考研数学真题试卷汇编.pdf

考研数学一填空题专项强化真题试卷 15(总分：0.00，做题时间：0 分钟)填空题(总题数：10，分数：0.00)1.(2003 年)设则 a2=_。填空项 1:_ （正确答案：1）解析：根据余弦级数的定义，有2.设 A=(ij)是三阶非零矩阵，A为 A 的行列式，Aij为 aij的代数余子式。 若 aij+Aij=0(i， j=1， 2， 3)， 则A=_。填空项 1:_ （正确答案：1）解析：由于 aij+Aij=0，结合伴随矩阵的定义可以得到 A =A 。两边同时求行列式可得A =A ，也即A =A，从而可以得到A=0 或A=1。若A=0，则 AA =AE=0，即 AA =0。再结合 r(AA )=r(A)可得到 A=0，产生矛盾。从而A=1。3.二次型 f(x1，x2，x3)=x1x2+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数是 1，则 a 的取值范围是_。填空项 1:_ （正确答案：一 2，2）解析：由配方法可知，f(x1，x2，x3)=x1x2+2ax1x3+4x2x3=(x1+ax3) (x22x3) +(4 一 a )x3，由已知二次型的负惯性指数为 1，故 4 一 a 0，所以 a 的取值范围是2，2。22322*TT*T2*T4.(2010 年试题，10)=_.则 x=t ，dx=2tdt 故2填空项 1:_ （正确答案：令解析：）5.=_。填空项 1:_ （正确答案：2）解析：当 x0 时，In(1+x)x，1 一 cos则226.(2010 年试题，二)设 =(x，y，z)x +y z1)，则 的形心坐标填空项 1:_ （正确答案： 所表示区域的体积为）=_.则 n 的形心的竖坐标为解析：7.(2003 年试题，一)已知一批零件的长度 X(单位：cm)服从正态分布 N(，1)，从中随机地抽取 16 个零件，得到长度的平均值为 40cm，则 的置信度为 095 的置信区间是_. 注：标准正态分布函数值 (196)=0975，(1645)=095填空项 1:_ （正确答案： 由于又 n=16，=1 又则， 当置信度为 1 一 =0 95 时， =0 05， 则即 P39514049=095，则 的置信度为 095 的置信区间是(3951，4049)）解析：8.(13 年)设 A=(aij)是 3 阶非零矩阵，|A|为 A 的行列式，Aij为 aij的代数余子式若 aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则|A|=_填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：由 AO，不妨设 a110，由已知的 Aij=一 aij(i，j=1，2，3)，得及 A=一(A*) ，其中 A*为 A 的伴随矩阵用 A 右乘 A=一(A*) 的两端，得AA =一(A*)A =一(AA*) =一(|A|I) ，其中 I 为 3 阶单位矩阵，上式两端取行列式，得|A| =(-1) |A| ，或|A| (1+|A|)=0，因|A|0，所以|A|=一 12332TTTTTTT9.）填空项 1:_ （正确答案：解析：10.填空项 1:_ （正确答案：解析：）考研数学一选择题专项强化真题试卷考研数学一选择题专项强化真题试卷 1 1 (总分：0.00，做题时间：0 分钟)单项选择题(总题数：20，分数：0.00)1.(1988 年)设有空间区域 1： x2+y2+z2R2， z0； 及 2： x2+y2+z2R2，x0，y0，z0，则A.B.C. 正确答案D.解析：解 1 由于(C)选项中的被积函数 f(x，y，z)=z 既是 x 的偶函数，也是 y 的偶函数，而积分域 1既关于 yOz 坐标面前后对称，又关于 xOz 坐标面左右对称，则解 2 用排除法由于 f(x，y，z)=x 是 x 的奇函数，1关于 yOz 坐标面前后对称。则内 x0， 有而在 2则(A)不正确； 同理(B)和(D)均不正确， 所以应选(C)2.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N(0，1)，Y的概率分布为 PY0PY1记 FZ(z)为随机变量 ZXY的分布函数，则函数 FZ(z)的间断点个数为A.0B.1正确答案C.2D.3解析：FZ(z)P(Zz)P(XYz)PXYzY0PY0)PXYzY1PY1 P0zY0PXzY1 而 P0zY0P0zPXzY1PXz故 FZ(z)在 z0 和 z0 上，FZ(z)显然连续；在 z0 上，可见 FZ(z)只有 1 个间断点(z0 处，)，故选 B3.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 XY与 XY 不相关的充分必要条件为A.E(X)E(Y)B.E(X2)E(X)2E(Y2)E(Y)2正确答案C.E(X2)E(Y2)D.E(X2)EE(X)2E(Y2)EE(Y)2解析：cov(，)cov(XY，XY)DXDYEX2(EX)2EY2(EY)2 而“cov(，)0”等价于“ 与 不相关”，故选 B4.设 X1，X2，Xn(n2)为来自总体 N(，1)的简单随机样本，记，则下列结论中不正确的是A.(Xi)2服从 2分布B.2(XnX1)2服从 2分布正确答案C.D.n(服从 2分布)2服从 2分布N(0，1) 解析：由题意，XnX1N(0，2)，所以得(XnX1)2(1)，可见选项 B 结论“不正确”，就选 B5.(2016 年)已知函数则A.x=0 是 f(x)的第一类间断点B.x=0 是 f(x)的第二类间断点C.f(x)在 x=0 处连续但不可导D.f(x)在 x=0 处可导正确答案解析：f-(0)=1，由夹逼原理知即 f+(0)=1故 f(x)在 x=0 处可导，应选6.(2018 年)下列函数中，在 x=0 处不可导的是( )A.f(x)=|x|sin|x|B.C.f(x)=cos|x|D.正确答案解析：由导数定义知该极限不存在，则在 x=0 处不可导，故应选 D7.设函数 f(x)可导，且 f(x)f(x)0，则( )A.f(1)f(-1)(D)B.f(1)f(-1)C.|f(1)|f(01)| 正确答案D.|f(1)|f(-1)|解析：f(x)f(x)0，所以选 C8.(00 年)设 f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数，且 f(x)g(x)一f(x)g(x)0，则当 axb 时，有A.f(x)g(b)f(b)g(x)正确答案B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(x)g(b)f(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)解析：(2)，只有 C 选项满足(1)且满足(2)，即f(x)g(b) g(x)f(b)9.(2008 年试题，一)函数A.i 正确答案B.一 iC.jD.一 j解析： 梯度的计算公式中涉及到函数的偏导数， 故先求二元函数 f(x，y)的偏导数：则 fx(0，1)=lfy(0，1)=0梯度 gradf(0，一在点(0，1)处的梯度等于( )1)=1i+0j=i，故应选 A10.设 f(0)=0，则 f(x)在点 x=0 可导的充要条件为A.B. 正确答案C.D.解析：若11.(93 年)双纽线(x2+y2)2=x2一 y2所围成的区域面积可用定积分表示为存在，则A. 正确答案B.C.D.解析：设双纽线在第一象限围成的面积为 S1，则所求面积为所以(A)12.设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A2+A=O若 A 的秩为 3。则 A 相似于A.B.C.D. 正确答案解析：设 A 按列分块为 A=1，2，3，4，由 r(A)=3，知 A 的列向量组的极大无关组含 3 个向量，不妨设 1，2，3是 A 的列向量组的极大无关组由于 A2=一 A，即A1234=一1234，即 A1A2A3A4=一 1234，得 Aj=一 j，j=1，2，3，4由此可知一 1 是 A 的特征值值且 1， 2， 3为对应的 3 个线性无关的特征向量，故一 1 至少是 A 的 3 重特征值而 r(A)=34， 知 0 也是 A 的一个特征值 于是知 A 的全部特征值为：一 1，一 1，一 1，0，且每个特征值对应的线性无关特征向量个数正好等于该特征值的重数，故 A 相似于对角矩阵 D=diag(一 1，一 1，一 1，0)，故选项 D 正确13.(2000 年试题，二)设 S：x2+y2+z2=a2(z0)，S1为 S 在第一卦限中的部分，则有( )A.B.C.D.正确答案解析： 本题考查积分曲面和被积函数在具有对称性和奇偶性时第一型曲面积分的特殊性质，由题设所给 S 及 S1。有不成立；关于 C，积分因此显然有 A,B,D的被积函数 z 关于 x 和 y 都是偶函数，因而同时积分曲面 S1关于 x，y，z 三轴对称，则由轮换对称性知，所以综上，选 C应注意积分区域的对称性和积分函数的周期性在第一类曲线、 曲面积分、二重积分和三重积分中的灵活运用14.设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0，使得A.f(x)在(0，)内单调增加B.f(x)在(一 ，0)内单调减少C.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)正确答案D.对任意的 x(一 ，0)有 f(x)f(0)解析：由于 f(0)=，由极限的保号性知，存在 0，当 x(一，而当(0，)时 x0，则此时 f(x)，0)或 x(0，)时，一 f(0)0，即 f(x)f(0)，故应选(C)15.(91 年)设 D 是 xOy 平面上以(1，1)，(一 1，1)和(一 1，一 1)为顶点的三角形区域，D1是 D 在第一象限的部分，则(xy+cosxsiny)dxdy 等于A. 正确答案B.C.D.解析：如图 28，OAB 所围区域记为 D2，OBC 所围区域记为 D3由于 xy 关于 x 是奇函数，积分域 D2关于 y 轴对称，则又 cosxsiny 是 y 的奇函数，D3关于 x 轴对称，则又 cosxsiny 是 x 的偶函数，D2关于 y 轴对称，则从而有16.设数列an单调减少，A.(一 1，1B.一 1，1)C.0，2)正确答案D.(0，2解析：由于幂级数确17.(03 年)设向量组 I： 1， 2， ， r， 可由向量组： 1， 2， ，s线性表示，则A.当 rs 时，向量组必线性相关B.当 rs 时，向量组必线性相关C.当 rs 时，向量组必线性相关D.当 rs 时，向量组必线性相关正确答案解析：的收敛区间的中心应为 1，则(A)(B)选项不正无界，则幂级数的收敛域为18.A.B. 正确答案C.D.解析：19.设随机事件A与B 相互独立， 且P(B)=0 5， P(A-B)=0 3， 则P(B-A)=A.01B.02正确答案C.03D.04解析：由于事件 A 与 B 独立，故有P(AB)：P(A)P(AB)=P(A)P(A)P(B)=05P(A)=03 从而 P(A)=0.6 P(BA)=P(B)P(AB)=P(B)P(A)P(B)=0503=02所以选(B)20.2005 年 设二维随机变量(X，Y)的概率分布为若随机事件X=0与X+Y=1相互独立，则( )A.a=02，b=03B.a=04，b=01 正确答案C.a=03，b=02D.a=01，b=04解析： 由=(a+0 4)+(b+0 1)=a+b+0 5=1(归一性)知， a+b=0 5 又由事件X=0与X+Y=1相互独立，有P(X=0， X+Y=1)=P(X=0)P(X+Y=1)， 而 P(X=0， X+Y=1)=P(X=0， Y=1)=a，P(X=0)=a+04，P(X+Y=1)=P(X=0，Y=1)+P(X=1，Y=0)=a+b，故a=(a+0 4)(a+b)=(a+04)05 所以 a=04从而 b=05 一 a=01考研数学一选择题专项强化真题试卷考研数学一选择题专项强化真题试卷 2 2 (总分：0.00，做题时间：0 分钟)单项选择题(总题数：20，分数：0.00)1.设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，fX()，fY(y)分别表示 X，Y 的概率密度，则在 Yy 的条件下，X 的条件概率密度 fXY(y)为A.fX()正确答案B.fY(y)C.fX()fY(y)D.解析： 由(X， Y)服从二维正态分布， 且 X 与 Y 不相关， 故 X 与 Y 独立，(X，Y)的概率密度 f(，y)fX().fY(y)，(，y)R2得 fXY(y)故选 AfX()2.设随机变量 Xt(n)(n1)，YA.Y2(n)B.Y2(n1)C.YF(n，1) 正确答案D.YF(1，n)则解析：由 Xt(n)，得 X2F(1，n)，故 YF(n，1)，故选 C3.过点(1，0，0)与(0，1，0)且与曲面 z=x2+y2相切的平面方程为( )A.z=0 与 x+yz=1B.z=0 与 2x+2yz=2 正确答案C.y=x 与 x+yz=1D.y=x 与 2x+2yz=2解析：已知平面过 A(1，0，0)，B(0，1，0)两点，则 xy 是存在的，排除 C，D 选项，可得平面内一向量曲面 z=x2+y2的切平面法向量为 n2=(2x，2y，一 1) 由 n1n2=0,2x 一 2y=0 即切点处 x=y联立方程组2x2一 2ax+a=0 有唯一解，即=(2a)2一 42a=0，a=2，(a=0 舍去) 故 2x+2yz=2，故选 B4.设 f(x)和 (x)在(一，+)内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)0，(x)有间断点，则A.f(x)必有间断点B.(x)2必有间断点C.f(x)必有间断点D.必有间断点正确答案解析：令显然 f(x)和 (x)符合原题条件，而 f(x)=1，2(x)=1，f(x)=2 均无间断点，则(A)(B)(C)均不正确，故应选(D)5.设函数 f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图形如图 21 所示，则导函数 y=f(x)的图形为(见图 22)A.B.C.D. 正确答案解析：由 f(x)的图形可看出，当 x0 时，f(x)严格单调增，则当 x0 时， f(x)0， 因此(A)， (C)肯定不正确， 只能在(B)和(D)中选 又由 f(x)的图形可看出，当 x0 时，f(x)由增变减再变增，因此在 x0 处，f(x)应由正变负再变正，由 f(x)的圈形可看出应选(D)6.设 为 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征根，则 A 的伴随矩阵 A*的特征根之一是A.1AnB.1A正确答案C.AD.An解析：由条件，存在非零列向量 x，使 Ax=x，两端左乘 A*并利用A*A=AE，得Ax=Axx，因 A 可逆，故 A 的特征值 0，两端乘为 A*的一个特征值且 x 为对应的一个特征向量 只有 B 正确为某函数的全微分，则 a 等于7.(96 年)已知A.一 1B.0C.1D.2正确答案解析：令由于 Pdx+Qdy 为某个函数的全微分，则即(a 一 2)x-ay=一 2y，(a 一 2)x=(a 一 2)y 仅当 a=2 时，上式恒成立8.(97 年)二元函数 f(x，y)=A.连续，偏导数存在B.连续，偏导数不存在C.不连续，偏导数存在正确答案D.不连续，偏导数不存在解析：令 y=kx，则当 k 不同时，在点(0，0)处不存在，因而 f(x，y)在(0，0)点处不连续，但根据偏导数的定义知同理可得fy(0，0)=0 由此可见，在点(0，0)处 f(x，y)的偏导数存在9.(05 年)设有三元方程 xyzlny+exx=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程A.只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z=z(x，y)B.可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y=y(x，z)和 z=z(x，y)C.可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y，z)和 z=z(x，y)D.可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y，z)和 y=y(x，z)正确答案解析： 令 F(x，y，z)=xyzlny+exz一 1 显然，F(x，y，z)在点(0，1，1)的邻域内有连续一阶偏导数，且 F(0，1，1)=0，Fx(0，1，1)=20，Fy(0,1，1)=一 10，由隐函数存在定理知方程 xyzlny+exz=1 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和 y=(x，z)，故(D)10.(95 年)设A.B.C. 正确答案D.则级数解析：11.(11 年)设数列an单调减少，的收敛域为A.(一 1，1B.-1，1)C.0，2)正确答案D.(0，2解析：由于幂级数确12.(16 年)设 A，B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是A.AT与 BT相似B.A-1与 B-1相似C.A+AT与 B+BT相似正确答案D.A+A-1与 B+B-1相似解析：由已知条件知，存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B(1)由(1)两端取转置，得 PTAT(PT)-1=BT，可见 AT与 BT相似，因此选项(A)正确；由(1)两端取逆矩阵，得 P-1A-1P=B-1(2)，可见 A-1与 B-1相似，因此选项(B)正确；的收敛区间的中心应为 1，则(A)(B)选项不正(n=1， 2， )无界， 则幂级数将(1)与(2)相加，得 P-1(A+A-1)P=B+B-1，可见 A+A-1与 B+B-1相似，因此选项(D)正确故只有选项(C)错误13.(09年)设随机变量X的分布函数为F(x)=0 3(x)+为标准正态分布的分布函数，则 EX=A.0B.03C.07正确答案D.1解析：14.A.B. 正确答案C.D.解析：15.A.B. 正确答案C.D.解析：其中(x)16.设A.B.C.则 gf(x)为( )D. 正确答案解析：g(x)，f(x)均为分段函数，可采用先内后外，或先外后内的方法求其复合函数 gf(x)由于 g(x)，f(x)的分段点相同，gf(x)也是分段函数，且其分段点与 f(x)，g(x)均相同，因而可以以分段点为界点分区间求之以分段点为界点分区间求之当 x0 时，f(x)=x20，则 gf(x)=f(x)+2=x2+2；当 x0 时，f(x)=一 x0，则 gf(x)=2f(x)=2 一(x)=2+x综上所述，仅 D 入选17.2007 年 如图所示，连续函数 y=f(x)在区间一 3，一 2，2，3上图形分别是直径为 1 的上、下圆周，在区间一 2，0，0，2上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周设 F(x)=0 xf(t)dt，则下列结论正确的是( )A.F(3)=一(34)F(一 2)B.F(3)=(54)F(2)C.F(一 3)=(34)F(2) 正确答案D.F(一 3)=一(54)F(一 2)解析：由定积分的几何意义，即得到因而 F(3)=(34)F(2)，即 B 不成立又 F(3)=(34)F(一 2)，故A 不成立显然有 F(-3)=-38=(34)(2)=(34)F(2)，D 不成立仅C 入选18.设 n(n2)阶矩阵 A 非奇异，A*是矩阵 A 的伴随矩阵，则( )A.(A*)*=An-1AB.(A*)*=An+1AC.(A*)*=An-2A 正确答案D.(A*)*=An+2A解析：由(A*)*(A*)=A*E 得到(A*)*(A*A*)=E，故(A*)*=(A*A*)-1=A*(A*)-1=An-1(AA-1)-1=An-1(A-1)-1A=An-2A仅 C 入选19.2017 年 已知矩阵，则( )A.A 与 C 相似，B 与 C 相似B.A 与 C 相似，B 与 C 不相似正确答案C.A 与 C 不相似，B 与 C 相似D.A 与 C 不相似，B 与 C 相似解析：显然 A，B，C 的特征值都为 1=2=2，3=1由 2EA=得秩(2EA)=1，则 A 可以相似对角化，故 A 与 C 相似由 2EB=似得秩(2EB)=2，则 B 不可相似对角化，故 B 与 C 不相综上，仅 B 入选20.2007 年 设随机变量(X，Y)服从二维正态分布且 X 与 Y 不相关，fX(x)，fY(y)分别表示 X，Y 的概率密度，则在 Y=y 的条件下 X 的条件密度 fXY(XY)为( )A.fX(x) 正确答案B.fY(y)C.fX(x)fY(y)D.fX(x)fY(y)解析：因(X，Y)服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，故 X 与 Y 相互独立 于是从直观上考虑 Y 的取值不影响 X 的取值 因而得到 fXY(xy)=fX(x)仅 A 入选考研数学一选择题专项强化真题试卷考研数学一选择题专项强化真题试卷 3 3 (总分：0.00，做题时间：0 分钟)单项选择题(总题数：20，分数：0.00)1.(2004 年)设A.B. 正确答案为正项级数，下列结论中正确的是( ) C.D.解析：b若集合 1，2 ，则线性方程组 Ax=b 有2.设矩阵 A=无穷多解的充分必要条件为A.B.C.D.解析：3.设 A 为三阶矩阵，将 A 的第二列加到第一列得矩阵 B，再交换 B 的第二行与第三行得单位矩阵。记则 A=( )A.P1P2B.P11P2C.P2P1D.P2P11正确答案解析：由初等矩阵与初等变换的关系知 AP1=B，P2B=E， 所以 A=BP11=P21正确答案P11=P2P11，故选 D。4.(2011)函数 f(x)=ln(x-1)(x-2)(x-3)的驻点个数为( )A.0B.1C.2正确答案D.3解析： 因为， 所以 x=1， x=2， x=3 是曲线 y=f(x)的铅直渐近线 又， 由此可画出 f(x)=ln(x-1)(x-2)(x-3)的草图， 如图 3 所示，由图形可知，存在两点 x1，x2，使得 f(x1)=f(x2)=0，即 f(x)有两个驻点故应选 C5.(09 年)当 x0 时， f(x)=xsinax 与 g(x)=x2ln(1 一 bx)是等价无穷小，则A. 正确答案B.C.D.解析：由于当 x0 时，f(x)=xsinax 与 y(x)=x2ln(1 一 bx)是等价无穷小，则故(A)6.设 f(x)在 x=a 处可导，则等于A.f(a)B.2f(a)正确答案C.0D.f(2a)解析：令 f(x)=x，则但 f(x)=1，从而 f(a)=f(2a)=1，则(A)(C)(D)均不正确，故应选(B)7.(2006 年试题， 二)设 f(x， y)与 (x， y)均为可微函数， 且 y(x，y)0已知(x0，y0)是 f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是( )A.若 fx(x0，y0)=0，则 f(x，y)=0B.若 fx(x0，y0)=0，则 fy(x0，y0)0C.若 fx(x0，y0)0，则 fy(x0，y0)=0D.若 fx(x0，y0)0，则 fy(x0，y0)0正确答案解析：考查化条件极值问题为一元函数极值问题根据拉格朗日乘子法，令 F(x，y，)=，(x，y)+(x，y)，则(x0，y0)满足若fx(x0， y0)=0， 由(1)=0 或 x(x0， y0)=0 当 A=0 时， 由(2)得 fx(x0，y0)=0；但当 A0 时，由(2)及 y(x0，x0)0,fy(x0，y0)0 所以 A，B 错误若 fx(x0，y0)0，由(1)0，再由(2)及 y(x0，x0)0fy(x0，y0)0 故选 D9.(96 年)设 f(x)有连续导数，f(0)=0，f(0)0，F(x)=0 x(x2一t2)f(t)dt，且当 x0 时，F(x)与 xk是同阶无穷小，则 k 等于A.1B.2C.3正确答案D.4解析：F(x)=x20 xf(t)dt0 xt2f(t)dt F(x)=2xf(t)dt+x2f(x)一 x2f(x)=2x0 xf(t)dt 由于=f(0)0，而上式右端极限存在且为非零常数，则 k=3，所以(C)10.设 1，2，3是 3 维向量空间 R3的一组基，则由基 1，到基 1+2，2+3，3+1的过渡矩阵为A. 正确答案B.C.D.解析： 如果 3 维向量空间的一组基()： 1， 2， 3与另一组基()：1，2，3之间有如下关系：j=a1j1+a2j2+a3j3(j=1，2，3)，写成矩阵形式，就是1，2，3=1，2，33其中 a1j为常数(i，j=1，2，3)，则称矩阵 A=(aij)33为由基()到基()的过渡矩阵，现在容易得到12，23，3一 1=因此所求过渡矩阵为 A=只有选项(A)正确11.(2007 年试题，一)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0pP2B.P1-1P2C.P2P1D.P2P1-1正确答案解析：由题设有 B=AP1，P2B=E，即 P2B=P2AP1=E又因 P2，P1可逆，且P2-1=P2，故A=P2-1EP1-1=P2EP1-1=P2P1-1仅 D 入选10.2004 年 设 A 是三阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为( )（分数：5.40）A.B.C.D. 正确答案解析：由题设有 AE12=B，BE32(1)=C，则 AE12E32(1)=C，于是Q=E12E32(1)=，则 A=( )求 Q 时不必去做乘法，只需将 E32(1)=Q：或将 E12=的第 1，2 行调换即可得到的第 2 列加到第 3 列也可得到 Q：11.2005 年 设 A 为 n(n2)阶可逆矩阵， 交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，A*，B*分别为 A，B 的伴随矩阵，则( )（分数：5.40）A.交换 A*的第 1 列与第 2 列得 B*B.交换 A*的第 1 行与第 2 行得 B*C.交换 A*的第 1 列与第 2 列得-B*正确答案D.交换 A*的第 1 行与第 2 行得一 B*解析：由题设有 B=E12A，得到B*=BB-1=E12A(E12A)-1=E12AA-1E12-1=一AA-1E12=一A*E12，即 A*E12=一 B*因而交换 A*的第 1 列与第 2 列得到一 B*仅 C 入选12.设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，则必有( )（分数：5.40）A.当A=a(a0)时，B=aB.当A=a(a0)时，B=一 aC.当A0 时，B=0D.当A=0 时，B=0 正确答案解析：因 A 与 B 等价，由矩阵等价的必要条件知，存在可逆阵 P 与 Q，使得A=PBQ 两边取行列式得A=PBQ， 而P0， Q0，因而A与B同时为零或同时不为零，故当A=0 时必有B=0仅 D 入选填空题(总题数：8，分数：42.80)13.设，E 为四阶单位矩阵，且 B=(E+A)-1(E-A)，则(E+B)-1=_（分数：5.40）填空项 1:_ （正确答案：解析：用单位矩阵恒等变形法，得到B+E=(E+A)-1(E-A)+(E+A)-1(E+A)=(E+A)-1(EA+E+A)=2(E+A)-1，故(E+B)-1=2(E+A)-1-1=14.设），其中 ai0，i=1，2，n，则 A-1=_（分数：5.40）填空项 1:_ （正确答案：解析：而 A1-1=故A-1=15.设，A2-1=1an，A*是 A 的伴随矩阵，则(A*)-1=_）（分数：5.40）填空项 1:_ （正确答案：解析：A=10，即得(A*)-1=）16.设四阶方阵 A 的秩为 2，则其伴随矩阵 A*的秩为_（分数：5.40）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：由题设知 A 的秩为 2，因而 A 的所有三阶子式等于 0于是 A的所有元素的代数余子式均为 0，即 A*=O，故秩(A*)=017.2007 年设矩阵（分数：5.30）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：由矩阵乘法直接计算，得到由于 A2中非零子式的最高阶数为 1， 由矩阵的秩的定义即知秩(A2)=118.2017 年 矩阵，1，2，3为线性无关的三维列向量组，则 A3的秩为_则向量组 A1，A2，A3的秩为_（分数：5.30）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：(A1，A2，A3)=A(1，2，3)，因为 1，23线性无关，所以(1，2，3)可逆，从而秩(A1，A2，A3=秩( A)由得秩( A)=2，故向量组 A1，A2，A3的秩为 219.2012 年 设 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵ET的秩为_（分数：5.30）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：因秩(T)=1，知其特征值为 1，0，0，则 E 一 T的特征值为 0，1，1又因E-TT=E-T，故 E-T为实对称矩阵必可相似对角化，即E 一 T20.设， 故 秩(E 一 T)=，B 为三阶非零矩阵，且 AB=0，则 t=_（分数：5.30）填空项 1:_ （正确答案：一 3）解析： 由 A， B 为同阶方阵， 且 AB=O 即得AB=AB=0 如A0，则 A 可逆，得到 A-1AB=B=O，BO 矛盾由A=0 及 A 的第 2，3 两列成比例得到 t=一 3解答题(总题数：5，分数：42.40)2008 年 设 ， 为三维列向量，矩阵 A=T+T，其中 T，T分别是 ， 的转置证明： （分数：10.6）21.秩（A）2； （分数：5.3）_ 正确答案：(设 ， 为三维列向量：=a1，a2，a3T，=b1，b2，b3T，则故秩(T)1因而有秩(T)1，秩(T)1，于是秩（A）=秩(T+T)秩(T)+秩(T)1+12)解析：22.若 a， 线性相关，则秩（A）2 （分数：5.3）_ 正确答案：(因 ， 线性相关，不妨取 k0，使 =k，则秩 （A） =秩(T+(k)(k)T)=秩(T+k2T)=秩(1+k2)T)=秩(T)12)解析：23.已知矩阵，且矩阵 X 满足 AXA+BXB=AXB+BXA+E，其中 E 是 3 阶单位矩阵，求 X（分数：5.30）_ 正确答案：(由所给矩阵方程易求得 AX(AB)+BX(BA)=E，即AX(AB)一 BX(AB)=E，(AXBX)(AB)=(AB)X(AB)=E因AB=于是 X=(A 一 B)-1E(A-B)-1=(A-B)-12=解析：24.2013 年 设并求所有矩阵 C（分数：5.30），当 a，b 为何值时，存在矩阵 C 使得 ACCA=B，)=10，故 AB 可逆，且易求得_ 正确答案：(设由 ACCA=B 得到四元非齐次线性方程组：存在矩阵 C 使 ACCA=B 成立，上述方程组必有解为此将上述方程组的增广矩阵当 a一 1 或 b0 时，因当 a=一 1 且 b=0，因其基础解系为1=1，1，0T=1，一 1，1，0T，2=1，0，0，1T则对应齐次线性方程组的通解为 c11+c12而方程组的特解为1，0，0，0T故方程组的通解为X=c11，一 1，1，0T+c11，0，0，1T+1，0，0，0T，即 X=x1，x2，x3，x4T=c1+c2+1，一 c1，c1，c2T，亦即x1=c1+c2+1，x2=一 c1，x3=c1，x4=c2(c1，c2为任意常数)，故所求的所有矩阵为解析：2014 年 设，E 为三阶单位矩阵 （分数：10.6），其中 c1，c2为任意常数)，方程组无解用初等行变换化为阶梯型矩阵：，则=2n=4 方程组有解，且有无穷多解25.求方程组 AX=0 的一个基础解系； （分数：5.3）_ 正确答案： (为求 AX=0 的一个基础解系只需用初等行变换将 A 化为含最高阶单位阵的矩阵：由基础解系的简便求法即可得到 AX=0 的一个基础解系只含一个解向量 ，且=-1，2，3，1T)解析：26.求满足 AB=E 的所有矩阵 B （分数：5.3）_ 正确答案：(因 A 不可逆，需用元素法求出满足 AB=E 的所有矩阵由AB=E，A 为 34 矩阵，E 为 33 矩阵，则 B 必为 43 矩阵设其元素为 xij，有 B=(xij)43，则即因而得到下述三个线性方程组：对上述三方程组的增广矩阵使用初等行变换化为含最高阶单位阵的矩阵：对于方程组，由基础解系和特解的简便求法即得方程组的一个特解及对应的齐次线性方程组的一个基础解系， 分别为 1=2， 一 1， 一 1， 0T， =一1，2，3，1T于是方程组的通解为X1=x11， x21， x31， x41T=Y1+1=k1+1=-k1+2， 2k1一 1， 3k1一 1， k1T同样由得方程组的通解为X2=x12，x22，x32，x42T=Y2+2=k2+2=k2一 1，2，3，1T+6，一 3，一 4，0T=-k2+6，2k2-3，3k24，k2T由得方程组的通解为X3=x13，x23，x33，x43T=Y3+3=k3+3=k3一 1，2，3，1T+-1，1，1，0T=-k3一 1，2k3+1，3k3+1，k3T综上得到，B=X1，X2，X3=解析：设 A 是 n 阶可逆方阵， 将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为B （分数：10.6）27.证明 B 可逆； （分数：5.3）_ 正确答案：(B 是由 A 经初等变换(第 i 行与第 j 行对换)得来的经初等变换，矩阵的秩不变，故秩（B）=秩（A）=n，所以 B 可逆)( 其中 k1，k2，k3为任意常数)解析：28.求 AB-1 （分数：5.3）_ 正确答案：(由 B=EijA 得到 AB-1=A(EijA)-1=AA-1Eij-1=EEij=Eij)解析：考研数学三解答题专项强化真题试卷考研数学三解答题专项强化真题试卷 1 1 (总分：100.00，做题时间：60 分钟)解答题(总题数：9，分数：100.00)1.（分数：10.00）_ 正确答案：(解析：2.两台同样的自动记录仪， 每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布 先开动其中一台， 当其发生故障时停用而另一台自动开动 试求两台自动记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度 f(t)、数学期望和方差（分数：10.00）)_ 正确答案： (设第 i 台自动记录仪无故障工作的时间为 Xi， (i1， 2)，由题意，X1与 X2独立同分布，概率密度为且知 EX1EX2故 ETEX1EX2下而求 f(t)用卷积公式知：f(t)fX(1)fX(t1)di05e5f(t)d当 t0 时，f(t)0(积分中 0，t，f(t)0)；当 t0 时，f(t)0t5e5.5e5(t)d250ye5td25te5t故 f(t)解析：3.(91 年)某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为p1和 p2；销售量分别为 q1和 q2；需求函数分别为q12402p1，q21005p2总成本函数为 C3540(q1q2) 试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得总利润最大?最大)DX1DX2，TX1X2，DTDX1DX2利润为多少? （分数：10.00）_ 正确答案：(利润函数为L(p1q1p1q1)3540(q1q2) 32p102p1212p2005p221395 今由问题的实际意义可知，当 p180，P2120 时，厂家所获得的总利润最大，其最大利润为605)解析：4.(2017 年)已知方程范围（分数：10.00）_ 正确答案：(记记 g(x)=(1+x)ln2(1+x)一 x2，则g(x)=In2(1+x)+2In(1+x)一 2x，在区间(0，1)内有实根，确定常数 k 的取值当 x(0，1时，g(x)0，所以 g(x)g(0)又 g(0)=0，所以当 x(0，1时，g(x)0，从而 g(x)g(0)=0综上可知 f(x)0，即 f(x)单调递减由于所以方程 f(x)=0 在区间(0，1)内有实根当且仅当故常数 k 的取值范围为)解析：5.设 A 为 mn 实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵。已知矩阵 B=E+ATA，试证：当 0 时，矩阵 B 为正定矩阵。（分数：10.00）_ 正确答案：(方法一：BT=(E+ATA)T=ET+(ATA)T=E+AT(AT)T=E+ATA=B， 根据实对称矩阵的定义，故 B 是实对称矩阵。对任意的非零向量 x，xTAT=(Ax)T，有xT(E+ATA)x=xT(E)x+xT(ATA)x=xTx+xTATAx=xTx+(Ax)TAx，因 x0， 故有 xTx0。 (设 x=(a1， a2， ， an)T0， 则 ai， i=1， 2