2022年初中数学专题：折叠问题 .pdf
九年级第 8 讲 专题精讲1 专题八折叠问题学习要点与方法点拨：出题位置：选择、填空压轴题或压轴题倒数第二题折叠问题中，常出现的知识时轴对称。折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查问题有求折点位置、求折线长、 折纸边长周长、 求重叠面积、 求角度、 判断线段之间关系等；轴对称性质 -折线，是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必要。基本图形：在矩形 ABCD 中，将 ABF沿 BE折叠至 FBE,可得何结论？（1）基本图形练习：如图，将三角形纸片ABC沿过点 A的直线折叠，使得AC落在 AB上，折痕为AD ，展开纸片；再次折叠，使得A和 D点重合，折痕为EF,展开纸片后得到AEF,则 AEF是等腰三角形，对吗？（2）折叠中角的考法与做法：将矩形纸片ABCD 沿过点 B的直线折叠，使得A落在 BC边上的点F 处，折痕为BE （图 1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在 BE边上的点D，折痕为EG （图 2）, 再展开纸片，求图（3）中角 a 的大小。结论：（ 1）全等；（ 2）垂直。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页九年级第 8 讲 专题精讲2 （3）折叠中边的考法与做法：如图，将边长为6cm的正方形ABCD 折叠，使点D落在 AB边中点 E处，折痕为 FH，点 C落在 Q处， EQ与 BC交于点 G，则 EBG的周长是多少？模块精讲例 1.（ 2014?扬州）已知矩形ABCD 的一条边AD=8 ，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在 CD 边上的 P点处（ 1）如图 1，已知折痕与边BC 交于点 O，连结 AP、OP、OA 求证： OCP PDA；若 OCP 与 PDA 的面积比为1：4，求边 AB 的长；（ 2）若图 1 中的点 P 恰好是 CD 边的中点，求OAB 的度数；（ 3）如图 2，擦去折痕AO、线段 OP，连结 BP动点 M 在线段 AP上（点 M 与点 P、A 不重合），动点N 在线段 AB 的延长线上，且BN=PM，连结 MN 交 PB于点 F，作 MEBP于点 E试问当点M、 N 在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度解题步骤：第一步：将已知条件标在图上；第二步：设未知数，将未知数标在图上；第三步：列方程，多数情况可通过勾股定理解决。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页九年级第 8 讲 专题精讲3 例 2.（2013?苏州）如图，在矩形ABCD 中，点 E 是边 CD 的中点，将 ADE 沿 AE 折叠后得到 AFE，且点 F 在矩形 ABCD 内部将 AF 延长交边BC 于点 G若=，则=用含 k 的代数式表示）例 3、 （2013?苏州）如图，点O 为矩形 ABCD 的对称中心， AB=10cm ，BC=12cm，点 E、F、G 分别从 A、 B、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E 的运动速度为1cm/s，点 F的运动速度为3cm/s，点 G 的运动速度为 1.5cm/s，当点 F 到达点 C（即点 F 与点 C 重合）时，三个点随之停止运动在运动过程中， EBF 关于直线EF 的对称图形是EBF 设点 E、F、G 运动的时间为t（单位： s）（ 1）当 t=s时，四边形EBFB 为正方形；（ 2）若以点E、B、F 为顶点的三角形与以点F，C，G 为顶点的三角形相似，求t 的值；（ 3）是否存在实数t，使得点B 与点 O 重合？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页九年级第 8 讲 专题精讲4 例 4、如图，已知矩形纸片ABCD ，AD=2 ，AB=4 将纸片折叠，使顶点A与边 CD上的点 E重合，折痕FG分别与 AB ，CD交于点 G，F， AE与 FG交于点 O （ 1）如图 1，求证： A，G ，E，F四点围成的四边形是菱形；（ 2）如图 2，当 AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段 BC的中点；（ 3）如图 2，在（ 2）的条件下，求折痕FG的长例 5、已知 AD BC， ABAD ，点 E，点 F 分别在射线AD，射线 BC 上若点E 与点 B 关于 AC 对称，点 E 与点 F关于 BD 对称， AC 与 BD 相交于点 G，则（）A1+tanADB=B2BC=5CF C AEB+22 = DEF D4cosAGB=26精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页九年级第 8 讲 专题精讲5 课堂练习1、2、（ 2014 连云港）如图1，将正方形纸片ABCD 对折，使 AB 与 CD 重合，折痕为EF如图 2，展开后再折叠一次，使点 C 与点 E 重合，折痕为GH，点 B 的对应点为点M，EM 交 AB 于 N，则 tanANE=_图 3 图 4 3、（ 2014?徐州）如图3，在等腰三角形纸片ABC 中， AB=AC ， A=50 ，折叠该纸片，使点A 落在点 B 处，折痕为 DE，则 CBE=_ 4、（ 2014?扬州）如图4，ABC 的中位线 DE=5cm ，把 ABC 沿 DE 折叠，使点A 落在边 BC 上的点 F 处，若 A、F 两点间的距离是8cm，则 ABC 的面积为_cm25、（ 2013?扬州）如图1，在梯形 ABCD 中， AB CD， B=90 ，AB=2 ，CD=1 ，BC=m，P 为线段 BC 上的一动点，且和 B、C 不重合，连接PA，过 P 作 PEPA 交 CD 所在直线于E设 BP=x，CE=y（ 1）求 y 与 x 的函数关系式；（ 2）若点 P 在线段 BC 上运动时，点E 总在线段 CD 上，求 m 的取值范围；（ 3）如图 2，若 m=4，将 PEC 沿 PE 翻折至 PEG 位置， BAG=90 ，求 BP 长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页九年级第 8 讲 专题精讲6 课后巩固习题1、（ 2014?淮安）如图，在三角形纸片ABC 中， AD 平分 BAC ，将 ABC 折叠，使点A 与点 D 重合，展开后折痕分别交 AB 、AC 于点 E、F，连接 DE、DF求证：四边形AEDF 是菱形2、（ 2013?宿迁）如图，在梯形ABCD 中， AB DC， B=90 ，且 AB=10 ，BC=6 ，CD=2 点 E 从点 B 出发沿 BC方向运动，过点E 作 EFAD 交边 AB 于点 F将 BEF 沿 EF 所在的直线折叠得到GEF，直线 FG、EG 分别交 AD于点 M、N，当 EG 过点 D 时，点 E 即停止运动设BE=x ，GEF 与梯形 ABCD 的重叠部分的面积为y（ 1）证明 AMF 是等腰三角形；（ 2）当 EG 过点 D 时（如图（ 3），求 x 的值；（ 3）将 y 表示成 x 的函数，并求y 的最大值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页九年级第 8 讲 专题精讲7 3、如图 , 在矩形 ABCD 中,AB=6,BC=8, 把 BCD沿着对角线BD折叠 , 使点 C落在 C 处,BC 交 AD于点 G,E,F, 分别是 CD和 BD上的点 , 线段 EF交 AD于点 H,把 FDE沿着 EF折叠 , 使点 D落在 D处, 点 D 恰好与点 A重合 . （ 1）求证 : 三角形 ABG CDG （ 2）求 tan ABG的值；（ 3）求 EF的长。3、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
