2022年初中数学动点问题总结 .pdf

学习必备欢迎下载初二动点问题1. 如图， 在直角梯形 ABCD 中， ADBC， B=90 ， AD=24cm ， AB=8cm ，BC=26cm ，动点 P 从 A 开始沿 AD 边向 D 以 1cm/s 的速度运动；动点Q从点 C 开始沿 CB 边向 B 以 3cm/s 的速度运动 P、Q 分别从点 A、C 同时出发，当其中一点到达端点时， 另外一点也随之停止运动， 设运动时间为 ts（1）当 t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？（2）当 t 为何值时，四边形PQCD 为等腰梯形？（3）当 t 为何值时，四边形PQCD 为直角梯形？分析：（1）四边形 PQCD 为平行四边形时PD=CQ （2）四边形 PQCD 为等腰梯形时 QC-PD=2CE （3）四边形 PQCD 为直角梯形时 QC-PD=EC 所有的关系式都可用含有t 的方程来表示，即此题只要解三个方程即可解答：解： （1）四边形 PQCD 平行为四边形PD=CQ 24-t=3t 解得： t=6 即当 t=6 时，四边形 PQCD 平行为四边形（2）过 D 作 DEBC 于 E 则四边形 ABED 为矩形BE=AD=24cm 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习必备欢迎下载EC=BC-BE=2cm 四边形 PQCD 为等腰梯形QC-PD=2CE 即 3t-（24-t）=4 解得： t=7（s）即当 t=7（s）时，四边形 PQCD 为等腰梯形（3）由题意知： QC-PD=EC 时，四边形 PQCD 为直角梯形即 3t-（24-t）=2 解得： t=6.5（s）即当 t=6.5 （s）时，四边形 PQCD 为直角梯形点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中2. 如图， ABC 中，点 O 为 AC 边上的一个动点，过点O 作直线 MNBC，设MN 交BCA 的外角平分线CF 于点 F，交ACB 内角平分线 CE 于 E（1）试说明 EO=FO ；（2）当点 O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形并证明你的结论；（3）若 AC 边上存在点 O，使四边形 AECF 是正方形，猜想 ABC 的形状并证明你的结论分析：（1）根据 CE 平分 ACB ，MNBC，找到相等的角，即 OEC=ECB ，再根据等边对等角得OE=OC ，同理 OC=OF ，可得 EO=FO （2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形（3）利用已知条件及正方形的性质解答解答：解： （1）CE 平分 ACB ，ACE=BCE ，MNBC，OEC=ECB ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习必备欢迎下载OEC=OCE，OE=OC，同理， OC=OF ，OE=OF（2）当点 O 运动到 AC 中点处时，四边形AECF 是矩形如图 AO=CO ，EO=FO ，四边形 AECF 为平行四边形，CE 平分 ACB ，ACE= ACB ，同理， ACF= ACG ，ECF=ACE+ACF= （ ACB+ ACG ）= 180 =90 ，四边形 AECF 是矩形（3）ABC 是直角三角形四边形 AECF 是正方形，ACEN，故 AOM=90 ，MNBC，BCA= AOM ，BCA=90 ，ABC 是直角三角形点评：本题主要考查利用平行线的性质“ 等角对等边 ” 证明出结论（1） ， 再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2） ，再对（ 3）进行判断解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用3. 如图，直角梯形ABCD 中，ADBC，ABC=90 ，已知 AD=AB=3 ，BC=4，动点 P 从 B 点出发，沿线段 BC 向点 C 作匀速运动；动点Q 从点 D 出发，沿线段 DA 向点 A 作匀速运动过Q 点垂直于 AD 的射线交 AC 于点 M，交 BC于点 NP、Q 两点同时出发，速度都为每秒1 个单位长度当Q 点运动到 A点，P、Q 两点同时停止运动设点Q 运动的时间为 t 秒（1）求 NC，MC 的长（用 t 的代数式表示）；（2）当 t 为何值时，四边形PCDQ 构成平行四边形；（3） 是否存在某一时刻， 使射线 QN 恰好将 ABC 的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；（4）探究： t 为何值时， PMC 为等腰三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页学习必备欢迎下载分析：（1）依据题意易知四边形ABNQ 是矩形 NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD 已知， DQ 就是 t，即解； AB QN， CMN CAB ，CM：CA=CN ：CB， （2）CB、CN 已知，根据勾股定理可求CA=5 ，即可表示 CM；四边形 PCDQ 构成平行四边形就是PC=DQ ，列方程 4-t=t 即解；（3）可先根据 QN 平分 ABC 的周长，得出 MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出 t 的值然后根据得出的t 的值，求出 MNC 的面积，即可判断出 MNC 的面积是否为 ABC 面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t 值（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：当 MP=MC 时，那么 PC=2NC ，据此可求出 t 的值当 CM=CP 时， 可根据 CM 和 CP 的表达式以及题设的等量关系来求出t 的值当 MP=PC 时，在直角三角形MNP 中，先用 t 表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t 的值综上所述可得出符合条件的t 的值解答 : 解： （1）AQ=3-t CN=4-（3-t）=1+t 在 RtABC 中，AC2=AB2+BC2=32+42 AC=5 在 RtMNC 中，cos NCM= = ，CM= （2）由于四边形 PCDQ 构成平行四边形PC=QD，即 4-t=t 解得 t=2（3）如果射线 QN 将ABC 的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB 即：（1+t）+1+t= （3+4+5 ）解得： t= （5 分）而 MN= NC= （1+t）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习必备欢迎下载SMNC= （1+t）2= （1+t）2 当 t= 时，SMNC=（1+t）2= 4 3 不存在某一时刻t，使射线 QN 恰好将 ABC 的面积和周长同时平分（4）当 MP=MC 时（如图 1）则有： NP=NC 即 PC=2NC 4-t=2 （1+t）解得： t= 当 CM=CP 时（如图 2）则有：（1+t）=4-t 解得： t= 当 PM=PC 时（如图 3）则有：在 RtMNP 中，PM2=MN2+PN2 而 MN= NC= （1+t）PN=NC-PC= （1+t）-（4-t）=2t-3 （1+t）2+（2t-3 ）2=（4-t）2 解得： t1= ，t2=-1（舍去）当 t= ，t= ，t= 时， PMC 为等腰三角形点评：此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质考查学生分类精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习必备欢迎下载讨论和数形结合的数学思想方法4. 如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm ，P，Q，M，N 分别从 A，B，C，D 出发沿 AD，BC，CB，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止已知在相同时间内，若BQ=xcm （x0 ） ，则 AP=2xcm ，CM=3xcm ，DN=x2cm （1）当 x 为何值时，以 PQ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或 BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当 x 为何值时，以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形；（3）以 P，Q，M，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由分析：以 PQ，MN 为两边，以矩形的边（ AD 或 BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N 重合且点Q、M 不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm ，BQ+MCBC即 x+3x20cm；或者点 Q、M 重合且点 P、N 不重合，此时 AP+ND AD即 2x+x220cm ，BQ+MC=BC 即 x+3x=20cm 所以可以根据这两种情况来求解x 的值以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q 只能在点 M 的左侧当点 P 在点 N 的左侧时， AP=MC ，BQ=ND ；当点 P 在点 N的右侧时， AN=MC ，BQ=PD 所以可以根据这些条件列出方程关系式如果以 P，Q，M，N 为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND AD即2x+x220cm，BQ+MCBC即 x+3x20cm，AP=ND 即 2x=x2 ，BQ=MC 即x=3x ，x0 这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形解答：解： （1）当点 P 与点 N 重合或点 Q 与点 M 重合时，以 PQ，MN 为两边，以矩形的边（ AD 或 BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形当点 P 与点 N 重合时，由 x2+2x=20 ，得 x1= -1，x2=- -1（舍去） 因为 BQ+CM=x+3x=4 （-1）20，此时点 Q 与点 M 不重合所以 x= -1 符合题意当点 Q 与点 M 重合时，由 x+3x=20 ，得 x=5此时 DN=x2=25 20，不符合题意故点 Q 与点 M 不能重合精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学习必备欢迎下载所以所求 x 的值为-1（2）由（ 1）知，点 Q 只能在点 M 的左侧，当点 P 在点 N 的左侧时，由 20-（x+3x ）=20-（2x+x2 ） ，解得 x1=0 （舍去） ，x2=2 当 x=2 时四边形 PQMN 是平行四边形当点 P 在点 N 的右侧时，由 20-（x+3x ）=（2x+x2 ）-20，解得 x1=-10 （舍去） ，x2=4 当 x=4 时四边形 NQMP 是平行四边形所以当 x=2 或 x=4 时，以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形（3）过点 Q，M 分别作 AD 的垂线，垂足分别为点E，F由于 2xx，所以点 E 一定在点 P 的左侧若以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是等腰梯形，则点 F 一定在点 N 的右侧，且 PE=NF，即 2x-x=x2-3x 解得 x1=0 （舍去） ，x2=4 由于当 x=4 时，以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，所以以 P，Q，M，N 为顶点的四边形不能为等腰梯形点评：本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点5. 如图， 在梯形 ABCD 中， ADBC， B=90 ， AB=14cm ， AD=15cm ， BC=21cm ，点 M 从点 A 开始，沿边 AD 向点 D 运动，速度为 1cm/s ；点 N 从点 C 开始，沿边 CB 向点 B 运动，速度为 2cm/s 、点 M、N 分别从点 A、C 出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒（1）当 t 为何值时，四边形MNCD 是平行四边形？（2）当 t 为何值时，四边形MNCD 是等腰梯形？分析：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习必备欢迎下载（1）根据平行四边形的性质，对边相等，求得t 值；（2）根据等腰梯形的性质，下底减去上底等于12，求解即可解答：解： （1） MDNC，当 MD=NC ，即 15-t=2t ，t=5 时，四边形 MNCD 是平行四边形；（2） 作 DEBC， 垂足为 E， 则 CE=21-15=6 ， 当 CN-MD=12 时，即 2t-（15-t）=12，t=9 时，四边形 MNCD 是等腰梯形点评：考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容6. 如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，C=90 ，BC=16 ，DC=12 ，AD=21 ，动点 P 从点 D 出发，沿射线 DA 的方向以每秒 2 个单位长的速度运动，动点Q从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点B 运动， P、Q 分别从点 D、C 同时出发，当点 Q 运动到点 B 时，点 P 随之停止运动，设运动时间为 t（s） （1）设 BPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系；（2）当 t 为何值时，以 B、P、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？分析：（1）若过点 P 作 PMBC 于 M，则四边形 PDCM 为矩形，得出 PM=DC=12 ，由 QB=16-t ，可知： s= PM QB=96-6t ；（2）本题应分三种情况进行讨论，若PQ=BQ ，在 RtPQM 中，由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习必备欢迎下载PQ2=PM2+MQ2 ，PQ=QB ，将各数据代入，可将时间t 求出；若 BP=BQ ，在 RtPMB 中，由 PB2=BM2+PM2 ，BP=BQ ，将数据代入，可将时间 t 求出；若 PB=PQ ，PB2=PM2+BM2 ，PB=PQ ，将数据代入，可将时间t 求出解答：解： （1）过点 P 作 PMBC 于 M，则四边形 PDCM 为矩形PM=DC=12 ，QB=16-t ，s= ?QB?PM= （16-t ） 12=96-6t （0t ） （2）由图可知， CM=PD=2t ，CQ=t，若以 B、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：若 PQ=BQ ， 在 RtPMQ 中， PQ2=t2+122 ， 由 PQ2=BQ2 得 t2+122=（16-t）2，解得；若 BP=BQ ， 在 RtPMB 中， PB2=（16-2t ） 2+122， 由 PB2=BQ2 得 （16-2t ）2+122= （16-t）2，此方程无解， BP PQ若 PB=PQ ，由 PB2=PQ2 得 t2+122= （16-2t ）2+122 得，t2=16（不合题意，舍去）综上所述，当或时，以 B、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形点评：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学习必备欢迎下载本题主要考查梯形的性质及勾股定理在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象7. 直线 y=- 34x+6 与坐标轴分别交于A、B 两点，动点 P、Q 同时从 O 点出发，同时到达 A 点，运动停止点Q 沿线段 OA 运动，速度为每秒1 个单位长度，点 P 沿路线 O? B? A 运动（1）直接写出 A、B 两点的坐标；（2）设点 Q 的运动时间为 t（秒） ，OPQ 的面积为 S，求出 S 与 t 之间的函数关系式；（3）当 S= 485 时，求出点 P 的坐标，并直接写出以点O、P、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标分析：（1）分别令 y=0，x=0 ，即可求出 A、B 的坐标；（2） ）因为 OA=8 ，OB=6 ，利用勾股定理可得AB=10 ，进而可求出点Q 由 O到 A 的时间是 8 秒，点 P 的速度是 2，从而可求出，当 P 在线段 OB 上运动（或 0t 3）时， OQ=t，OP=2t ，S=t2 ，当 P 在线段BA 上运动（或 3t 8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t ，作 PDOA 于点 D，由相似三角形的性质，得PD=48-6t5 ，利用 S= 12OQ PD，即可求出答案；（3）令 S= 485，求出 t 的值，进而求出OD、PD，即可求出 P 的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M 的坐标解答：解： （1）y=0，x=0，求得 A（8，0）B（0，6） ，（2）OA=8，OB=6 ，AB=10 点 Q 由 O 到 A 的时间是81=8（秒） ，点 P 的速度是6+108=2 （单位长度 /秒） 当 P 在线段 OB 上运动（或 O t 3 ）时，OQ=t ，OP=2t ，S=t2当 P 在线段 BA 上运动（或 3t 8）时，OQ=t ，AP=6+10-2t=16-2t，如图，做 PDOA 于点 D，由 PDBO=APAB ，得 PD= 48-6t5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习必备欢迎下载S= 12OQ?PD= - 35t2+245t （3）当 S= 485 时， 48512 3 6点 P 在 AB 上当 S= 485 时，- 35t2+245t= 485 t=4 PD= 48-645= 245 ，AD=16-2 4=8 AD= 82-(245)2= 325 OD=8- 325= 85 P（ 85， 245）M1（ 285， 245） ，M2（- 125， 245） ，M3（ 125，- 245）点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页