2022年直线的倾斜角与斜率直线的方程 .pdf
一、选择题1已知直线l1:yx，l2:axy0，其中 a 为实数，当这两条直线的夹角在(0，12)内变动时，a的取值范围是() A(33，1)(1， 3) B(33， 3) C(33，1) D(1， 3) 答案A 解析因为k11，k2a，由数形结合知，直线 l2的倾斜角 (6，4)(4，3)，所以直线l2的斜率a(33，1)(1， 3)2过点P(1,2) 且方向向量为a(1,2) 的直线方程为() A2xy0 Bx2y50 Cx2y0 Dx2y50 答案A 解析因为方向向量a(1,2)，所以直线的斜率k2，又过点P(1,2)，所以由点斜式求得直线方程为2xy0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页3(文)(2012 山东济宁)已知点 A(1,3) ，B(2，1)，若直线lyk(x2)1与线段AB相交，则k 的取值范围() Ak12Bk2 Ck12或 k2 D2k12答案D 解析如图，l 过 P(2,1)，kPAkkPB，kPA31122，而kPB12， 2k12. (理)点 P(x，y)在以 A(3,1)，B(1,0)，C(2,0) 为顶点的ABC的内部运动(不包含边界)，则y2x1的取值范围是() A.12，1B.12，1C.14，1D.14，1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页答案D 解析令 ky2x1， 则 k 可以看成过点D(1,2)和点P(x， y)的直线斜率，显然kDA是最小值，kBD是最大值由于不包含边界，所以 k14，1 . 4若点A(2，3)是直线a1xb1y10和 a2xb2y10的公共点，则相异两点(a1，b1)和(a2，b2)所确定的直线方程是 () A2x3y10 B3x2y10 C2x3y10 D3x2y10 答案A 解析 2a13b110,2 a23b210， (a1，b1)，(a2，b2)是直线2x3y10上的点5设直线l 的方程为xycos 30( R)，则直线l 的倾斜角 的范围是() A0，)B.4，2C.4，34D.4，22，34答案C 解析当cos 0 时，方程变为x30，其倾斜角为2；当 cos 0时，由直线方程可得斜率k1cos . cos 1,1且cos 0， k(，11，)，即 tan (，11，)，又 0，)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页 4，22，34. 综上知倾斜角的范围是4，34，故选C. 6若直线 2axby40(a、bR)始终平分圆 x2y22x4y10的周长，则ab的取值范围是() A(，1 B(0,1 C(0,1) D(，1) 答案A 解析由题意知直线过圆心 (1，2)， 2a2b40， ab2， aba2b22ab22ab2， ab1. 二、填空题7若直线l 的斜率k 的取值范围为1， 3，则它的倾斜角 的取值范围是_ 答案0，334 ，解析由1k 3，即得1tan 3， 0，334 ，. 8一条直线l 过点 P(1,4) ，分别交x 轴，y轴的正半轴于A、B两点，O为原点，则AOB的面积最小时直线l 的方程为_ 答案4xy80 解析设 l：xayb1(a，b0)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页因为点P(1,4)在l 上，所以1a4b1.由11a4b24ab? ab16，所以S AOB12ab8. 当1a4b12，即 a2，b8时取等号故直线l 的方程为4xy80. 三、解答题9(2011 江苏，18)如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N 分别是椭圆x24y221 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A 两点，其中点 P在第一象限，过P作 x轴的垂线，垂足为C，连结AC并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k. (1)若直线PA平分线段MN，求 k 的值；(2)当k2时，求点P到直线AB的距离 d. 解析(1) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页由题设知，a2，b 2，故M(2,0)，N(0， 2)，所以线段MN 中点的坐标为(1， 22)， 由于直线PA平分线段MN，故线段PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以k22122. (2)直线PA的方程为y2x，代入椭圆方程得x244x221，解得x23，因此P(23，43)，A(23，43)于是C(23，0)，直线AC的斜率为04323231，故直线AB的方程为xy230. 因此，d|234323|12122 23. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页一、选择题1(文)过抛物线 y24 3x 的焦点，且与圆x2y22y0 相切的直线方程是() A. 3xy30，y0 B. 3xy30，y0 C. 3xy30， 3xy30 D. 3x3y30， 3x3y30 答案A 解析抛物线焦点 F( 3，0)，圆的方程 x2(y1)21，由图知过焦点 F 且与圆相切的直线有两条，其中一条是 y0 故排除 C、D.另一条斜率小于0，故选A. (理)将直线yx1绕其与y轴的交点逆时针旋转90， 再按向量a(1,1)平移，则平移后的直线方程是 () Ayx1 Byx3 Cyx2 Dyx1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页答案B 解析与 y轴交点为A(0,1)， 绕A 点逆时针旋转90 后， 倾斜角为135，且过(1,0)，直线沿 a(1,1) 平移，即为先向右平移1 个单位，再向上平移1个单位，故过点 (2,1)，方程为yx3. 2已知f(x)log2(x1)，且abc0，则f aa，f bb，f cc的大小关系是() A.f aaf bbf ccB.f ccf bbf aaC.f bbf aaf ccD.f aaf ccf bb答案B 解析作函数f(x)log2(x1)的图像，易知f xx表示直线的斜率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页f ccf bbf aa，故选B. 二、填空题3(2011 安徽理，15) 在平面直角坐标系中，如果x 与 y 都是整数，就称点(x，y)为整点，下列命题中正确的是_( 写出所有正确命题的编号)存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点如果k 与b都是无理数，则直线ykxb不经过任何整点直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点直线 ykxb 经过无穷多个整点的充分必要条件是： k 与 b 都是有理数存在恰经过一个整点的直线答案解析本题主要考查直线方程与逻辑推理能力令 yx12，满足，故正确；若k 2，b 2，y 2x 2过整点(1,0)，故错误；设ykx是过原点的直线，若此直线过两个整点 (x1，y1)，(x2，y2)，则有y1kx1，y2kx2，两式相减得y1y2k(x1x2)，则点(x1x2， y1y2)也在直线ykx上， 通过这种方法可以得到直线l 经过无穷多个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页整点， 通过上、 下平移ykx 得对于ykxb也成立， 所以正确； 正确；直线y 2x 恰过一个整点，正确4已知 aR，直线(1a)x(a1)y4(a1)0 过定点 P，点 Q在曲线x2xy10上，则PQ连线斜率的取值范围是 _ 答案3，) 解析P(0,4)，设Q(x，y)，则yx21x(x0)，ky4x1x241x11x2233. 三、解答题5过点P(3,0) 作一直线，使它夹在两直线l12xy20与 l2xy30之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程分析设点 A(x，y)在 l1上，则点 A关于点 P的对称点B(6x，y)在 l2上，代入l2的方程，联立求得交点，从而求得直线方程解析方法一设点A(x，y)在l1上，由题意知xxB23yyB20，点B(6x，y)，解方程组2xy206x y 30精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页得x113y163，k163011338. 所求的直线方程为 y8(x3)，即8xy240. 方法二设所求的直线方程yk(x3)，则yk x32xy20，解得xA3k2k2yA4kk2由yk x3xy30，解得xB3k3k1yB6kk1 P(3,0) 是线段AB的中点， yAyB0，即4kk26kk10， k28k0，解得k0 或k8. 又当k0 时，xA1，xB3，此时xAxB21323， k0舍去，所求的直线方程为 y8(x3)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页即 8xy240. 方法三设点A(x1，y1)在l1上，点B(x2，y2)在l2上，则2x1y120 x2y230 x1x26y1y20，解得x1113y1163或x273y2163 kkAB163163731138，所求的直线方程为 8xy240. 6 已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A(3,4)；(2)斜率为16. 解析(1)设直线l 的方程是yk(x3)4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是4k3,3k4，由已知，得(3k4)4k3 6，解得k123或k283. 故直线l 的方程为2x3y60或8x3y120. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b，则直线l 的方程是y16xb，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页它在x 轴上的截距是 6b，由已知，得|6b b|6， b 1. 直线l 的方程为x6y60 或x6y60. 7(2012 莆田月考)已知两点A(1,2) ，B(m,3)(1)求直线AB的方程；(2)已知实数 m 331， 31 ，求直线 AB 的倾斜角 的取值范围解析(1)当 m1 时，直线AB 的方程为x1，当 m1 时，直线AB 的方程为y21m1(m1)(2)当m1 时， 2；当m1时，m1 33，0 (0， 3， k1m1(， 333， ， 6，22，23. 综合知，直线AB 的倾斜角 6，23. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页
