2022年初二数学梯形中常用的辅助线例题教案 2.pdf

学习必备欢迎下载梯形中的常用辅助线在解（证）有关梯形的问题时，常常要添作辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形问题。一、平移1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。例 1 如图 1， 梯形 ABCD 的上底 AB=3 ， 下底 CD=8，腰 AD=4 ，求另一腰BC 的取值范围。2、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。例 2如图 2，在梯形ABCD 中， AD/BC ， BC=90， AD=1 ，BC=3，E、F 分别是 AD 、BC 的中点，连接 EF，求 EF 的长。3、平移对角线： 过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。例 3 如图 3， 在等腰梯形ABCD 中， AD/BC ， AD=3 ，BC=7，BD=25，求证： AC BD 。【变式 1】（平移对角线）已知梯形ABCD 的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_ 例 4 如图 4，在梯形 ABCD 中，AD/BC ， AC=15cm ，BD=20cm ，高 DH=12cm ，求梯形ABCD 的面积。二、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。例 5 如图 5， 在梯形 ABCD 中，AD/BC ， B=50，C=80， AD=2 ，BC=5 ，求 CD 的长。【变式 2】 如图所示， 四边形 ABCD 中， AD 不平行于BC，AC BD ， AD BC. 判断四边形ABCD 的形状， 并证明你的结论 . ABCD【变式 3】 （延长两腰） 如图，在梯形中，、为、的中点。三、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。例 6如图 6，在直角梯形ABCD 中， AD/BC ，ABAD ，BC=CD ，BE CD 于点 E，求证： AD=DE 。四、作梯形的高1、作一条高， 从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角三角形或矩形。例 7如图 7，在直角梯形ABCD中， AB/DC ，ABC=90 ， AB=2DC ，对角线 AC BD，垂足为 F，过点F 作 EF/AB ，交 AD 于点 E，求证：四边形ABFE 是等腰梯形。图 7 2、作两条高：从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载例 8 如图 8， 在梯形 ABCD 中， AD 为上底，ABCD ，求证： BDAC 。【变式 4】如图 2-44 所示ABCD 是梯形， ADBC ，AD BC ，AB=AC 且 AB AC ，BD=BC ，AC ，BD交于 O.求BCD 的度数【变式 5】 如图 2-45 所示直角梯形 ABCD 中，ADBC ，A=90， ADC=135 ，CD的垂直平分线交 BC于 N ， 交 AB延长线于 F， 垂足为 M 求证： AD=BF 【变式 6】例如图 2-46所示直角梯形ABCD 中，C=90 ，AD BC ，AD+BC=AB，E是 CD的中点若AD=2 ，BC=8 ，求ABE的面积【变式 7】（过顶点作高） 已知 AB=BC ， ABCD ， D=90，AE BC 求证： CD=CE 五、作中位线1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。例 9如图 9，在梯形ABCD 中， AB/DC ，O 是 BC的中点， AOD=90 ，求证： ABCD=AD 。2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。例 10如图 10，在梯形ABCD 中， AD/BC ，E、F分别是BD 、AC的中点，求证：（1） EF/AD ；（ 2）)ADBC(21EF【变式 8】如图所示等腰梯形ABCD 中，ABCD ，对角线 AC ，BD所成的角 AOB=60 ，P，Q ，R分别是 OA ，BC ，OD的中点求证： PQR是等边三角形【变式 9】 （过一腰中点作底边平行线构造中位线）已知梯形ABCD 中， AD BC， ABC 的平分线过CD 的中点 E3、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。例 10、在梯形 ABCD 中，AD BC， BAD=900，E是 DC 上的中点，连接AE 和 BE，求 AEB=2 CBE。【变式 10】如图， E 是梯形 ABCD 中腰 DC 上的中点，作法图形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载平移一腰，转化为三角形、平行四边形ABCDE作高，转化为两直角三角形和一矩形ABCDEF延长两腰，转化为三角形ABCDE平移一对角线，转化为三角形、平行四边形ABCDE连接一顶点与一腰的中点，构造全等三角形ABCDEF【模拟试题】 （答题时间： 40分钟）1. 若等腰梯形的锐角是60，它的两底分别为11cm，35cm，则它的腰长为_cm. 2. 如图所示，已知等腰梯形ABCD 中， AD BC， B60， AD2，BC8，则此等腰梯形的周长为（）A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 ABCD*3. 如图所示， AB CD，AEDC ，AE12，BD 20，AC15，则梯形ABCD 的面积为（）A. 130 B. 140 C. 150 D. 160 ABCDE*4. 如图所示，在等腰梯形ABCD 中，已知AD BC，对角线 AC 与 BD 互相垂直，且AD 30，BC70，求 BD的长 . ABCD5. 如图所示， 已知等腰梯形的锐角等于60，它的两底分别为 15cm 和 49cm，求它的腰长 . ABCD6. 如图所示，已知等腰梯形ABCD中， AD BC，ACBD ，AD BC 10，DEBC 于 E，求 DE 的长 . ABCDE7. 如图所示，梯形ABCD 中， AB CD， D2B，AD DC8，求 AB 的长 . ABCD*8. 如图所示，梯形ABCD中， AD BC，（ 1）若 E是 AB 的中点，且AD BCCD，则 DE 与 CE 有何位置关系？（ 2）E 是 ADC 与 BCD 的角平分线的交点，则DE 与 CE 有何位置关系？ABCDE类型二：不添加辅助线（多数与全等、面积、梯形中位线有关系）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载1、已知：如图，四边形ABCD 为矩形，四边形ABDE为等腰梯形，。求证 ：举一反三：【变式 1】如图，已知：在梯形ABCD 中，AC 、BD相交于点O. 求证 ：. 说明本题中，我们也可以用和的面积相等，推出和的面积相等，等底等高的性质在证明三角形及四边形的面积问题时，起关键作用. 【变式 2】如图，已知：AD是的平分线，. （1）求证：四边形ADCE是等腰梯形 . （2）若的周长为，求四边形ADCE的周长. 说明： 等腰梯形的判定，一般是先判定一个四边形是梯形，然后再由“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形，要判定一个四边形是梯形时，判定一组对边不平行常常有困难，所以可用判定平行的两边不相等的方法来解决【变式 3】如图 2-43所示在直角三角形ABC中，E是斜边 AB上的中点， D是 AC的中点，DF EC交 BC延长线于 F求证：四边形 EBFD 是等腰梯形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页