC ）2 AB2+2AB CD+CD2 （AC+BC ）2 (AB+CD)2 （AC+BC ）2 又 AB 、CD、AC、BC 均大于零AB+CDAC+BC 题目 74 已知， ABC 中， ACB90 度， CDAB，D 为垂足求证： AB+CDAC+BC 题 74 证明：如图，作CB AC 交 AB 于 B ,于是有AB CD=AC BC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 34 页2AB CD=2AC BC又勾股定理，得AB 2=AC2+B C2AB 2+2AB CD =AC2+B C2+2AC B C( 等式性质 ) AB 2+2AB CD =（AC+B C ）2 AB 2+2AB CD+CD2 （AC+B C ）2 (AB+CD)2 （AC+B C ）2 又 AB 、CD、AC、B C均大于零AB +CDAC+BC 在 ABB 中,BBCB -CB +得 AB BB+CDAC+BC CB -CB AB+CDAC+BC 题目 75 已知如图， ABC 中，CDAB ，D 为垂足，CT 平分 ACB ，CM 为 AB 边上的中线，且 ACD= DCT= TCM= MCB 求证： ACB=90 度题目 75 的证明：延长 CT 交三角形 ABC 的外接圆于N，连结 MN，则 N 为弧 AB 的中点，所以MN AB，又 CDAB，MN CD DCT= TNM 又 DCT= TCM TCM= TNM CM=NM CN 的垂直平分线必过点M，又 CM 为 AB 边上的中线， MN AB AB 的垂直平分线必过点M，即 M 为两条弦的垂直平分线的交点，M 为三角形 ABC 的外接圆的圆心，因此 AB 为 ABC 的外接圆的直径。 ACB=90 度精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 34 页题目 76 已知， ABC 中， ACB=90 度， CDAB ，D 为垂足，ACB 的平分线 CG 交 AB 边上的中垂线于点G ，求证： MC=MG 题目 77 已知， ABC 中， ACB=90 度， CD AB，D 为垂足， CM 为 AB 边上的中线， CD 是ACB 的平分线， AC=75cm, BD=80cm, 求 CD、CM、CE 的长题目 78 已知， ABC 中， ACB=90 度， CDAB ，D 为垂足， E 为 ABC 上一点，且弧 AC= 弧 CE，又 AE 交 CD 于 M，求证： AM=CM 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 34 页题目 79（题 78 再变）已知， ABC 中， ACB=90 度， CD AB，D 为垂足， E 为 ABC 上一点，且弧AC= 弧CE，又 BC 交 AE 于 G，连结 BE 求证： BG2= AB BE- AGGE 题目 80 已知， ABC 中， ACB=90 度，CDAB ，D 为垂足， E为 ABC 上一点，且直线DC 于直线 BE 交于 P，求证： CD2= DM DP 题目 81 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 34 页已知， ABC 中， ACB=90 度，CDAB ，D 为垂足， E为 ABC 上一点，且直线DC 于直线 BE 交于 P，如果 CD 平分 AE，求证：2DM DP= BE EP 题目 82 已知， ABC 中， ACB=90 度， CDAB ，D 为垂足， E 为 ABC 上一点，且弧 AC= 弧 CE，又直线AC 与直线 BE 交于 H，求证：AB=BH 题目 83(由题 44 变 ) 求证：直角三角形两条直角边的和等于斜边与内切圆直径的和。题目 84 已知， ABC 中， ACB=90 度， CDAB ，D 为垂足， MN 切 ABC 与 C 点求证：BC 平分 DCN 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 34 页题目 85 已知， ABC 中， ACB=90 度， CDAB ，D 为垂足， MN 切 ABC 与 C 点，AFMN ，F 为垂足， AEMN ，E 为垂足，求证： CD=CE=CF 题目 86 已知， ABC 中， ACB=90 度，以 BC 为直径的圆交AB 于点 D，以 AC 为半径的圆交AB 于点 E，求证： BCE=DCE 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 34 页题目 87（由题 38 图而变）求证：和两定点距离之比等于定比（不为1）的点的轨迹是一个圆周。（提示：从（ 1）完备性、（2）纯粹性两方面来证明。 ）题目 88 作图题：已知两线段之和及积，求作这两条线段。已知：两线段m 和 n 求作：两线段x 及 y,使 x+y=m，xy=n2 补个图（题 88 作法参考）AD 、BD 即为求作线段x、y 题目 89（由题 88 变）已知梯形 ABCD 如图，求作一直线平行于梯形的底边，且平分面积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 34 页题目 90 利用下图，证明：两个正数之和为定值，则这两个数相等时乘积最大。题目 89 作法：如图，作两腰的延长线交于点O，作 PBAB 使 PB=OA ，连结 OP，以 OP 为直径作半圆M，由圆心M 作 MN OP，交半圆于点N，再以 O 为圆心 ON 为半径画弧交 AB 于点 E，作 EFBC 交 CD 于 F，则 EF 即为所求线段。题 91(题 73 变) 设 a、b、c、d 都是正数，满足a/b=c/d,且 a 最大，求证： a+db+c 题 92（人教版数学八年级下114 页）在 Rt ABC 中， ACB=90 度， CDAB ，D 为垂足， ACD=3 BCD ，E 是斜边 AB 的中点，ECB 是多少度？题 93（题 49 变）已知， 17cosA+13cosB=17,17sinA=13sinB, 且 A、 B 都是锐角，求 A/2+ B 的值。题目 93 解： （构造法）分别以 17、13 为边作 ABC，使 AC=17，BC=13，CD 为 AB 边上的高，在 RtADC 中， AD=17 cosA ，在 RtBDC 中， BD=13 cosB，CD=17sinA=13sinB 而 AB=AD+DB=17cosA+13cosB=17，AC=AB, B=ACB, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 34 页 A+2B=180 度 A/2+B=90 度。题 94已知如图， ABC 的 C 的平分线交AB 于 D，交 ABC 的外接圆于E，若 CD CE 等于 ABC 面积的 2 倍求证： ACB=90 度题目 95 已知， ABC 中， ACB=90 度， CDAB ，D 为垂足， CM 平分 ACB 交 AB 于 M，若ACBC 求证： DCM=1/2 （B- A）题目 96 已知， ABC 中，ACB=90 度，CDAB ，D 为垂足， CE 为 AB 边上的中线， 且 DE=DC ，求 ABC 中较小的锐角的度数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 34 页题目 97 已知， ABC 中， ACB=90 度， CE 平分 ACB 交 AB 于 E，且 EC+BC=AC ，求 AC/BC 题 97 解：设 BC=a,AC=b, 过点 E 作 EHBC 交 AC 于点 H，作 EFBC 交 BC 于点 F，则四边形 CHEF 为正方形，设EH=x. 则 CE= 2x,由 AH/EH=AC/BC ，得 (b-x)/x=b/a, x=(ab)/(a+b) 由题意得， a+2x=bx=(b-a)/ 2a,(ab)/(a+b)= (b- a)/ 2a,得 b2-2ab -a2=0 b/a=( 2+6)/2即 AC/BC=( 2+6)/2题目 98 已知， ABC 中， ACB=90 度，两直角边的差为22 ，CDAB ，D 为垂足， BD- AD=23，求 ABC 中的三边长。题目 99 圆内接三角形ABC 中，直径AB=4 ，AB 边上的高 CD=2 3 ，求 A 的度数。题目 100 已知， ABC 中， CDAB ，D 为垂足， B=2A 求证： CB=AD-BD 题目 101 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 34 页已知， AB 是的直径， AB=4 ， D 是 OB 的中点，过点D 的弦 CEAB ，求弦 CE 的长。（题 54 的解答）已知如图，、 AF=2EF 、 ACCE 、 CB=BE 、 CFAB 求证：、 AC=CE 、 ABC= EBF 证明：过点 E 作 EMCF 如图，由 ADF EMF 得 AD：EM=AF ：FM=2 又 BD 为 CEM 的中位线，则BD：EM=1 ：2 AD ：DB=4：1=AC2:CB2 AC ：CB=2：1 又 CB=BE AC=CE ( 再由 51 的解答即有 ABC= EBF 成立 ) 题 55 的解答已知如图，、 AC=CE 、 AF=2EF 、 CB=BE 、 CFAB 求证：、 ACCE 、 ABC= EBF 证明：过点 E 作 EMCF，如图由 ADF EMF 得 AD：EM=AF ：FM=2 又 BD 为 CEM 的中位线，则BD：EM=1 ：2 AD ：DB=4：1 不妨设 DB=x ，CD=y,则 AD=4x ，由勾股定理得AC= （4x）2+y2,BC=（x2+y2 ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 34 页又 AC=2BC ，得 y2=4x2 即 CD2=AD DB CD：AD=DB ：CD， ADC= CDB=90 度 RtADCRtCDB ACD= CBD 又 BCD+ CBD=90 度 BCD+ ACD=90 度，即 ACB=90 度(再证 ABC= EBF 成立 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 34 页