考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编7.pdf

考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 7 (总分：88.00，做题时间：90 分钟) 一、 选择题(总题数：10，分数：20.00) 1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_ 解析：2.设有直线（分数：2.00）A. B. C. D. 解析：解析：直线 L 1的方向向量S 1=1 ，一 2，1)，直线 L 2的方向向量夹角 的余弦为3.设有直线 L：（分数：2.00）A.平行于 B.在 上C.垂直于 D.与 斜交解析：解析：由于交成直线 L 的两平面的法向量与 的法向量均垂直，即 1，3，24，一 2，1 2，一 1，一 104，一 2，1 故 的法向量与 L 的方向向量平行，因此直线 L 垂直于 4.在曲线 x=t，y=一 t ，z=t 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切线（分数：2.00）A.只有 1 条B.只有 2 条C.至少有 3 条D.不存在解析：解析：曲线 x=t，y=一 t ，z=t 的切线向量为 =1，一 2t，3t ) 而平面 x+2y+z=4 的法线向量为n=1 ，2，1 由题设知 n，则 n=1-4t+3t =0 此方程只有两个实根，所以所求切线只有两条5.二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0) 处两个偏导数 f x(x 0，y 0) ，f y(x 0，y 0) 存在是 f(x，y)在该点连续的（分数：2.00）A.充分条件而非必要条件B.必要条件而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件又非必要条件解析： 解析： 多元函数在一点上连续性与偏导数存在之间没有直接关系， 即“连续”未必“偏导数存在”；“偏导数存在”亦未必“连续”，所以应选(D)223223则 L 1与 L 2的夹角为从而直线 L 1和 L 2的因此及平面 ：4x-2y+z-2=0，则直线 L 6.已知A.一 1B.0C.1为某函数的全微分，则 a 等于（分数：2.00）D.2解析： 解析： 令由于 Pdx+Qdy 为某个函数的全微分， 则即(a-2)x 一 ay=一 2y，(a 一 2)x=(a-2)y 仅当 a=2 时，上式恒成立7.二元函数（分数：2.00）A.连续，偏导数存在B.连续，偏导数不存在C.不连续，偏导数存在D.不连续，偏导数不存在解析：解析：令 y=kx，则当 k 不同时，便不同，故极限不存在，因而 f(x，y)在(0，在点(0，0)处0)点处不连续，但根据偏导数的定义知的偏导数存在同理可得f y(0 ，0)=0 由此可见，在点(0，0)处 f(x，y)8.设函数 f(x，y)在点(0，0)附近有定义，且 f x(0 ，0)=3，f y(0 ，0)=1，则（分数：2.00）A.B.曲面 z=f(x，y)在点(0，0，f(0，0)的法向量为3，1，1C.曲线D.曲线在点(0，0，f(0，0)的切向量为1，0，3在点(0，0，f(0，0)的切向量为3，0，1的参数方程为则该曲线在(0，0，f(0，0)的切向量为1 ，0，f x(0 ，解析：解析：曲线0)=1，0，3 9.考虑二元函数的下面 4 条性质： f(x，y)在点(x 0，y 0) 处连续； f(x，y)在点(x 0，y 0) 处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x ，y )处可微； f(x，y)在点(x ，y )处的两个偏导数存在 若0000用“PQ”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有（分数：2.00）A.B.C.D.解析：解析：由于 f(x，y)在点(x 0，y 0) 处的两个偏导数连续是 f(x，y)在点(x 0，y 0) 处可微的充分条件，而 f(x，y)在点(x 0，y 0) 可微是 f(x，y)在点(x 0，y 0) 处连续的充分条件，故应选(A)10.已知函数 f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且（分数：2.00）A.点(0，0)不是 f(x，y)的极值点B.点(0，0)是 f(x，y)的极大值点，则C.点(0，0)是 f(x，y)的极小值点D.根据所给条件无法判断点(0，0)是否为 f(x，y)的极值点解析：解析：由 f(x，y)在点(0，0)的连续性及222222424422知 f(0，0)=0 且422则 f(x，y)一 xy+(x +y 2) +a(x +y ) 令 y=x，得f(x ，x)=x +4x +4ax =x +o(x ) 令 y=一 x，得f(x ，一 x)=一x +4x +4ax = 一 x +o(x ) 从而 f(x，y)在(0，0)点的邻域内始终可正可负，又 f(0，0)=0，由极值定义可知 f(x，y)在(0，0)点没有极值，故应选(A)二、 填空题(总题数：11，分数：22.00) 11.与两直线（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x-y+z=0）解析：解析：所求平面法向量可取为由题可知所求平面过原点，则所求平面方程为 一及都平行，且过原点的平面方程为1 1*(x0)+1*(y0)一 1*(z0)=0 即x y+z=0 12.过点 M(1，2，一 1)且与直线（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x 一 3y 一 z+4=0）解析：解析： 直线的方向向量为一 1， 3，1 该向量是所求平面的一个法向量， 所求平面过点 M(1，垂直的平面方程是1 2，一 1)，则所求平面为 一(x 一 1)+3(y 一 2)+(z+1)=0 即x 一 3yz+4=0 13.已知两条直线的方程是（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x 一 3y+z+2=0）解析：解析：平面过直线 L 1，则过 L 1上的点(1，2，3)；平面的法向量 n 既垂直于 L 1，又垂直于 L 2，则可取则所求平面为(x 一 1)一 3(y 一 2)+(z 一 3)=0 即x 一 3y+z+2=0 则过 L 1且平行于 L 2的平面方程是1 14.设(ab)c=2，则(a+b)(b+c)(c+a)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：(a+b)(b+c)*(c+a)=(a+b)b*(c+a)+(a+b)c*a=(ab)*c+(bc)*a=(ab)*c+(ab)*c=415.设一平面经过原点及(6，一 3，2)，且与平面 4xy+2z=8 垂直，则此平面方程为1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2x+2y 一 3z=0）解析：解析：设 M(x，y，z)是所求平面上任一点，则向量x，y，z，6，一 3，2)以及向量4，一 1，2)共面，故即2x+2y 一 3z=0 16.点(2，1，0)到平面 3x+4y+5z=0 的距离 d= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由点到平面距离公式知2217.已知曲面 z=4 一 x 一 y 上点 P 处的切平面平行于平面 2x+2y+z 一 1=0，则点 P 的坐标是1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，1，2)）解析：解析：设 P 点的坐标为(x 0，y 0，z 0) ，则曲面在 P 点的法向量为n= 一 2x 0，一 2y 0，一 1 又因为切平面平行于平面 2x+2y+z-1=0，则18.由方程从而可得 x 0=1 ，y 0=1 代入曲面方程解得 z 0=2 所确定的函数 z=z(x，y)在点(1，0，一 1)处的全微分 dz= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：19.由曲线由隐函数求导法求出处的指向外侧的单位法向量为1 绕 y 轴旋转一周得到的旋转面在点（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：旋转面方程为 3(x +z )+2y =12 令F(x ，y，z)=3(x +z )+2y 一 12=0 则F x=6x ，F y=4y ，F z=6z 从而所得旋转面在点x222222处向外侧的法向量为20.曲面 ze +2xy=3 在点(1，2，0)处的切平面方程为1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2x+y 一 4=0）解析：解析：令 F(x，y，z)=ze +2xy 一 3 则F x=2y ，F z=1 一 e ，F y=2x 曲面 ze +2xy=3在点(1，2，0)处的法向量为n=4 ，2，0 故所求切平面方程为 4(x 一 1)+2(y 一 2)=0 即2x+y 一 4=0 21.设，则在点处的值为1 zzz（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、 解答题(总题数：22，分数：46.00) 22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_ 解析：23.已知 A 点和 B 点的直角坐标分别为(1，0，0)与(0，1，1)线段 AB 绕 Z 轴旋转一周所成的旋转曲面为S，求由 S 及两平面 z=0，z=1 所围成立体的体积（分数：2.00）_ 正确答案：(正确答案：过 A(1，0，0)和 B(0，1，1)的直线方程为在 z 轴上截距为 z 的水平面截此旋转体所得截面为一个圆，此截面与 z 轴交于点 Q(0，0，z)，与 AB 交于点 M(1 一 z，z，z)，故截面圆半径解析：24.求直线 L：面的方程（分数：2.00）_ 正确答案：(正确答案：点(1，0，1)在 l 上，所以该点也在平面 1上，于是 1的方程可设为 1：A(x-1)+B(y-0)+C(z 一 1)=0 1的法向量应与 l 的方向向量垂直又应与平面 的法向量垂直，故有在平面 ：xy+2z-1=0 上的投影直线 l 0的方程，并求 l 0绕 y 轴旋转一周所成曲从而截面面积S(z)= (12z+2z ) 旋转体的体积2) A+B-C=0；A-B+2C=0 由此解得A ：B：C=一 1：3：2，于是 1的方程为x-3y-2z+1=0 (*) 从而 l 0的方程为解析：椭球面 S 1是椭圆绕 x 轴旋转而成，圆锥面 S 2是由过点(4，0)且与椭圆相切的直线绕 x设 l 0绕 y 轴旋转一周所成的曲面为 S，点 P(x p，y p，z p)S，对于固定的 y p=y 222去掉下角 P，即得 S 的方程为4x 一 17y +4z +2y-1=0) 轴旋转而成（分数：4.00）(1).求 S 1及 S 2的方程；（分数：2.00）_ 正确答案：(正确答案：椭球面 S 1的方程为切线方程为S 2的方程为解析：(2).求 S 1与 S 2之间的立体体积（分数：2.00）_ 正确答案：(正确答案：S 1与 S 2之间的体积等于一个底面半径为部分椭球体体积 V 之差，其中解析：25.设 f 和 g 为连续可微函数，u=f(x，xy)，v=g(x+xy)，求（分数：2.00）_ 正确答案：(正确答案：根据复合函数求导公式有解析：26.设，其中 f 和 g 具有二阶连续导数，求) 故所求体积为) 、高为 3 的锥体体积与设切点为(x 0，y 0) ，则所以切线方程为在(x 0，y 0) 处的，从而圆锥面将 x=4，y=0 代入切线方程得 x 0=1，从而，即(x-4) 一 4y 一 4z =0 ) 222（分数：2.00）_ 正确答案：(正确答案：由复合函数求导公式得解析：27.设 z=f(2xy)+g(x，xy)，其中函数 f(t)二阶可导，g(u，v)具有连续二阶偏导数，求（分数：2.00）_ 正确答案：(正确答案：解析：28.设 z=f(2xy，ysinx)，其中 f(u，v)具有二阶连续偏导数，求（分数：2.00）) ) _ 正确答案：(正确答案：由复合函数求导法则得解析：29.设 n 是曲面 2x +3y +z =6 在点 P(1，1，1)处的指向外侧的法向量，求函数 u= 方向 n 的方向导数（分数：2.00）_ 正确答案：(正确答案：曲面 2x +3y +z =6 在点 P(1，1，1)处指向外侧的法向量为n=4i+6j+2k 单位化后得解析：30.函数 u=ln(x +y +z ) 在点 M(1，2，一 2)处的梯度（分数：2.00）_ 正确答案：(正确答案：解析：解析：x222222222) 在点 P 处沿) =_ ) 2231.设 z=f(e siny ，x +y ) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求（分数：2.00）_ 正确答案：(正确答案：令 e siny=u ，x +y =v ，则解析：32.设 u=f(x，y，z)， (x ，e ，z)=0，y=sinx，其中 f， 都具有一阶连续偏导数，且求2yx22) 0，（分数：2.00）_ 正确答案：(正确答案：解析：33.函数在点 A(1，0，1)处沿点 A 指向点 B(3，一 2，2)方向的方向导数为_) （分数：2.00）_ 正确答案：(正确答案：解析：解析：34.设变换可把方程简化为，求常数 a ) （分数：2.00）_ 正确答案：(正确答案：解得a=3) 解析：35.设直线 l：（分数：2.00）_ 正确答案：(正确答案：曲面 z=x +y 在点(1，一 2，5)处的法向量为n=2 ，一 4，一 1 于是切平面方程为2(x 一 1)一 4(y+2)一(z 一 5)=0 2x-4yz 一 5=0 由解析：36.设具有二阶连续导数，则=_得y= 一 xb z=x 一 3+a(一 x 一 b) 代入22将上述结果代入原方程并整理得由题设知 6+a 一 a =0， 10+5a0 2在平面 上，而平面 与曲面 z=x +y 相切于点(1，一 2，5)，求 a，b 之值22(*)式得2x+4x+4b 一 x+3+ax+ab 一 50 因而有5+a=0 ，4b+ab 一 2=0 由此解得a= 一 5b=一 2) （分数：2.00）_ 正确答案：(正确答案：yf(xy)+ (x+y)+y (x+y) 解析：解析：由复合函数求导法知37.设 y=y(x)，z=z(x)是由方程 z=xf(x+y)和 F(x，y，z)=0 所确定的函数，其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求（分数：2.00）_ 正确答案：(正确答案：等式 z=xf(x+y)和 F(x，y，z)=0 两端对 x 求导得解析：38.曲面 x +2y +3z =21 在点(1，一 2，2)处的法线方程为_（分数：2.00）_ 正确答案：(正确答案：) 222222) 解析：解析：令 F(x，y，z)=x +2y +3z 一 21 则 F x(1 ，一 2，2)=1，F y(1 ，一 2，2)=一 4，F z(1，一 2，2)=6 故所求法线方程为39.设，其中 f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求（分数：2.00）_ 正确答案：(正确答案：解析：40.设函数 z=f(x，y)在点(1，1)处可微，且 f(1，1)=1，（分数：2.00）， (x)=f(x，f(x，x)求) _ 正确答案：(正确答案： (1)=f(1，f(1，1)=f(1，1)=1解析：设有一小山，取它的底面所在的平面为 xOy 坐标面，其底部所占的区域为 D=(x，y)x +y 一 xy75)，小山的高度函数为 h(x，y)=75 一 x 一 y +xy （分数：4.00）(1).设 M(x 0，y 0) 为区域 D 上的一个点，问 h(x，y)在该点沿平面上沿什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为 g(x 0，y 0) ，试写出 g(x 0，y 0) 的表达式（分数：2.00）_ 正确答案：(正确答案：由梯度的几何意义知，h(x，y)在点 M(x 0，y 0) 处沿梯度最大，方向导数的最大值为该梯度的模，所以解析：(2).现欲利用此小山开展攀岩活动， 为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点 也就是说，要在 D 的边界曲线 x +y 一 xy=75 上找出使(1)中的 g(x， y)达到最大值的点 试确定攀登起点的位置 （分数：2.00）_ 正确答案：(正确答案：令 f(x，y)=g (x ，y)=5x +5y 一 8xy 由题意，只需求 f(x，y)在约束条件 75一 x -y +xy=0 下的最大值点令L(x ，y， )=5x +5y 一 8xy+ (75 一 x 一 y +xy) 则式与式相加可得 (x+y)(2 一 )=0 从而得 y=一 x 或 =2 若 =2，则由式得 y=x，再由式得若 y=一 x，则由式得 x=5，y=5 于是得到四个可能的极值点3222222222222222) 方向的方向导数) 由于 f(M 1)=f(M 2)=450，f(M )=f(M 4)=150 故M 1(5 ，一 5)或 M 2( 一 5，5)可作为攀登的起点) 22解析：41.曲面 z=x +y 与平面 2x+4yz=0 平行的切平面方程是_（分数：2.00）_ 正确答案：(正确答案：2x+4yz=5) 解析：解析：曲面 z=x +y 在点(x 0，y 0，z 0) 处切平面的法向量为n 1=2x 0，2y 0，一 1 而平面 2x+4y 一 z=0 的法向量为 n 2=2 ，4，一 1由题设知 n 1n 2，则2222从而有x 0=1 ，y 0=2 ，代入z=x +y 得z =5， n =2， 4， 一 1 则所求切平面方程为 2(x 一 1)+4(y 一 2)一(z5)=0 即 2x+4yz=5 01