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    2022年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 3.pdf

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    2022年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 3.pdf

    2008 年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(14 空间向量与立体几何)一、选择题:1(2008 全国卷理 )已知三棱柱111ABCA B C的侧棱与底面边长都相等,1A在底面ABC内的射影为ABC的中心,则1AB与底面ABC所成角的正弦值等于(C )A13B23C33D231.解: C由题意知三棱锥1AABC为正四面体,设棱长为a,则13ABa,棱柱的高22221236()323AOaAOaaa(即点1B到底面ABC的距离),故1AB与底面ABC所成角的正弦值为1123AOAB. 另解:设1,AB AC AAuu u r uuu r uuu r为空间向量的一组基底,1,AB AC AAu uu r u uu r uuu r的两两间的夹角为060长度均为a,平面ABC的法向量为111133OAAAABACuu uru uu ruuu ruuu r,11ABABAAuuuru uu ruu ur2111126,333OAABaOAABuu ur uu uruuu ruuur则1AB与底面ABC所成角的正弦值为111123OA ABAO ABuuu u r u uuruuur uuur. 二、填空题:1(2008 全国卷理 )等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,二面角CABD的余弦值为33,MN,分别是ACBC,的中点,则EMAN,所成角的余弦值等于611.答案:16.设2AB,作COABDE面,OHAB,则CHAB,CHO为二面角CABD的平面角3,cos1CHOHCHCHO,结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥,则3ANEMCH11(),22ANACABEMACAEuu u ruu u ruuu ruuuu ruu u ruuu r, 11() ()22AN EMABACACAEuu u r uu uu ruu u ruuu ruuu r12故EMAN,所成角的余弦值16AN EMAN EMu uu r uuuu ruuu r uu uu r另解:以O为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则点( 1, 1,0),(1, 1,0),( 1,1,0),(0,0,2)ABEC, 112112(,),(,)222222MN, 则3 121321(,),(,),32 222222ANEMAN EMANEMuuu ruuuu ruuu r uuuu ruu u ruuu u r, zyHoMBDECNAx1 题图( 2)HoMBDECNA1 题图( 1)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 30 页MABDCOQMABDCOPxyzMABDCOP故EMAN,所成角的余弦值16AN EMAN EMu uu r uuuu ruuu r uu uu r. 三、解答题:1 (2008 安徽文) 如图,在四棱锥OABCD中,底面ABCD四边长为1 的 菱形,4ABC, OAABCD底面, 2OA,M为OA的中点。()求异面直线AB 与 MD 所成角的大小;()求点B 到平面 OCD 的距离。1方法一(综合法)(1)CDQ AB,MDC为异面直线AB与MD所成的角(或其补角)作,APCDP于连接MP平面ABCD,OACDMP2,42ADP DP=222MDMAAD,1cos,23DPMDPMDCMDPMD所以AB与MD所成角的大小为3()AB平面OCD,点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等,连接 OP,过点 A 作AQOP于点 Q,,APCD OACDCDOAP平面,AQOAPAQCD平面又,AQOPAQOCD平面, 线段 AQ 的长就是点A 到平面 OCD 的距离2222213 24122OPODDPOAADDP,22APDP22223322OA APAQOPgg,所以点B 到平面 OCD 的距离为23方法二 (向量法 )作APCD于点 P,如图 ,分别以 AB,AP,AO 所在直线为, ,x y z轴建立坐标系222(0,0,0),(1,0,0),(0,0),(,0),(0,0, 2),(0, 0,1)222ABPDOM, (1)设AB与MD所成的角为, 22(1,0,0),(, 1)22ABMDuuu ruuu u r1cos,23AB MDABMDuuu r uu u u rguuu ruuu u r,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 30 页QENMABDCOP AB与MD所成角的大小为3(2)222(0, 2),(, 2)222OPODu uu ruuu r设平面 OCD 的法向量为( , )nx y z,则0,0n OPn ODuuu ruuu rgg即2202222022yzxyz取2z,解得(0,4,2)n设点 B 到平面 OCD 的距离为d,则d为OBuuu r在向量(0,4,2)n上的投影的绝对值, (1,0, 2)OBuu u r, 23OB ndnuuu r. 所以点 B 到平面 OCD 的距离为232 ( 2008 安徽理) 如图,在四棱锥OABCD中,底面ABCD四边长为1 的菱形,4ABC, OAABCD底面, 2OA,M为OA的中点,N为BC的中点。()证明:直线MNOCD平面;()求异面直线AB 与 MD 所成角的大小;()求点B 到平面 OCD 的距离。2 方法一(综合法)(1)取 OB 中点 E,连接 ME ,NE MECDMECDQ, AB,AB又,NEOCMNEOCDQ平面平面MNOCD平面(2)CDQ AB,MDC为异面直线AB与MD所成的角(或其补角 )作,APCDP于连接MP平面ABCD, OA CDMP2,42ADPDP=222MDMAAD,1cos,23DPMDPMDCMDPMD所以AB与MD所成角的大小为3(3)AB平面OCD,点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等,连接OP,过点 A 作AQOP于点 Q,,APCD OACDCDOAPAQCD平面又,AQOPAQOCD平面,线段 AQ 的长就是点A 到平面 OCD 的距离NMABDCO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 30 页xyzNMABDCOP2222213 24122OPODDPOAADDP,22APDP222233 22OA APAQOPgg,所以点B 到平面 OCD 的距离为23方法二 (向量法 ) 作APCD于点 P,如图 ,分别以 AB,AP,AO 所在直线为, ,x y z轴建立坐标系22222(0,0,0),(1,0,0),(0,0),(,0),(0,0, 2),(0,0,1),(1,0)22244ABPDOMN, (1)22222(1, 1),(0,2),(, 2)44222MNOPODuuu u ruuu ruuu r设平面 OCD 的法向量为( , , )nx y z,则0,0n OPn ODu uu ruuu rgg即2202222022yzxyz取2z,解得(0,4,2)n22(1, 1) (0,4,2)044MN nuu uu rggMNOCD平面(2)设AB与MD所成的角为,22(1,0,0),(, 1)22ABMDuuu ruuu u r1cos,23AB MDABMDuuu r uu u u rguuu ruuu u r,AB与MD所成角的大小为3(3)设点 B 到平面 OCD 的交流为d,则d为OBuuu r在向量(0, 4,2)n上的投影的绝对值, 由(1,0, 2)OBuu u r, 得23OB ndnu uu r.所以点 B 到平面 OCD 的距离为233 ( 2008 北京文) 如图,在三棱锥P-ABC 中, AC=BC=2, ACB=90, AP=BP=AB,PCAC. ()求证:PCAB;()求二面角B-AP-C 的大小 . 3解法一:()取 AB 中点 D,连结 PD,CD. AP=BP,PDAB. AC=BC. CDAB. PDCDD. AB平面 PCD. PC平面 PCD,PCAB. () AC=BC,AP=BP, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 30 页 APC BPC. 又 PCAC,PCBC. 又 ACB90,即 ACBC,且 ACPC=C,ABBP,BEAP. EC 是 BE 在平面 PAC 内的射影,CEAP. BEC 是二面角B-AP-C 的平面角 . 在 BCE 中, BCE=90 ,BC= 2,BE=623AB,sinBEC=.36BEBC二面角B-AP-C 的大小为aresin.36解法二:() AC=BC,AP=BP, APC BPC. 又 PCAC. PCBC. ACBC=C, PC平面 ABC. AB平面 ABC,PCAB. ()如图,以C 为原点建立空间直角坐标系C-xyz.则 C( 0,0,0) ,A(0,2,0) ,B(2,0,0). 设 P(0,0,t) , PB=AB 22,t=2,P(0,0,2). 取 AP 中点 E,连结 BE,CE. AC=PC,AB =BP, CEAP,BEAP. BEC 是二面角B-AP-C 的平面角 . E(0,1,1),),1, 1, 2(),1, 1,0(EBECcosBEC=.33622EBECEBEC二面角B-AP-C 的大小为arccos.334 (2008 北京理) 如图, 在三棱锥PABC中,2ACBC,90ACBo,APBPAB,PCAC()求证:PCAB;()求二面角BAPC的大小;()求点C到平面APB的距离4解法一:()取AB中点D,连结PDCD,A C B D P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 30 页APBPQ,PDABACBCQ,CDABPDCDDQI,AB平面PCDPCQ平面PCD,PCAB()ACBCQ,APBP,APCBPC又PCAC,PCBC又90ACBo,即ACBC,且ACPCCI,BC平面PAC取AP中点E连结BECE,ABBPQ,BEAPECQ是BE在平面PAC内的射影,CEAPBEC是二面角BAPC的平面角在BCE中,90BCEo,2BC,362BEAB,6sin3BCBECBE二面角BAPC的大小为6arcsin3()由()知AB平面PCD,平面APB平面PCD过C作CHPD,垂足为HQ平面APB I平面PCDPD,CH平面APBCH的长即为点C到平面APB的距离由()知PCAB,又PCAC,且ABACAI,PC平面ABCCDQ平面ABC,PCCD在RtPCD中,122CDAB,362PDPB,222PCPDCD2 33PC CDCHPDg点C到平面APB的距离为2 33解法二:()ACBCQ,APBP,APCBPC又PCAC,PCBCACBCCQI,PC平面ABCA C B E P A C B D P H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 30 页ABQ平面ABC,PCAB()如图,以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz则(0 0 0)(0 2 0)(2 0 0)CAB,设(0 0)Pt, ,2 2PBABQ,2t,(0 0 2)P,取AP中点E,连结BECE,ACPCQ,ABBP,CEAP,BEAPBEC是二面角BAPC的平面角(011)EQ, ,(011)ECuuu r, ,(211)EBuuu r, ,23cos326EC EBBECECEBuuu r uu u rgu uu ruuu rgg二面角BAPC的大小为3arccos3()ACBCPCQ,C在平面APB内的射影为正APB的中心H,且CH的长为点C到平面APB的距离如()建立空间直角坐标系Cxyz2BHHEu uu ruu u rQ,点H的坐标为2 2 23 3 3, ,2 33CHuu u r点C到平面APB的距离为2 335 (2008 福建文 )如图,在四棱锥中,侧面PAD底面 ABCD, 侧棱 PA=PD=2,底面 ABCD 为直角梯形,其中BCAD,AB CD,AD=2AB=2BC=2,O为 AD 中点。 (1)求证: PO平面 ABCD; (2)求异面直线PB 与 CD 所成角的余弦值; (3)求点 A 到平面 PCD 的距离5.解:如图, A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1) 所以( 1,1,0),(1, 1, 1)CDPBuuu ruu u r6,3PB CDCOSPB CDPBCDu uu r uuu ruuu r uuu ruuu ruuu r所以异面直线所成的角的余弦值为:63(2)设平面 PCD 的法向量为( , )nx y zr,( 1,0,1),( 1,1,0)CPCDu uu ruuu r00n CPn CDr uu u rr uu u r,所以00 xzxy;令 x=1,则 y=z=1,所以(1,1,1)nr又(1,1,0)ACuuu r则,点 A 到平面 PCD 的距离为:2 33n ACdnr uu u rrA C B P z x y H E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 30 页6(2008 福建理 ) 如图,在四棱锥P-ABCD 中,则面 PAD底面 ABCD,侧棱 PA=PD2,底面ABCD 为直角梯形,其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点 . ()求证: PO平面 ABCD;()求异面直线PD 与 CD 所成角的大小;() 线段 AD 上是否存在点Q, 使得它到平面PCD 的距离为32?若存在,求出AQQD的值;若不存在,请说明理由. 6本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分 12 分. 解法一:()证明:在P AD 中 PA=PD,O 为 AD 中点,所以POAD, 又侧面 PAD底面 ABCD,平面PAD平面 ABCD=AD, PO平面 PAD,所以 PO平面 ABCD. () 连结 BO,在直角梯形ABCD 中、 BCAD,AD=2AB=2BC, 有 ODBC 且 OD=BC,所以四边形OBCD 是平行四边形,所以 OBDC. 由()知,POOB, PBO 为锐角,所以 PBO 是异面直线PB 与 CD 所成的角 . 因为 AD=2AB=2BC=2,在 RtAOB 中, AB=1,AO=1, 所以 OB2,在 RtPOA 中,因为AP2,AO 1,所以 OP 1,在 RtPBO 中, tanPBO122,arctan.222PGPBOBC所以异面直线PB 与 CD 所成的角是2arctan2. ()假设存在点Q,使得它到平面PCD 的距离为32. 设 QDx,则12DQCSx,由()得CD=OB=2,在 RtPOC 中,222,PCOCOP所以 PC=CD=DP, 233(2),42PCDSg由 Vp-DQC=VQ-PCD,得2,所以存在点Q 满足题意,此时13AQQD. 解法二:( ) 同解法一 . ( ) 以O为坐标原点,OC OD OPuuu r uuu r uu u r、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz, 依题意,易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0), P(0,0,1), 所以11 0111CDPBuu u ruu u r(, ,), (, ).精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 30 页所以异面直线PB与CD所成的角是arccos63, ( ) 假设存在点Q,使得它到平面PCD的距离为32,由( ) 知( 1,0,1),( 1,1,0).CPCDu uu ruuu r设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0). 则0,0,n CPn CDuuu rguuu rg所以00000,0,xzxy即000 xyz,取x0=1, 得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1). 设(0,0)(11),( 1, ,0),QyyCQyu uu r由32CQ nnuuuu urg,得13,23y解y=-12或y=52( 舍去 ) ,此时13,22AQQD,所以存在点Q满足题意,此时13AQQD. 7、(2008 海南、宁夏理)如图,已知点P 在正方体ABC DA1B1C1D1的对角线BD1上, PDA=60 。( 1)求 DP 与 CC1所成角的大小; (2)求 DP 与平面 AA1D1D 所成角的大小。7解:如图,以D为原点,DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz则(10 0)DAuuu r,(0 01)CCuu uu r,连结BD,B D在平面BBD D中,延长DP交BD于H设(1)(0)DHmmmuuu u r,由已知60DH DAouuu u r uuu r,由cosDA DHDA DHDA DHuuu r uuu u ruu u r uuu u ruu u r uuu u rg,可得2221mm解得22m,所以22122DHu uu u r,()因为22001 1222cos212DH CCuuuu r uuu u r,所以45DH CCouuu u r uuu u r,即DP与CC所成的角为45o()平面AA D D的一个法向量是(01 0)DCuuu r, ,因为2201 1 0122cos212DH DCuuu u r uu ur,所以60DH DCou uu u r uuu r,可得DP与平面AAD D所成的角为30oB1C1D1A1CDABPA B C D P ABCDx y z H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 30 页8. (2008 湖北文 )如图,在直三棱柱111ABCA B C中,平面1A BC侧面11.A ABB()求证:;ABBC()若1AAACa,直线 AC 与平面1A BC所成的角为,二面角1,.2ABCA的大小为求证:8.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角、二面角等有关知识,考查空间想象能力和推理论证能力.(满分 12 分)( )证明:如右图,过点A 在平面 A1ABB1内作 ADA1B 于 D,则由平面 A1BC侧面 A1ABB1,且平面 A1BC侧面 A1ABB1A1B,得 AD平面A1BC.又 BC平面 A1BC所以 ADBC. 因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱 , 则 AA1底面 ABC,所以 AA1BC. 又 AA1AD=A,从而 BC侧面 A1ABB1, 又 AB侧面 A1ABB1,故 ABBC. ( )证法 1: 连接 CD,则由 ()知 ACD 就是直线AC 与平面 A1BC 所成的角, ABA1就是二面角A1BCA 的颊角, 即ACD ,ABA1=. 于是在 RtADC 中, sin=aADACAD,在 RtADA1中, sinAA1DaADAAAD1, sin=sinAA1D,由于与 AA1D 都是锐角,所以 AA1D. 又由 Rt A1AB 知, AA1D AA1B2,故2. 证法 2:由 ()知,以点B 为坐标原点,以BC、BA、BB1所在的直线分别为x 轴、 y 轴、 z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设 AB=c(c a,则 B(0,0,0),A(0,c,0), C(0, 0,22ca), A1(0,c,a),于是)0 ,0 ,(22caBC,1BA( 0,c,a) , )0,(22ccaAC1AAc,a设平面 A1BC 的一个法向量为n=(x,y,z), 则由?.0,0, 0, 0221xcaazcyBCnBAn得可取 n( 0, a,c) ,于是nAC=ac0,AC与 n 的夹角为锐角 ,则sin =cos =222222222)()0,(),0(|cacccacaccacaACnACn?, cos =,), 0, 0(), 0(|222211cacacaacaBABABABA?所以 sin =cos =sin(2),又 0 ,2,所以+ =2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 30 页9. (2008 湖北理 )如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC 侧面 A1ABB1. ()求证:AB BC;()若直线AC 与平面 A1BC 所成的角为,二面角 A1-BC-A 的大小为的大小关系,并予以证明. 9.本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识,同时考查空间想象能力和推理能力.(满分 12 分)()证明:如右图,过点A 在平面 A1ABB1内作ADA1B于D,则由平面A1BC侧面A1ABB1, 且平面A1BCI侧面 A1ABB1=A1B,得AD 平面A1BC, 又 BC平面 A1BC,所以ADBC. 因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱,则AA1底面ABC,所以AA1BC. 又AA1IAD=A,从而 BC侧面A1ABB1,又AB侧面 A1ABB1,故 ABBC. () 解法 1:连接 CD,则由()知ACD是直线 AC 与平面 A1BC所成的角,1ABA是二面角A1BCA 的平面角,即1,ACDABA于是在 RtADC 中,sin,ADAC在 RtADB 中,sin,ADAB由 ABAC,得sinsin,又02 ,所以 ,解法 2:由()知,以点B 为坐标原点,以BC、BA、BB1所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设AA1=a,AC=b, AB=c,则 B(0,0,0), A(0,c,0), 221(,0,0),(0, , ),CbcAc a于是221(,0,0),(0, , ),BCbcBAc auu u ruuu r221(,0),(0,0, ).ACbccAAauu u ruu ur设平面 A1BC 的一个法向量为n=(x,y,z),则由10,0,n BAn BCuu u rguu u rg得220,0,cyazbc x可取 n=(0,-a,c), 于是0n ACacACu uu ruuu rg ,与 n 的夹角为锐角,则与互为余角 . 22sincos,n ACacnACbacu uu rgu uu rg1221cos,BA BAcBABAacuu u r uu u rguuu ruu u rg所以22sin,aac于是由 cb,得2222,acab acac即sinsin,又0,2 , 所以,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 30 页10. (2008 湖南理 )如图所示,四棱锥P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为1 的菱形, BCD60,E 是 CD 的中点, P A底面 ABCD, PA2. ()证明:平面PBE平面 PAB; ()求平面PAD 和平面 PBE 所成二面角(锐角)的大小. 10解 : 解法一()如图所示,连结BD,由 ABCD 是菱形且 BCD=60知,BCD 是等边三角形 .因为 E 是 CD 的中点,所以 BECD,又 ABCD, 所以 BEAB.又因为 PA平面 ABCD,BE平面 ABCD,所以PABE.而PAAB=A,因此 BE平面 PAB. 又BE平面 PBE,所以平面PBE平面 PAB. ()延长AD、BE 相交于点F,连结 PF. 过点 A 作 AHPB 于 H,由()知平面 PBE平面 PAB,所以 AH平面 PBE. 在 RtABF 中,因为 BAF60,所以, AF=2AB=2=AP. 在等腰 RtPAF 中,取 PF 的中点 G,连接 AG. 则 AGPF.连结 HG,由三垂线定理的逆定理得,PFHG.所以 AGH 是平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角的平面角(锐角). 在等腰 RtPAF 中,22.2AGPA在 RtPAB 中,2222 5.55AP ABAP ABAHPBAPABgg所以,在RtAHG 中,2 5105sin.52AHAGHAG故平面 P AD 和平面 PBE 所成二面角(锐角)的大小是10arcsin.5解法二 : 如图所示,以A 为原点,建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A(0,0,0) ,B(1,0,0) ,33(,0),22C13(,0),22DP(0,0,2),3(1,0).2E()因为3(0,0)2BE,平面 PAB 的一个法向量是0(0,1,0)n,所以0BEn和共线 .从而 BE平面 PAB. 又因为BE平面 PBE,故平面 PBE平面 PAB. ( )易知3(1,0, 2),(0,02PBBEu uu ru uu r,),13(0,0,2),(,0)22PAADuu u ruuu r精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 30 页设1111(,)nx y zr是平面PBE的一个法向量,则由110,0n PBn BEur uuu rgur uuu rg得111122020,3000.2xyzxyz所以11110,2 .(2,0,1).yxznu r故可取设2222(,)nxyzuu r是平面PAD的一个法向量,则由220,0nPAnADuu r u uu rguu r u uu rg得2222220020,1300.22xyzxyz所以2220,3.zxy故可取2( 3, 1,0).nuu r于是,1212122 315cos,.552n nn nnnu r u u rur u u rgu ruu rg故平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小是15arccos.511 (2008 湖南文 ) 如图所示, 四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1 的菱形,060BCD,E 是 CD 的中点, PA底面 ABCD ,3PA。(I)证明:平面PBE平面 PAB;(II)求二面角A BEP和的大小。11解:解法一(I)如图所示 , 连结,BD由ABCD是菱形且060BCD知,BCD是等边三角形. 因为 E 是 CD 的中点,所以,BECD又,ABCD/ /所以,BEAB又因为 PA平面 ABCD ,BE平面 ABCD ,所以,BEPA而,ABAIPA因此BE平面 PAB. 又BE平面 PBE,所以平面PBE平面 PAB. (II)由( I)知,BE平面 PAB, PB平面 PAB, 所以.PBBE又,BEAB所以PBA是二面角ABEP的平面角在RtPAB中, tan3,60.PAPBAPBAABo故二面角ABEP的大小为60.o解法二:如图所示,以 A 为原点,建立空间直角坐标系则相关各点的坐标分别是(0 0 0),A,(1 0 0),B ,33(0),22C,13(0),22D,(0 03),P,3(10).2E,(I)因为3(0,0),2BEuuu r,平面 PAB 的一个法向量是0(01 0),nu u r, ,所以BEu uu r和0nuu r共线 . 从而BE平面 PAB. 又因为BE平面 PBE,所以平面PBE平面 PAB. (II)易知3(10,3),(0,0),2PBBEu uu ruuu r,设1nur111()xyz,是平面 PBE 的一个法向量, PABCED精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 30 页则由1100nPBnBEu r uu u ru r uuu r,得11111103030002xyzxyz,所以1113 .yxz=0,故可取1nu r( 3 0 1).,而平面 ABE 的一个法向量是2(0 01).nu u r, ,于是 ,1212121cos,.2| |n nn nnnu r uu ru r u u ruru u rg故二面角ABEP的大小为60.o12 (2008 江苏 )记动点 P 是棱长为1 的正方体1111-ABCD A B C D的对角线1BD上一点,记11D PD B当APC为钝角时,求的取值范围12 解: 由题设可知, 以DAuuu r、DCuuu r、1DDuuuu r为单位正交基底, 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则有(1,0,0)A,(1,1,0)B,(0,1,0)C,(0,0,1)D由1(1 ,1, 1)D Buuuu r,得11( , ,)D PD Buuuu ruu uu r,所以11(,)(1,0, 1)(1,1)PAPDD Au uu ru uu u ruu u u r11(, )(0,1, 1)(,1,1)PCPDDCu uu ruuu u ruuuu r显然APC不是平角,所以APC为钝角等价于coscos,0PA PCAPCPA PCPAPCuu u r uu u ru uu r uuu rguu u ruuu rg,则等价于0PA PCu uu r u uu rg即2(1)()()(1)(1)(1)(31)0,得113因此,的取值范围是1( ,1)313(2008 江西文、理 ) 如图,正三棱锥OABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直,且长度均为 2E、F分别是AB、AC的中点,H是EF的中点, 过EF的平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于1A、1B、1C,已知132OA(1)求证:11B C面OAH;(2)求二面角111OA BC的大小13解: (1)证明:依题设,EF是ABC的中位线,所以EFBC,则EF平面OBC,所以EF11B C。又H是EF的中点,所以AHEF,则AH11B C。因为OAOB,OAOC,所以OA面OBC,则OA11B C,xyzCBADD1C1B1A1P精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 30 页因此11B C面OAH。(2)作ON11A B于N,连1C N。因为1OC平面11OA B,根据三垂线定理知,1C N11A B,1ONC就是二面角111OA BC的平面角。作EM1OB于M,则EMOA,则M是OB的中点,则1EMOM。设1OBx,由111OBOAMBEM得,312xx,解得3x,在11Rt OA B中,221111352A BOAOB,则,111135OA OBONA B。所以11tan5OCONCON,故二面角111OA BC为arctan5。解法二:( 1)以直线OAOCOB、分别为xy、 、z轴,建立空间直角坐标系,Oxyz则1 1(2,0,0),(0,0,2),(0,2,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,)2 2ABCEFH所以1 11 1( 1, ),(1, ,),(0,2, 2)2 22 2AHOHBCu uu ruuuruuu r所以0,0AHBCOHBCu uu r uuu ruuu ru uu r所以BC平面OAH由EFBC得11B CBC,故:11B C平面OAH(2)由已知13(,0,0),2A设1(0,0,)Bz则111(,0,1),( 1,0,1)2A EEBzuu uruuu r由1A Euu ur与1EBu uu r共线得 :存在R有11AEEBu uu ruuu r得11321(1)(0,0,3)zzB同理 :1(0,3,0)C111133(,0,3),(,3,0)22A BACu uu u ru uuu r设1111(,)nx y zr是平面111A B C的一个法向量 , 则 令2x得1yx1(2,1,1).nu r又2(0,1,0)nu u r是平面11OA B的一个法量1216cos,641 1n nu r u u r所以二面角的大小为6arccos6B1C1A1HFECBAOxyzNMB1C1A1HFECBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 30 页14(2008 辽宁文 )如图,在棱长为1 的正方体ABCDA B C D中, AP=BQ=b (0b1) ,截面PQEFA D,截面 PQGHAD()证明:平面PQEF 和平面 PQGH 互相垂直;()证明:截面PQEF 和截面 PQGH 面积之和是定值,并求出这个值;()若12b,求D E与平面 PQEF 所成角的正弦值14本小题主要考查空间中的线面关系和面面关系,解三角形等基础知识,考查空间想象能力与逻辑思维能力满分12 分解法一:()证明:在正方体中,ADA D,ADAB,又由已知可得PFA D,PHAD,PQAB,所以PHPF,PHPQ,所以PH平面PQEF所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直 4 分()证明:由()知22PFAPPHPA,又截面PQEF 和截面 PQGH 都是矩形,且PQ=1,所以截面PQEF和截面 PQGH 面积之和是( 22)2APPAPQ,是定值 8 分()解:设AD交PF于点N,连结EN,因为AD平面PQEF,所以D EN为D E与平面PQEF所成的角因为12b,所以PQEF, ,分别为AA,BB,BC,AD的中点可知3 24D N,32D E所以3 224sin322D EN 12 分解法二:以 D 为原点,射线 DA, DC, DD 分别为x,y,z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系Dxyz 由已知得1DFb,故(10 0)A ,(101)A,(0 0 0)D,(0 0 1)D,(10)Pb,(11)Qb, ,(11 0)Eb, ,(10 0)Fb,( 11)G b, ,(01)H b,()证明:在所建立的坐标系中,可得(01 0)(0)PQPFbbuu u ruuu r, ,(10 1)PHbbuu ur,( 1 01)( 101)ADA Duu uu ruu uu r,因为00AD PQAD PFu uu u r uuu ru uu u r uu u rgg,所以ADu uu u r是平面 PQEF 的法向量因为00A D PQA D PHu uu u r uuu ru uu u r uuu rgg,所以A Du uu u r是平面 PQGH 的法向量因为0AD A Du uu u r uu uu rg,所以A DADuuuu ruuuu r,所以平面PQEF 和平面 PQGH 互相垂直 4 分A B C D E F P Q H ABCDG A B C D E F P Q H ABCDy x z G A B C D E F P Q H ABCDG N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 30 页()证明:因为(01 0)EFuuu r, ,所以EFPQ EFPQuuuu ruuuu ru uu ruuu r,=,又PFPQu uu ru uu r,所以 PQEF 为矩形,同理PQGH 为矩形在所建立的坐标系中可求得2(1)PHbuu uu r,2PFbuuuu r,所以2PHPFu uu u ruuuu r,又1PQuu uu r,所以截面PQEF 和截面 PQGH 面积之和为2,是定值 8 分()解:由()知( 10 1)ADu uu u r,是平面PQEF的法向量由P为AA中点可知,QEF, ,分别为BB,BC,AD的中点所以11 02E, ,1112D Euuuu r, ,因此D E与平面PQEF所成角的正弦值等于2| cos|2AD D Eu uuu r uuuu r, 12 分15(2008 辽宁理 )如图,在棱长为1 的正方体ABCDA B C D中, AP=BQ

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