2022年第二讲一维随机变量的分布和数字特征 .pdf

立身以立学为先，立学以读书为本0.第二讲一维随机变量的分布和数字特征1一维离散型随机变量1）一维离散型随机变量的分布（全面描述随机变量的统计规律）分布率及其性质，分布函数及其性质，求事件的概率，常用分布（两点，二项，泊松，几何，超几何）例 1下面表中所列出的是某个随机变量的分布列，其中正确的为（）AX0 1 2 P03 03 05 BX0 1 2 P01 02 04 CX0 1 2 n P21)31(212)31(21n)31(21DX0 1 2 n P212)21(3)21(n)21(2）一维离散型随机变量的数字特征（描述随机变量的局部性质）数学期望及性质，方差及性质，常用分布（两点，二项，泊松，几何）的数字特征。2一维连续型随机变量（全面描述随机变量的统计规律）1）一维连续型随机变量的分布函数和概率密度函数（全面描述随机变量的统计规律）分布函数的定义及性质，概率密度函数的性质，求事件的概率，常用分布（均匀，指数，正态）。例 2设函数)(xf在区间,ba上等于xsin，而在此区间外等于0；若)( xf可以作为某连续随机变量的概率密度函数，则区间,ba为A2,0；B,0；C0,2；D23,0例 3在下列函数中，可以做某随机变量X的分布函数的是（）A2,1;21,2 .0; 10,3 .0;0,0)(xxxxxF；B1,1;10,8 .0;0,5 .0)(xxxxxF；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页立身以立学为先，立学以读书为本C6,1;65,4.0;50,1 .0;0,0)(xxxxxxF；D0, 1;02,sin;2, 0)(xxxxxF2）一维连续型随机变量的数字特征（描述随机变量的局部性质）数学期望及性质，方差及性质，常用分布（均匀，指数，正态）的数字特征。例 4已知随机变量的X的概率密度函数为0,00,2exp)(22xxxaxxf，求常数a，EX和DX。3一维随机变量函数的分布和数字特征1）自变量离散，函数离散2）自变量连续，函数连续例5设X的概率密度函数为0, 00,exp2)(23xxxxxf，试求32XY，XZln的概率密度函数。解：3,03,23exp23)(23yyyyyfY),(,exp 2)(24zeezfzzZ例 6设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作时间为5 小时，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障情况下工作2 小时也关机，试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数)(yFY解：据题意，)51( EX，且2, 22,XXXY2,120,10,02, 12,)(yyeyyyyXPyYPyFyY例 7设随机变量X具有单调递增且连续的分布函数)( xF，求)(XFY的概率分布。解：)()(yXFPyFY，因为1 ,0)(XF，所以，当0y时，0)()(PyXFPyFY；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页立身以立学为先，立学以读书为本当1y时，1)()(PyXFPyFY；当)1 ,0y时，由)(xF的连续性和单调性，yxFxXPxFFXPyXFPyFY)()()()(1；因此，1 ,0 UY3）自变量连续，函数离散例 8设随机变量X的概率密度函数为elsexxxf,010,2)(。现对X进行 n 次独立重复观测，以nV表示观测值不大于0.1 的次数，试求nV的概率分布。)01.0 ,(nBVn4有的随机变量即非离散型也非连续型例 9设随机变量X的绝对值不大于1，411XP，811XP，而在事件11X出现的条件下，X落在)1 ,1(内任一子区间的条件概率与该子区间长度成正比，试求X的分布函数。解：当1x时，0)(xFX；当1x时，1)(xFX。当)1 ,1(x时，)1()1 , 1(| ,1(xkXxXP，又1)1 ,1(|)1 ,1(XXP，2/1),11(1kk，即)1(21)1,1(|),1(xXxXP，85111)1 ,1(XPXPXP)1(16585)1(21)1 ,1()1 ,1(| ,1(,1(xxXPXxXPxXP当)1 ,1x时，), 1(1)(xXPXPxFX1675)1(16581xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页立身以立学为先，立学以读书为本X的分布函数为1, 1; 11,1675; 1, 0)(xxxxxF注意：以上分布函数不是连续函数，因此该随机变量即非离散型也非连续型。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页