2022年初高中数学衔接教材第二讲因式分解 .pdf

初高中数学衔接教材（ 2）第二讲因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用。是一种重要的基本技能。因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法( 平方差公式和完全平方公式 ) 外，还有公式法 ( 立方和、立方差公式 )、十字相乘法和分组分解法等等。一、公式法 ( 立方和、立方差公式 ) 在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：3322()()abab aabb【例 1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1) 38x(2) 30.12527b分析： (1) 中，382，(2) 中3330.1250.5 ,27(3 )bb。说明： (1) 在运用立方和 (差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a bab，这里逆用了法则 ()nnnaba b ；(2) 在运用立方和 (差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号。二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式。而对于四项以上的多项式，如mambnanb既没有公式可用，也没有公因式可以提取。因此，可以先将多项式分组处理。这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法。分组分解法的关键在于如何分组。1分组后能提取公因式【例 3】把2105axaybybx分解因式。分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按 x的降幂排列，然后从两组分别提出公因式2a与b，这时另一个因式正好都是5xy，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页这样可以继续提取公因式。说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法。本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试。【例 4】把2222()()ab cdab cd 分解因式。分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式。说明：由例 3、例 4 可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律。由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用。2分组后能直接运用公式【例 5】把22xyaxay分解因式。分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是xy；把第三、四项作为另一组，在提出公因式 a后，另一个因式也是xy。【例 6】把2222428xxyyz 分解因式。分析：先将系数 2 提出后，得到22224xxyyz ，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式。说明：从例 5、例 6 可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式。三、十字相乘法12()xpq xpq型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是 1；(2) 常数项是两个数之积； (3) 一次项系数是常数项的两个因数之和。22()()()()()xpq xpqxpxqxpqx xpq xpxpxq精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页因此，2()()()xpq xpqxp xq运用这个公式，可以把某些二次项系数为1 的二次三项式分解因式。【例 7】把下列各式因式分解： (1) 276xx(2) 21336xx说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同。【例 8】把下列各式因式分解：(1) 2524xx(2) 2215xx说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同。2一般二次三项式2axbxc型的因式分解大家知道，211221212211 2()()()a xca xca a xa ca c xc c 反过来，就得到：2121221121122()()()a a xa ca c xc ca xca xc我们发现，二次项系数 a分解成12a a ，常数项 c分解成12c c ，把1212,a ac c 写成1122acac，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到122 1aca c ，如果它正好等于2axbxc的一次项系数b，那么2axbxc就可以分解成1122()()a xca xc，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行。这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法。必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。【例 10】把下列各式因式分解： (1) 21252xx(2) 22568xxyy说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是1 时较困难，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号。四、其它因式分解的方法1配方法【例 11】分解因式2616xx说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解。当然，本题还有其它方法，请大家试验。2拆、添项法【例 12】分解因式3234xx分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0 了，可考虑通过添项或拆项解决。说明：本解法把原常数4 拆成 1 与 3 的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件。本题还可以将23x拆成xx224，将多项式分成两组32()xx和244x。一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：(1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法) 来分解； (4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页本章节练习巩固 1、多项式xyzxyyx42622中各项的公因式是 _ 。2、yxxynyxm_ 。3、222yxxynyxm_ 。4、zyxxzynzyxm_ 。5、zyxzyxzyxm_ 。6、523623913xbaxab分解因式得 _ 。7计算99992= 8 ，222baba，22ba，33ba的公因式是 _ 。9、用适当方法分解下列式子（1）baba552（2）32933xxx（3）164a（4）2223yxyx（5）652xx（6） 、22244xx（7）6422yy（8）axax12（9）91242mm（10）2675xx（11）22612yxyx（12）axax12（13）byaxbayx222222（14）91264422bababa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页（15）8224bb（16）xyxyx332（17）222456xxyyxy。10、下列式子可用平方差公式计算的式子是（）A、abba B、11 xxC 、baba D、11 xx11、下列四个多项式是完全平方式的是（）A、22yxyxB、222yxyxC 、22424nmnmD、2241baba12、若bxaxmxx102其中 a、b为整数，则 m的值为（）A、3或9 B、3 C、9 D、3或913、已知41aa则221aa ( )A、12 B、 14 C 、 8 D 、16 14、已知 x2y2=2, xy=1、则 xy 的值为 （）21 B211 C、1 D、15、若422xxbaxx则a，b。16、在多项式（ 1）672xx（2）342xx（3）862xx（4）1072xx， （5）44152xx中，有相同因式的是（）A、只有（ 1） （2） B、只有（ 3） （4）C、只有（3） （5） D、 （1）和（2） ； （3）和（4） ； （3）和（5）17、分解因式22338baba得（）A、311 aaB、baba311C、baba311D、baba31118、2082baba分解因式得（）A、210baba B、45babaC、102baba D、54baba19ABC三边 a，b， c满足222abcabbcca，试判定ABC的形状。20若,a b都是实数，且22,(12)ab求ba的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页