2022年初中二次函数知识点详解助记口诀 4.pdf
知识点一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果特)0,(2acbacbxaxy是常数，特别注意 a 不为零那么 y 叫做 x 的二次函数。)0,(2acbacbxaxy是常数，叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx2对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线cbxaxy2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C，再找到点C 的对称点 D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D。由 C、M 、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。知识点二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀- 一般 两根 三顶点（1）一般一般式：)0,(2acbacbxaxy是常数，（2）两根当抛物线cbxaxy2与 x 轴有交点时，即对应二次好方程02cbxax有实 根1x和2x存 在 时 ， 根 据 二 次 三 项 式 的 分 解 因 式)(212xxxxacbxax， 二 次 函 数cbxaxy2可转化为两根式)(21xxxxay。如果没有交点，则不能这样表示。a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。（3）三顶点顶点式：)0,()(2akhakhxay是常数，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页知识点三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx2时，abacy442最值。如果自变量的取值范围是21xxx，那么，首先要看ab2是否在自变量取值范围21xxx内，若在此范围内， 则当 x=ab2时，abacy442最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21xxx范围内的增减性， 如果在此范围内， y 随 x 的增大而增大， 则当2xx时，cbxaxy222最大，当1xx时，cbxaxy121最小； 如果在此范围内， y 随 x 的增大而减小， 则当1xx时，cbxaxy121最大，当2xx时，cbxaxy222最小。知识点四、二次函数的性质1、二次函数的性质函数二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数，图像a0 a0 y 0 x y 0 x 性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442） ；（3）在对称轴的左侧，即当xab2时， y 随 x（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442） ；（3）在对称轴的左侧，即当xab2时， y 随 x 的增大而增大， 简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=ab2时， y 有最小值，abacy442最小值x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当xab2时，y 随 x 的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=ab2时， y 有最大值，abacy442最大值2、二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数，中，cb、a的含义：a表示开口方向：a0 时，抛物线开口向上a0 时，图像与x 轴有两个交点；当=0 时，图像与x 轴有一个交点；当0)【或左 (h0) 【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0)】平移 |k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移” 函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3 分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）特别记忆- 同左上加异右下减 ( 必须理解记忆 ) 说明函数中 ab 值同号，图像顶点在y 轴左侧同左，a b 值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减3、直线斜率：1212tanxxyykb为直线在 y轴上的截距 4、直线方程：4、两点由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式:)()( t a n112121xxxxxyybxbkxyy此公式有多种变形牢记点斜)(11xxkxyy斜截直线的斜截式方程，简称斜截式: ykxb( k0) 截距由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：1byax牢记口诀 -两点斜截距- 两点 点斜 斜截 截距精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页5、设两条直线分别为，1l：11yk xb2l：22yk xb若12/ll，则有1212/llkk且12bb。若12121llkk6、点 P（x0，y0）到直线 y=kx+b( 即： kx-y+b=0) 的距离 : 1)1(2002200kbykxkbykxd7、抛物线cbxaxy2中， a b c,的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样 . （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2，故：0b时，对称轴为y轴；0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧 . 口诀 - 同左异右（3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置 . 当0 x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c） ：0c，抛物线经过原点; 0c, 与y轴交于正半轴；0c, 与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab. 二次函数图像与性质口诀: 二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点, 它们确定图象现；开口、大小由a 断 ,c 与 Y轴来相见 ,b 的符号较特别，符号与a 相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要, 一般式配方它就现，横标即为对称轴, 纵标函数最值见。若求对称轴位置, 符号反 , 一般、顶点、交点式，不同表达能互换。二次函数抛物线，选定需要三个点，a 的正负开口判，c 的大小 y 轴看，的符号最简便，x 轴上数交点， a、 b 同号轴左边抛物线平移a 不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。关于x轴对称2yaxbxc 关于 x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页2ya xhk 关于 x 轴对称后，得到的解析式是2ya xhk ；关于y轴对称2yaxbxc 关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc ；2ya xhk 关于y轴对称后，得到的解析式是2ya xhk ；关于原点对称2yaxbxc 关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk 关于原点对称后，得到的解析式是2ya xhk关于顶点对称2yaxbxc 关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；2ya xhk 关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk 关于点mn，对称2ya xhk 关于点mn，对称后，得到的解析式是222ya xhmnk根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数图像与性质口诀: 二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点, 它们确定图象限；开口、大小由a断 ,c 与 Y轴来相见 ,b 的符号较特别，符号与a 相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要, 一般式配方它就现，横标即为对称轴, 纵标函数最值见。若求对称轴位置, 符号反 , 一般、顶点、交点式，不同表达能互换。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页解一元二次不等式：首先化成一般式，构造函数第二站。判别式值若非负，曲线横轴有交点。 a正开口它向上，大于零则取两边。代数式若小于零，解集交点数之间。方程若无实数根，口上大零解为全。小于零将没有解，开口向下正相反。13.1 用公式法解一元二次方程要用公式解方程，首先化成一般式。调整系数随其后，使其成为最简比。确定参数abc，计算方程判别式。判别式值与零比，有无实根便得知。有实根可套公式，没有实根要告之。用常规配方法解一元二次方程：左未右已先分离，二系化“1”是其次。一系折半再平方，两边同加没问题。左边分解右合并，直接开方去解题。该种解法叫配方，解方程时多练习。用间接配方法解一元二次方程：已知未知先分离，因式分解是其次。调整系数等互反，和差积套恒等式。完全平方等常数，间接配方显优势【注】恒等式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页解一元二次方程：方程没有一次项，直接开方最理想。如果缺少常数项，因式分解没商量。 b、c 相等都为零，等根是零不要忘。 b、c 同时不为零，因式分解或配方，也可直接套公式，因题而异择良方。二次函数：二次方程零换y，二次函数便出现。全体实数定义域，图像叫做抛物线。抛物线有对称轴，两边单调正相反。 A 定开口及大小，线轴交点叫顶点。顶点非高即最低。上低下高很显眼。如果要画抛物线，平移也可去描点，提取配方定顶点，两条途径再挑选。列表描点后连线，平移规律记心间。左加右减括号内，号外上加下要减。二次方程零换y，就得到二次函数。图像叫做抛物线，定义域全体实数。 A定开口及大小，开口向上是正数。绝对值大开口小，开口向下A负数。抛物线有对称轴，增减特性可看图。线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。如果要画抛物线，描点平移两条路。提取配方定顶点，平移描点皆成图。列表描点后连线，三点大致定全图。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页若要平移也不难，先画基础抛物线，顶点移到新位置，开口大小随基础。【注】基础抛物线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页
