2022年函数 .pdf

1 函数核心问题与考试热点：函数的对应法则、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和函数的图象基本初等函数函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念运用函数的思想来观察，分析和解决问题，数形结合和分类讨论的基本数学思想高考命题以基本概念为考察对象，题型中选择题和填空题和大题都可能出现. 函数三要素二、 函数的性质复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手， 在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化具体要求是： 1正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性 2从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法3培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力 点评 在处理函数单调性的证明时，可以充分利用基本函数的性质直接处理，但学习了导数后， 函数的单调性就经常与函数的导数联系在一起，利用导数的性质来处理函数的单调进性，显得更加简单、方便三、函数的图象图象变换：yf( x)轴对称yxfyyf( x)轴对称xxfyyf( x)xfy原点对称yf( x) yf(| x|) ，把 x 轴上方的图象保留，x 轴下方的图象关于x 轴对称yf( x) y| f( x)| 把 y 轴右边的图象保留，然后将y 轴右边部分关于y 轴对称 ( 注意：它是一个偶函数) 伸缩变换：yf( x) yf( x) ，y f( x) yAf( x ) 具体参照三角函数的图象变换注：一个重要结论：若f( ax)f( ax) ，则函数yf( x) 的图像关于直线xa 对称；函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现复习函数图像要注意以下方面1掌握描绘函数图象的两种基本方法描点法和图象变换法 2会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题3用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题4掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力四、二次函数五、指数函数与对数函数六、函数的零点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页2 函数零点的概念：对于函数yf( x) ，我们把使f( x) 0 的实数 x 叫做函数yf( x) 的零点方程 f( x) 0 有实数根函数 yf( x) 的图象与x 轴有交点函数 yf( x) 有零点连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：如果函数yf( x) 在区间 a，b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有f( a) f( b) 0，那么，函数yf( x) 在区间 ( a，b) 内有零点 .即存在 c(a，b) ，使得 f( c) 0，这个 c 也就是方程f( x) 0 的根 . 点评 ：如果函数f( x) 在区间 a，b 上连续，且f( a) ?f( b) 0，则函数f( x) 在区间 (a，b) 上有零点，函数的零点，二分法，函数的应用都是函数的重点内容基础篇( 10 安徽 2) 若集合21log21xxA，则RAA,220 ,B,22C,220 ,D,22考点：集合运算、对数函数和不等式的运算规律方法：利用函数性质解析 ： 对于函数， 首先考虑定义域， 则 x0； 该题目中的对数函数为递减，所以22x，最后RA,220,。本题注重基础，而且综合众多考点，是一道好题，具有代表性。答案 ：A ( 10 广东 9) 函数， f( x) lg( x1) 的定义域是 ( 1， ) 考点 ：函数定义域和集合运算解析 ：x-10, 所以 x1 答案 ：1xx( 10 陕西 5) 已知函数f( x) 1,1, 122xaxxxx若 f( f( 0) 4a，则实数a 等于A21B54C2D9考点 ：分段函数规律方法 ：果断直接代入解析 ：直接代入， f( 0) 2，f( f( 0) f( 2) 42a 4a，所以 a2 答案 ：C( 10 课标 5) 已知命题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页3 1p：函数xxy22在 R 为增函数，2p：函数xxy22在 R 为减函数，则在命题1q：21pp，2q：21pp，3q：21pp和4q：21pp中，真命题是A1q，3qB2q，3qC1q，4qD2q，4q考点 ：初等函数的单调性、简易逻辑的基础知识规律方法 ：初等函数的单调性的变化，真值表的使用解析 ：2x是单调增函数，2x为减函数，2x为增函数，增函数和仍为增函数，所以xxy212在 R 上是增函数，所以1p真命题，1p假命题；由于2212xxy，当且仅当0 x时函数有最小值，xxy212在 R 既不是增函数也不是减函数，所以2p假命题，2p真命题， 所以21pp为真命题，21pp为假命题，21pp为假命题，21pp为真命题答案 ：C ( 10 广东 3) 若函数 f( x) x3x3与 g( x) x3x3的定义域均为R，则Af( x) 与 g( x) 均为偶函数Bf( x) 为奇函数， g( x) 为偶函数Cf( x)与 g( x) 均为奇函数Df( x) 为偶函数 g(x) 为奇函数考点 ：指数函数，函数奇偶性解析 ：xfxfxx33，xgxgxx33答案 ：D 注意 ： 判断函数奇偶性， 首先检查函数定义域是否关于原点对称，若不对称则非奇非偶；若对称，才将 -x 代入判断。( 10 安徽4) 若xf是R 上周期为5 的奇函数，且满足11f，22f，则43ffA 1B1C 2D2考点 ：函数周期性、奇函数的性质解析 ：112121243ffffff答案 ：A 注意：周期函数也是高考热点，通常题目中是抽象函数，利用函数的周期性，在选择和填空题中可以引入具体函数作为辅助工具来用。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页4 5( 2009 北京文理 ) 为了得到函数103lgxy的图像，只需把函数xylg的图像上所有的点 ( ) A向左平移3 个单位长度，再向上平移1 个单位长度B向右平移3 个单位长度，再向上平移1 个单位长度C向左平移3 个单位长度，再向下平移1 个单位长度D向右平移3 个单位长度，再向下平移1 个单位长度考点 ：函数图像的平移变换。规律方法 ：左加右减，上加下减解析 ：3lglg(3)lg10lg(3) 110 xyxx，根据图像变换规律左加右减，上加下减确定答案。答案 ：C( 10 安徽 6) 设0abc，二次函数cbxaxxf2的图象可能是考点 ：二次函数图像规律方法 ：排除法解析 ：当0a时， b、c 异号， (A) 中 c0，02ba，故不符；（B）中， c0，故 b0,02ab故不符；当0a时，b、c同号， ( C)( D) 两图中0c， 故0b，02ab，选项 ( D) 符合答案 ：D( 10 四川 4) 函数 f( x)x2mx1 的图像关于直线x1 对称的充要条件是A2mB2mC1mD1m考点 ：二次函数解析 ：函数 f( x) x2mx1 的对称轴为x2m，于是2m1m 2答案 ：A( 10 四川3)25.0log10log255( ) A0B1C2D4考点 ：对数运算解析 ：2log510log50. 25精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页5 log5100log50. 25log5252答案 ：C( 10 全国 I 8) 设 a3log2，bln2，c125，则AabcBbcaCca bDcba考点 ：对数的运算和性质，不等式的判断规律方法 ：换底公式、不等式中的倒数法则. 解析 ：不同底的对数比较大小，先将题目化成同底进行比较，如果不能化成同底，则适当放缩进行比较。a2log33log12，bln2e2log1，而1log3log22e，所以ab，c21551，而3log4log2522，所以 ca，综上 ca b. 答案 ：C ( 10 全国 II 2) 函数121ln1xxy的反函数是A0112xeyxB0112xeyxCR112xeyxDR112xeyx考点 ：本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化解析 ：由原函数解得112 yex，即1121xexf，又1x，01x；Rx1ln，Ry，原函数的值域是反函数的定义域在反函数中Rx答案 : D( 10 上海 8) 对任意不等于1 的正数 a， 函数 f( x) 3logxa的反函数的图像都经过点P，则点 P 的坐标是 ( 0， 2) 考点 ：函数图像和反函数的特点规律方法 ：指数函数y=xa必过（ 0，1） ，其反函数对数函数logayx必过（ 1，0）解析 ：f( x) 3logxa的图像必过定点( 2，0) ，所以其反函数的图像过定点( 0，2) 答案 ：( 0， 2) ( 10 福建 4) 函数0,ln20, 322xxxxxxf的零点个数为( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页6 A0B1C2D3考点 ：分段函数零点的求法规律方法 ：分类讨论解析 ：当0 x时，令0322xx解得3x；当0 x时，令0ln2x解得2ex，所以已知函数有两个零点，选C答案 ：C 注意 ：分类讨论时要注意分类讨论的取值范围，例如在求解0322xx时，31xx或者，注意到0 x,所以舍去x=1.( 10 天津 2) 函数 f( x)xx32的零点所在的一个区间是A( 2， 1) B( 1，0) C( 0，1) D( 1，2) 考点：函数根的存在性定理解析 ：因为03211f，010200f，所以根在（ -1 ，0） 区间内；另外函数f(x) 是单调增函数，所以有且只有一个根。答案 ：B提高篇( 09 山东 ) 定义在R 上的函数f( x) 满足(1)xf2log（x）=f(x-1)-f(x-2)，则 f( 2009)的值为( ) A 1 B0 C1 D2 考点 ：函数的周期性和对数的运算规律方法 ：归纳推理解析 ：由已知得12log12f，00f，1101fff，1012fff，011123fff，110234fff，1345fff，0456fff，所以函数 f( x) 的值以 6 为周期重复性出现. ，所以 f( 2009) f( 5) 1答案 ：C注意 ：在出现 f(2009) 、f（2010）等时，一般有规律性、周期性，通过归纳猜想可以确定下来，同学们可以多尝试计算一下，绝对不要轻易放弃。( 10 安徽9) 动点yxA,在圆122yx上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周已知时间0t时，点A的坐标是23,21，则当120t时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒 ) 的函数的单调递增区间是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页7 A1 ,0B7, 1C12,7D1 , 0和12,7考点 ：函数单调性和解析几何规律方法 ：数图结合解析 ：画出图形， 设动点 A 与x轴正方向夹角为，则0t时3，每秒钟旋转6，在1 ,0上2,3，在12,7上37,23，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的 其实作为一个选择题，我们画出图形发现，函数是一个先增后减再增的趋势，所以是两个区间，只有D符合。答案 ：D( 10 全国 I 10) 已知函数 F( x) | lgx| ，若 0ab，且 f( a) f( b)，则 a 2b 的取值范围是A,22B,22C, 3D, 3考点 ：对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域规律方法 ：均值不等式的使用何时取等号，通过函数的单调性来确定函数值域解析 ：因为 f( a) f( b) ，所以 | lga| | lgb| ，所以ab( 舍去 ) ，或ab1，所以a 2baa2，又 0a b，所以 0 a1b，令aaaf2，由“对勾”函数的性质知函数af在1 ,0a上为减函数， 所以 f( a) f( 1) 1123， 即 a 2b 的取值范围是 ( 3， ). 答案 ：D 注 意 ： 考 生 在 做 本 小 题 时 极 易 忽 视a 的 取 值 范 围 ， 而 利 用 均 值 不 等 式 求 得a2b222aa，从而错选A，这也是命题者的用苦良心之处. ( 10 课标 11) 已知函数10, 621100,lgxxxxxf若a，b，c互不相等， 且afbfcf，则abc的取值范围是A10,1B6 ,5C12,10D24,20精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页8 考点 ：对数函数的图形和性质，方程问题规律方法 ：数形结合，利用图像处理函数与方程问题解析 ：162fx-lgx 0 x1（x）= lgx 1x10，a，b，c互不相等，不妨设cba由bfaf，得balglg，即1ab，根据图形可得0f(b)=f(c) 2 g(x)且 f(x)20，g(x)20 所以2( )yf x是和g(x) 的分渐近线；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页12 对于，x，y=x 是 f (x)=1xxx和 g(x)=1lnxxx的渐近线，但是f(x)和 g(x)都在 y=x 的上面，所以不存在分渐近线；我们利用排除法, 可以不考虑, 但最后 , 通过答案 , 我们可以看出是正确的. 当0 x时，两个函数都存在y=2x 的渐近线， 且 f(x)在 y=2x 的上面， g(x)在 y=2x 的下面， 因此存在分渐近线故，存在分渐近线的是答案 ：C( 10 福建15) 已知定义域为,0的函数xf满足：对任意x,0，恒有xfxf22成立；当x2, 1时，xxf2给出如下结论：对任意Zm，有02mf；函数xf的值域为,0；存在Zn，使得912nf；“函数xf在区间ba,上单调递减”的充要条件是“存在Zk，使得12,2,kkba” 其中所有正确结论的序号是_考点 ：抽象函数的性质和充要条件的判断规律方法 ：带入特殊值，递推解析 ：对于， f(2)=2-2=0,因为02m，所以0)2(221ffmm，故正确；对于，x2, 1，( )0,1)f x，xfxf22，所以( )f x的值域为, 0，故正确 ； 对 于 ， 两 边 同 除以2n， 得9( 12) =2nnf，而 根 据 题 意，(12)=2(12)12nnnf，故错；对于，也是通过递推方式，发现正确。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页13 答案 ：10 湖北17(本小题满分12 分) 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6 万元该建筑物每年的能源消耗费用C( 单位：万元 ) 与隔热层厚度x( 单位： cm) 满足关系：53xkxC100 x，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8 万元设xf为隔热层建造费用与20 年的能源消耗费用之和( ) 求k的值及xf的表达式；( ) 隔热层修建多厚对，总费用xf达到最小，并求最小值考点 ：函数、导数等基础知识规律方法 ：数学知识解决实际问题解析 ：( ) 设隔热层厚度为cmx，由题设，每年能源消耗费用为53xkxC. 再由80C，得40k，因此5340 xxC. 而建造费用为xxC61最后得隔热层建造费用与20 年的能源消耗费用之和为xxxxxCxCxf6538 0 05534020201100 x( )25324006xxf，令0 xf，即65324002x. 解得5x，325x( 舍去 ). 当50 x时，0 xf，当105x时，0 xf，故5x是xf的最小值点，对应的最小值为70515800565f当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70 万元( 10 课标卷21)设函数21axxexfx( 1) 若0a，求xf的单调区间；( 2) 若当0 x时0 xf，求a的取值范围考点 ：函数单调性，导数的求解规律方法 ：利用导数来确定函数的单调性并且求最值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页14 解析： ( 1)0a时，xexfx1，1xexf.当0,x时，0 xf；当,0 x时，0 xf.故xf在0 ,单调减少，在,0单调增加( II) 法一：axexfx21由( I) 知xex1，当且仅当0 x时等号成立 . 故xaaxxxf212，从而当021a，即21a时，0 xf0 x，而00f，于是当0 x时，0 xf. 由xex10 x可得xex10 x.从而当21a时，aeeeeaexfxxxxx21121，故当ax2ln,0时，0 xf，而00f，于是当ax2ln,0时，0 xf. 综合得a的取值范围为21,. 法二：0 x时，21axxexfx00f且axexfx21，00 f记xfxf，则aexfx2. 所以xf单调递增 . 当ax2ln时0 xf，( 若0a则xf恒正 .) 对于,0 x当02lna即210a时，有02aexfx所以xf 在, 0单调递增 . 因为00f所以0 xf在,0上恒成立 . 所以xf在,0单调递增 . 所以对任意 .,0 x，有00fxf所以当0 x时0 xf当0a时，02aexfx所以xf 在,0单调递增 . 因为00f所以0 xf在,0上恒成立 . 所以xf在,0单调递增 . 所以对任意 .,0 x，有00fxf. 所以当0 x时0 xf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页15 当02ln a即21a时，在 (0，ln2a) 上有02aexfx所以xf 在,0单调递减 . 因为00 f所以0 xf在a2ln,0上恒成立 . 所以xf在a2ln,0单调递减 .所以对任意 .ax2ln,0，有00fxf. 所以此时原不等式不恒成立. 当21a时01xexf在,0恒成立，所以xf 在,0单调递增 . 因为00f所以0 xf在,0上恒成立 . 所以xf在,0单调递增 . 所以对任意 .,0 x，有00fxf. 所以当0 x时0 xf综上所述a的取值范围为21,. 总结 ：本题的函数是一个指数函数与一个含有参数的二次函数的代数和，第一问给定参数的值，求单调区间，属于基本题，第二问是恒成立问题，求参数的取值范围，对推理论证能力有较高要求，有一定难度，想得满分也不容易精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页