2022年初三函数知识点总结 .pdf
学习必备欢迎下载向右 (h0) 【或左 (h0) 【或下 (k0) 【或左 (h0) 【或左 (h0) 【或下 (k0)【或向下 (k0) 】平移 |k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax2+ky=ax2二次函数知识点总结二次函数知识点：1二次函数的概念：一般地，形如（abc， ，是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而 bc， 可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2abc， ， 是常数， a 是二次项系数，b是一次项系数，c 是常数项二次函数的基本形式函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口向当0a时开口向kaxy22hxaykhxay2cbxaxy2二次函数图象的平移1. 平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线2yax 的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习必备欢迎下载2. 平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减” 二次函数2ya xhk与2yaxbxc的比较从解析式上看，2ya xhk与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbya xaa，其中2424bacbhkaa，二次函数2yaxbxc图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc化为顶点式2()ya xhk，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与 x 轴的交点10 x ，20 x ，（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点 . 五、二次函数2yaxbxc的性质1. 当0a时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当2bxa时，y随 x 的增大而；当2bxa时，y随 x 的增大而；当2bxa时，y有最值244acba（左减右增）2. 当0a时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当时，y随 x的增大而增大；当时，y随 x 的增大而减小；当时，y有最大值244acba（左增右减）六、用待定系数法求二次函数的解析式（ 1）一般式：cbxaxy2. 已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （ 2）顶点式：khxay2. 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用七、抛物线cbxaxy2中，cba,的作用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习必备欢迎下载（1）a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2，故：0b时，对称轴为；0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴；0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴 . （左同右异）（3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置 . 当0 x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点：0c，抛物线经过 ; 0c, 与y轴交于半轴；0c, 与y轴交于半轴 . 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab. 二、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称2ya xb xc关于 x 轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于 x轴对称后，得到的解析式是2ya xhk；2. 关于y轴对称2ya xb xc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于y轴对称后，得到的解析式是2ya xhk；3. 关于原点对称2ya xb xc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是2ya xhk；4. 关于顶点对称2ya xb xc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；2ya xhk关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk5. 关于点mn，对称2ya xhk关于点mn，对称后，得到的解析式是222ya xhmnk根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习必备欢迎下载抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc当函数值0y时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数： 当240bac时，图象与x 轴交于两点1200A xB x，12()xx，其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的两根这两点间的距离2214bacABxxa. 当0时，图象与x轴只有一个交点； 当0时，图象与x轴没有交点 . 1当0，0a时y 总是正数或图像总在x 轴上方；2当0，0a时y 总是负数或图像总在x 轴下方；2. 抛物线2yaxbxc 的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0 ，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc中 a ，b， c 的符号，或由二次函数中a，b， c 的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)axbxc a本身就是所含字母x 的二次函数； 下面以0a时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线cbxaxy2得交点为 (0, c). （2）与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2). （3）抛物线与x轴的交点0抛物线与x 轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0抛物线与x 轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0抛物线与x 轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习必备欢迎下载值角度二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根 . （ 4）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（ 3）一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根. （ 5）一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组cbxaxynkxy2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点 ; 方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点 . （ 6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121任意两点之间的距离公式A（1x，1y）B（2x，2y） ，则 AB= 锐角三角函数知识点1、锐角 A 的三角函数定义（按右图RtABC 填空）A 的正弦： sinA =, A 的余弦： cosA = , A 的正切： tanA = , 2、特殊锐角的三角函数值表30O 45O 60O sin cos tan 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习必备欢迎下载3、同角三角函数关系：（利用定义可得）平方关系： sin2A+cos2A=( ) 商数关系： tanA=( ) 4、互余的两锐角的三角函数关系：sinA=cos( ) cosA=sin( ) tanA tan （90-A）=（）5、解直角三角形在 RtABC 中， C90，边与角有下列关系：（1）三边的关系：。（2）两锐角的关系：A+ B= 。（3）边和角之间的关系（两边一锐角）：a= b= c= 实际问题中的有关概念：（查书理解）（1）仰角、俯角（2）坡面、坡度、坡角、坡比。6、应用解直角三角形的有关知识可以解决以下问题：（1）测量物体的高度； （2）有关航行问题； （3）计算坝体或公路的坡度等问题。7、锐角三角函数值中，正弦和余弦值的大小范围：sin A ；cos A tanA 圆知识点基本概念：弧、弦、圆心角、圆周角确定圆的条件：基本性质对称性：垂径定理：圆圆心角、弧、弦的关系定理：圆周角定理：同弧或等弧所对的圆心角是它所对的圆周角的推论：（1）同弧或等弧所的圆周角（2） 90的圆周角所对弦是，与圆有关的计算公式：（1）弧长公式；（2）扇形面积公式；（3）扇形周长公式；(4 ) 圆锥侧面积公式；（5）圆锥侧面积公式（6）其他1点与圆的位置关系： （ d 是指： _ ）rd_;rd_;rd_; 2、直线与圆的位置关系：（ d 是指： _ ）rd_;rd_;rd_; 位置关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习必备欢迎下载3、 两圆位置关系： （ d 是指： _ ）_;_;_; _;_; 圆与切线（1）圆的切线的性质：；（2）圆的切线的判定方法：（从定义）；（从直线与圆的位置关系）；（从判定定理）。（3）切线长定理：如右图，请写出图中的几个结论：（4）一个圆有条切线，过圆上一点可以作条切线，过圆外一点可以作条切线。（5）三角形的内切圆的圆心是的交点，叫做三角形的。三角形的外接圆的圆心是的交点，叫做三角形的。直角三角形的外接圆的半径= ，内切圆的半径= 等边三角形的外接圆的半径= ，内切圆的半径= 如图，若O 为 ABC 的外心，则BOC= 若 O 为 ABC 的内心，则BOC= P A B O C A B O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
