2022年八年级数学全等三角形添加辅助线学案精品文件 .pdf

学习必备欢迎下载添加辅助线证三角形全等题库考点分析：全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。 判断三角形全等的公理有SAS 、ASA 、AAS 、SSS和 HL，如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。一些较难的证明题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。【常见辅助线的作法有以下几种】1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 。2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 。3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 。5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。6、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页学习必备欢迎下载EDCBA找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法：延长中线构造全等三角形；利用翻折，构造全等三角形；引平行线构造全等三角形；作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。2、如图， AC BD ，EA,EB分别平分 CAB,DBA ，CD过点 E，求证 ;ABAC+BD 证明：方法 1 在 AB上选一点 F，使 AF=AC ，连接 EF。因 AE是CAB 的平分线， CAE= FAE ，又 AC=AF ，AE=AE 所以， CAE FAE则C= AFE又由 AC/BD 知C+ D=180 而AFE+ BFE=180 所以， D= BFE又已知 EB是ABD的平分线，即 DBE= FBE，另外，还有 EB=EB 所以利用三角形全等的判断定理AAS知DBE FBE ，所以， FB=DB 因此， AB=AF+FB=AC+BD。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页学习必备欢迎下载例 1：如图，ABC 是等腰直角三角形， BAC=90 ，BD平分 ABC交 AC于点D，CE垂直于 BD ，交 BD的延长线于点 E。求证： BD=2CE 。思路分析 ：1）题意分析 ：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用2）解题思路 ：要求证 BD=2CE ，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分ABC 的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。解答过程 ：证明：延长BA，CE 交于点 F，在 BEF和 BEC中， 1=2，BE=BE ， BEF= BEC=90 ，BEF BEC ， EF=EC，从而 CF=2CE 。又 1+F=3+F=90 ，故 1=3。在 ABD 和 ACF中， 1=3，AB=AC ， BAD= CAF=90 ，ABDACF， BD=CF ， BD=2CE 。解题后的思考： 等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的关键。1.如图所示，在 ABC 中， C90，ACBC，AD 平分 CAB，并交BC 于 D，DEAB 于 E，若 AB6cm，求 DEB 的周长。2.如右图，已知 BEAC 于 E，CFAB 于 F，BE、CF 相交于点 D，若 BD=CD.求证： AD平分 BAC.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页学习必备欢迎下载（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。例 2： 如图，已知ABC 中， AD 是 BAC 的平分线， AD 又是 BC 边上的中线。求证： ABC是等腰三角形。思路分析 ：1）题意分析 ：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。2）解题思路 ：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD 又是 BC 边上的中线这一条件，而且要求证 AB=AC ，可倍长AD 得全等三角形，从而问题得证。解答过程：证明：延长AD 到 E，使 DE=AD ，连接 BE。又因为 AD 是 BC 边上的中线，BD=DC又 BDE= CDA BE D CAD ，故 EB=AC ， E= 2，AD 是 BAC 的平分线 1=2， 1=E，AB=EB ，从而 AB=AC ，即 ABC 是等腰三角形。解题后的思考：题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段， 再将端点连结，便可得到全等三角形。（3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。例 3：已知，如图， AC平分 BAD ，CD=CB ，ABAD 。求证： B+ADC=180 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页学习必备欢迎下载思路分析 ：1）题意分析 ：本题考查角平分线定理的应用。2）解题思路 ：因为 AC是BAD的平分线，所以可过点C作BAD的两边的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。解答过程 ：证明：作 CE AB于 E，CF AD于 F。AC平分 BAD ，CE=CF 。在 RtCBE 和 RtCDF 中，CE=CF ，CB=CD ，RtCBE RtCDF ，B=CDF ，CDF+ ADC=180 ，B+ADC=180 。（5）截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。例 6：如图甲， AD BC ，点 E在线段 AB上， ADE =CDE ，DCE =ECB 。求证： CD =AD +BC 。思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。2）解题思路： 结论是 CD =AD +BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在 CD上截取 CF =CB ，只要再证 DF =DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。解答过程 ：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页学习必备欢迎下载证明：在CD上截取CF=BC，如图乙FCE BCE （SAS ），2=1。又AD BC ，ADC +BCD =180，DCE +CDE =90，2+3=90，1+4=90，3=4。在FDE与ADE 中，FDE ADE （ASA ），DF =DA ，CD =DF +CF ，CD =AD +BC 。图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质： a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页学习必备欢迎下载通常情况下， 出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线； 其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线（一）、截取构全等如图 1-1，AOC= BOC ，如取 OE=OF ，并连接 DE 、DF ，则有 OED OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。例1如图 1-2，AB/CD，BE平分 BCD ，CE平分 BCD ，点 E在 AD上，求证：BC=AB+CD。例2已知：如图1-3，AB=2AC ，BAD=CAD ，DA=DB ，求证 DC AC 例3已知：如图 1-4，在 ABC中， C=2 B,AD平分 BAC ，求证： AB-AC=CD 分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形， 此题还是证明线段的和差倍分问题。 用到的是截取法来证明的， 在长的线段上截取短的线段， 来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？练习1已知在 ABC中，AD平分 BAC ，B=2C，求证： AB+BD=AC 图 1-1OABDEFC图1-2ADBCEF图1-4ABCDE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页学习必备欢迎下载2已知：在 ABC中，CAB=2 B，AE平分 CAB交 BC于 E，AB=2AC ，求证： AE=2CE 3已知：在 ABC中，ABAC,AD 为BAC的平分线， M为 AD上任一点。求证： BM-CMAB-AC 4已知：D是ABC的BAC 的外角的平分线 AD上的任一点，连接DB 、DC 。求证： BD+CDAB+AC。（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。例1 如图 2-1，已知 ABAD, BAC= FAC,CD=BC。求证： ADC+ B=180 分析：可由 C 向BAD的两边作垂线。近而证ADC与B之和为平角。例2 如图 2-2，在 ABC中， A=90 ，AB=AC ，ABD= CBD 。求证： BC=AB+AD 图 2-1ABCDEF图2-2ABCDE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页学习必备欢迎下载分析：过 D作 DE BC于 E，则 AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。例3 已知如图 2-3，ABC的角平分线 BM 、CN相交于点 P。求证： BAC的平分线也经过点P。分析：连接 AP ，证 AP平分 BAC即可，也就是证 P到 AB 、AC的距离相等。练习：1如图 2-4AOP= BOP=15 ，PC/OA ，PD OA，如果 PC=4 ，则 PD= （） A 4 B 3 C 2 D 1 2已知在 ABC 中， C=90 ，AD平分 CAB ，CD=1.5,DB=2.5. 求 AC 。五、延长已知边构造三角形：例如：如图 6：已知 AC BD ，AD AC于 A ，BC BD于 B，求证： AD BC 第 2 页六、连接四边形的对角线， 把四边形的问题转化成为三角形来解决。图2-3PABCMNDF图2-4BOAPDCABCDE6图O精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页学习必备欢迎下载例如：如图 7：AB CD ，AD BC 求证： AB=CD 。八、连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图9；AC 、BD相交于 O点，且 ABDC ，AC BD ，求证： AD。1已知：如图AB=AD ，CB=CD ，(1) 求证： B=D(2) 若AE=AF 试猜想 CE与 CF的大小关系并证明证明： (1) 方法 1、连结 AC ，证明 ABC ADC ，进而 B=D。方法 2、连接 BD ，因为 AB=AD ，所以， ABD= ADB 同理， CBD= CDB 所以， ABD-CBD= ADB-CDB ，即 B=D。(2) 由(1) 得 B=D，又因为BE=DF ，CB=CD, 故 BCE CDF ，进而 CE=CF 。通过例 1 我们应该初步体会添加辅助线的必要性，例1(1)(2)两个小问，从添加辅助线证明一次全等得角相等，到添加辅助线证明二次全等线段等，我们感觉到了问题层次的递进。特别是例1(1) 中如果 B、C、D共线的时候我们可以得到等边对等角的结论。为例2 使ABCD7图1234DCBA110图O精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页学习必备欢迎下载用做铺垫。练习：(1) 已知：如图AB=CD ，AD=BC ，求证： A=C例 1、如图，ABC中，ACAB2， AD 平分BAC，且BDAD，求证：ACCD证明：过 D 作ABDM，垂足为M90BMDAMD又BDAD，DMDMBDMADMBMAMACAB2AMACAD 平分BACCADBAD在ADC和ADM中AMAC，CADBAD，ADADADCADM90ADMACD即: ACCD例 2、如图，BDAC/， EA， EB 分别平分CAB，DBA， CD 过点 E， 求证：BDACAB证明：在 AB 上截取ACAF，连接 EF 在CAE和FAE中AEAEFAECAEAFACFAECAEFEACEA90FEBFEABEDCEA即DEBFEBM C A B D F E D A B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页学习必备欢迎下载在DEB和FEB中DBEFBEBEBEDEBFEBFEBDEB（ASA）BFBDBDACBFAFAB、借助角平分线造全等（一）例题讲解例 1、如图，已知在ABC中，60B，ABC的角平分线AD， CE 相交于点O.求证：ODOE证明：在 AC 上取点 F，使AEAF，连接 OF AD 是A的平分线FAOEAOAOAOAFOAEOFOEO，AOFAOECE 是C的平分线FCODCO60B120ACBBACOCACAOCOD6021ACBBAC606060180180AOFCODCOFCODCOFOCOCOCFOCDOFODCDAECFAFAC，ODOE即：CDAEAC1、已知，如图 1，在四边形 ABCD 中，BC AB ，AD =DC ，BD平分 ABC 。求证： BAD +BCD =180。F O D E A C B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页学习必备欢迎下载2、已知，如图 2，1=2，P为BN上一点，且PDBC于点D，AB+BC=2BD。求证： BAP +BCP =180。1. 已知：如图，ABC中， AD平分 BAC ，若 C=2B,证明： AB=AC+CD. DBCA7、等边三角形ABC 和等边三角形DEF，D 在 AC 边上。延长BD 交 CE 延长线于 N，延长AE 交 BC 延长线于M。求证： CM=CN （1）如图，在ABC 中， AD 是 ABC 的角平分线，AC=AB+BD ，求证： B=2C ABCEMNDA B C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页学习必备欢迎下载（2）如图， ABC 中， CE 平分 ACB ，且 AE CE， AED+ CAE=180 求证： EDBC 一、选择题：1. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A. 两直角边对应相等B. 一锐角对应相等C. 两锐角对应相等D. 斜边相等2. 根据下列条件，能画出唯一ABC的是 ( ) A. 3AB，4BC，8CAB. 4AB，3BC，30AC. 60C，45B，4ABD. 90C，6AB3. 如图，已知12，ACAD，增加下列条件：ABAE；BCED；CD；BE。其中能使ABCAED的条件有 ( ) A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个（第 3 题）（第 4 题）（第 5 题）（第 6 题）4. 如图，已知ABCD，BCAD，23B，则D等于 ( ) A. 67B. 46C. 23D. 无法确定二、填空题：5. 如 图 ， 在ABC中 ，90C，ABC的 平 分 线BD交AC于 点D， 且:2 : 3C DA D，10ACcm，则点D到AB的距离等于 _cm；6. 将 一 张 正 方 形 纸 片 按 如 图 的 方 式 折 叠 ，,BC BD为 折 痕 ， 则CBD的 大 小 为_；A B C D E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页学习必备欢迎下载三、解答题：7. 如图，ABC为等边三角形， 点,MN分别在,BC AC上，且BMCN，AM与BN交于Q点。求AQN的度数。8. 如图，90ACB，ACBC，D为AB上一点，AECD，BFCD，交CD延长线于F点。求证：BFCE。9. 如图，已知 AEAD，AFAB ，AF=AB ，AE=AD=BC ，AD/BC. 求证：（1）AC=EF，（2）ACEF 10. 已知：如图，在RtABC 中，AB=AC ，BAC=90 ，1=2，CEBD 的延长线于 E.求证： BD=2CE. 11、如图， ABC 中， AD 是高， CE 是中线， DC BE，DGCE 于 G。（1）求证： G 是 CE 的中点；（2） B2 BCE。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页学习必备欢迎下载12、在 ABC 中， ABAC ，D、E 在 BC 上，且 DE EC，过 D 作 DFBA 交 AE 于点 F，DFAC，求证： AE 平分 BAC 。13、 如图，在 ABC 中， B22.50， C600， AB 的垂直平分线交BC 于点 D， BD26，AEBC 于点 E，求 EC 的长。一、选择题：1. A 2. C 3. B 4. C 二、填空题：5. 4 6. 90三、解答题：7. 解：ABC为等边三角形ABBC，60ABCC在ABM与BCN中ABBCABCCBMCNABMBCN(SAS) NBCBAM60AQNABQBAMABQNBC。8. 证明：AECD，BFCD90FAEC90ACECAE90ACB90ACEBCFCAEBCF在ACE与CBF中FAECCAEBCFACBCACECBF(AAS) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页学习必备欢迎下载BFCE。9.证明：（1） AD/BC ， B DAB=180 又 DAB 4EAF 3=360 ， 3=4=90DAB EAF=180 B=EAF 在ABC 和FAE 中ABC FAE（SAS）AC=EF （2） ABC FAE 1=F 又 13=2 F 2=3 又 3=90 2=90AGEF，即 ACEF 10.证明： 延长 BA、CE 交于点 F.3=90 ， 5 F=90精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页学习必备欢迎下载又BECE， 4=90 ， 7=901 F=90 ，6=180 90 =901=5 在ABD 和ACF 中 ABD ACF（ASA ）BD=FC 在BEF 和BEC 中 BEFBEC（ASA）EF=EC FC=2EC BD=2EC 11. 提示：连结ED 12、延长 FE 到 G，使 EGEF，连结 CG，证 DEF CEG 13、连结 AD ，DF 为 AB 的垂直平分线，AD BD 26， B DAB 22.50 ADE 450，AE22AD 26226 又 C600EC32363AE2009，7如图，给出下列四组条件：ABDEBCEFACDF，；ABDEBEBCEF，；BEBCEFCF，；ABDEACDFBE，其中，能使ABCDEF的条件共有（）A1 组B2 组C3 组D4 组2008，21. （ A类）已知如图，四边形ABCD中， AB BC，AD CD ，求证： A C. A C B D F E （第 7 题）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页学习必备欢迎下载（图 6）ABCDO（B类）已知如图，四边形ABCD 中， AB BC ， AC，求证： AD CD. 2007，19已知：如图6，直线 AD 与 BC 交于点 O，OAOD，OBOC求证：ABCD2012，23如图， C 为 AB 的中点。四边形ACDE 为平行四边形，BE 与 CD 相交于点F。求证： EF=BF 。2010，23 题，如图，在ABC中， D是 BC边的中点， E、F分别在 AD及其延长线上， CE BF，连接 BE 、CF (1)求证： BDF CDE ；(2) 若 AB=AC ，求证：四边形BFCE 是菱形2011，23如图，在四边形ABCD中， AB=CD ， BF=DE ，AEBD ，CFBD，垂足分别为E、F。（1）求证： ABE CDF；（2）若 AC 与 BD 交于点 O，求证： AO=CO DCBAABCDEF（第 23题）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页