2022年包考专题二次函数综合题 .pdf

立身以立学为先，立学以读书为本包考专题 (十)二次函数综合题时间题号题型分值主要内容2012 26 解答题12 分求抛物线解析式， 求直线与坐标轴的交点坐标，分类讨论 ，借助方程解决存在问题2013 26 解答题12 分由抛物线一般式求顶点坐标，求抛物线与坐标轴的交点坐标 ，相似三角形的判定与性质，求一次函数解析式，分类讨论 ，会判断两点是否关于某直线轴对称2014 26 解答题12 分求抛物线解析式和顶点坐标，相似三角形的判定与性质 ，会求抛物线与直线的交点坐标，会判断两点是否关于某直线轴对称【例】 (2014 包头 )已知抛物线y ax2xc(a0)经过 A( 1，0)，B(2，0)两点 ， 与 y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点M，对称轴与BC 相交于点N， 与 x 轴交于点 D. (1)求该抛物线的解析式及点M 的坐标；(2)连接 ON，AC ，证明： NOB ACB ；(3)点 E 是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点 E 到直线 BC 的距离为22时， 求点 E 的坐标；(4)在满足 (3)的条件下 ，连接 EN，并延长 EN 交 y 轴于点 F，E，F两点关于直线BC 对称吗？请说明理由解： (1)y x2x2，即 y (x12)294，顶点 M (12，94)(2)如图 1，A(1， 0)， B(2，0)， C(0，2)， 直线 BC 为 y x2，当 x12时，y32，N(12，32)，AB3，BC 2 2，OB2，BN（212）2（32）2322，ABNB2，BCOB2， ABNBBCBO， 又ABC NBO， ABC NBO， NOB ACB(3)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页立身以立学为先，立学以读书为本如图 2，作 EH BC 于 H，直线 BC 为 y x2，可设直线EH 的解析式为yxb，E 在抛物线上 ，可设 E(m，m2m2)，则直线 EF 为 yx(m22)，联立方程组得y x2，yx（ m22），解得x12m2，y12m22， H (12m2，12m22)，EH 22，(12m2m)2(12m22m2 m2)2(22)2，解得 m 1， m2m22，E(1，2)(4)由(3)知 H(12，32)，点 H 和点 N 重合 ，则 FNBC.m 1，直线 EF 为 yx 1，F(0，1)，N(12，32)， FN（12）2（321）222，EN22，EFBC，E，F 两点关于直线BC 对称(1)利用待定系数法求解析式；(2)证ABC NBO 即可；(3)作 EFBC 于 F，根据抛物线的解析式先设出E 点的坐标 ，再求出 EF 的解析式 ，从而求得 F 点的坐标 ，根据勾股定理即可求得；(4)延长 EF 交 y 轴于 Q，根据勾股定理求得FQ 的长 ，再与 EF 比较即可真题热身1(2014兰州 )如图 ， 抛物线 y12x2mxn 与 x 轴交于 A，B 两点 ，与 y 轴交于点C，抛物线的对称轴交x 轴于点 D.已知 A(1，0)，C(0，2)(1)求抛物线的表达式(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 PCD 是以 CD 为等腰的等腰三角形，如果存在 ，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由(3)点 E 是线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点F，当点 E运动到什么位置时，四边形 CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标解： (1)y12x232x2(2)在抛物线的对称轴上存在点P，使PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形，P 点的坐标为 P1(32，4)，或 P2(32，52)，或 P3(32，52)(3)当 y0 时，12x232x20，解得 x1 1，x24，B(4，0)设直线BC 的表达式为ykxb，把 B，C 两点坐标代入y kxb，解得 k12， b2，直线 BC 的表达式为y12x2.过点 C 作 CM EF，垂足为 M. 设精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页立身以立学为先，立学以读书为本E(a， 12a 2)， 则 F(a，12a232a 2)， EF 12a232a 2( 12a 2)12a22a(0 a4)， S四边 形CDBFSBCDSCEF SBEF12OC BD 12EF CM 12EF BN 1225212(12a22a)a(4a) a24a52 (a2)2132(0a4)，当 a2 时，S四边形CDBF取最大值为132， 此时 E(2，1) 2(2014潍坊 )如图 ， 抛物线 yax2bxc(a0)与 y 轴交于点C(0，4)，与 x 轴交于点 A 和点 B，其中点 A 的坐标为 (2，0)，抛物线的对称轴x1 与抛物线交于点D，与直线 BC 交于点 E. (1)求抛物线的解析式；(2)若点 F 是直线 BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F 使四边形ABFC 的面积为 17？若存在 ，求出点 F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)平行于 DE 的一条动直线l 与直线 BC 相交于点P， 与抛物线相交于点Q， 若以 D， E，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的坐标解： (1)由抛物线经过点C(0，4)可得 c 4，抛物线的对称轴xb2a1，b2a ，又抛物线过点A(2，0)，04a2b c，由 解得 a12，b1，c4，抛物线的解析式是y12x2x4(2)假设存在满足条件的点F，连接 OF ，过点 F 分别作 FH x 轴于 H，FG y 轴于 G.先求出点 B(4，0)，设点 F 的坐标为 (t，12t2t4)，其中 0t4，则 FH 12t2t4，FGt，SOBF12OB FH 124(12t2t4) t22t8， SOFC12OC FG12 4t2t，S四边形ABFCSAOCSOBFSOFC4t22t82t t24t12.令 t2 4t12 17，即 t24t50，而 (4)245 4 0，方程t24t50 无解 ，故不存在满足条件的点F(3)先求出直线BC 的解析式是y x4， 由 y12x2 x412(x1)292，得 D(1，92)又点 E 在直线 BC 上，则点 E(1，3)，于是 DE92332.若以 D，E，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，DE PQ，只需 DE PQ.设点 P 的坐标是 (m，m4)，则点 Q 的坐标是 (m，12m2m4)，当 0 m4 时 ，PQ(12m2m4)(m4)12m22m，由12m22m32，解得 m1 或 3，当 m1 时， 线段 PQ 与 DE 重合，m 1 舍去 ，m3，此时 P1(3，1)当 m0 或 m4时 ，PQ (m4)(12m2m 4)12m22m， 由12m22m32， 解得 m27， 经检验均符合题意， 此时 P2(27，27)，P3(27，27)综上可知 ，满足条件的点P 为 P1(3，1)或 P2(27，27)或 P3(27，27) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页立身以立学为先，立学以读书为本3(2012包头 )已知直线y 2x4 与 x 轴、 y 轴分别交于A，D 两点 ，抛物线 y12x2bxc 经过点 A，D，点 B 是抛物线与x 轴的另一个交点(1)求这条抛物线的解析式及点B 的坐标；(2)设点 M 是直线 AD 上一点 ，且 SAOMSOMD1 3，求点 M 的坐标；(3)如果点 C(2，y)在这条抛物线上，在 y 轴的正半轴上是否存在点P，使 BCP 为等腰三角形？若存在， 请求出点 P的坐标；若不存在， 请说明理由解： (1)y12x2x 4，B(4，0)(2)设 M (m， 2m4)，分两种情况：当M 在线段AD 上时 ，由 SAOM SOMD1 3 得12 2(2m 4)12 4(m) 13，解得 m32，M1(32，1)当 M 在线段DA 延长线上时 ， 由 SAOMSOMD 13 得 12 2(2m4)12 4 ( m) 1 3，解得 m 3，M2(3，2)综上可知 ，点 M 的坐标为M1(32，1)，或 M2(3，2)(3)存在先求出C(2，4)，设 P(0，p)，根据勾股定理，得 BC2(42)24220，PB242p216p2，PC222(p4)2p28p20.分三种情况： 若 PBBC，则 16p220，解得 p 2，点 P 在 y 轴的正半轴上，P1(0，2)若 PBPC，则 16p2p28p20，解得 p12，P2(0，12) 若 BCPC，则 20p28p20， 解得 p0 或 p8，点 P 在 y 轴的正半轴上 ，p0 不符合要求；当p 8 时 ，B，C，P 在一直线上 ，不构成三角形 ，也不符合要求 ，BCPC 时，在 y 轴的正半轴上不存在点 P， 使BCP 为等腰三角形 综上可知 ， 在 y 轴的正半轴上存在点P1(0， 2)， P2(0， 错误 ! )，使BCP 为等腰三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页