2022年北师大版数学七年级下册72简单的轴对称图形教案 .pdf

7.2 简单的轴对称图形（第一课）教学目标：1、经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体会轴对称的特征，发展空间观念。2、探索并了解角的平分线、线段垂直平分线的有关性质。并能应用它们进行简单的推理说明。教学重点：1、角、线段是轴对称图形2、利用角的平分线、线段垂直平分线的有关性质进行推理说明。教学难点：角的平分线、线段垂直平分线的有关性质教学方法：动手实践、讨论。准备活动：准备一个三角形、一张画好一条线段的纸张教学过程：先复习轴对称图形的知识，提问：角是不是轴对称图形呢？如果是，它的对称轴在哪里？引起学生思考并通过动手操作，寻找答案。一、探索活动教师示范：（按以下步骤折纸）1、 在准备好的三角形的每个顶点上标好字母；A、B、C。把角 A 对折，使得这个角的两边重合。2、 在折痕（即平分线）上任意找一点C，3、 过点 C 折 OA 边的垂线， 得到新的折痕CD， 其中，点 D 是折痕与OA 的交点，即垂足。4、 将纸打开，新的折痕与OB 边交点为 E。教师要引导学生思考：我们现在观察到的只是角的一部分。注意角的概念。学生通过思考应该大部分都能明白角是轴对称图形这个结论。问题 2：在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段？说明你的理由，在角平分线上在另找一点试一试。是否也有同样的发现？学生应该很快就找到相等的线段。下面用我们学过的知识证明发现：巩固练习：在RtABC 中，BD 是角平分线， DEAB ，垂足为 E，DE 与 DC 相等吗？为什么？内容二：线段是轴对称图形吗？做一做：按下面步骤做：1、用准备的线段AB ，对折 AB ，使得点 A、B 重合，折痕与AB 的交点为O。2、 在折痕上任取一点C，沿 CA 将纸折叠；3、 把纸展开，得到折痕CA 和 CB。观察自己手中的图形，回答下列问题：a) CO 与 AB 有什么样的位置关系？b) AO 与 OB 相等吗？ CA 与 CB 呢？能说明你的理由吗？折痕上另取一点，再试一试，你又有什么发现？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页生会得到下面的结论：（1）线段是轴对称图形。（2）它的对称轴垂直于这条线段并且平分它。（3）对称轴上的点到这条线段的距离相等。垂直并且平分线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。简称中垂线。应用：1、 如图，AB 是 ABC 的一条边， ,DE 是 AB 的垂直平分线，垂足为E，并交 BC 于点D，已知 AB=8cm,BD=6cm, 那么 EA=_, DA=_. 2、如图，在ABC 中， AB=AC=16cm ，AB 的垂直平分线交AC 于 D，如果 BC=10cm ，那么 BCD 的周长是 _cm. 小结：今天学习的内容是：（1）角是轴对称图形。（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（3）线段是轴对称图形。（4）垂直并且平分线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。简称中垂线。（5）线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离相等。作业：课本后习题 7.2：1、2、3。第二课时课题7.2.1 简单的轴对称图形（一）教学目标（一）教学知识点1. 了解角的平分线的性质. 2. 了解线段垂直平分线的性质. （二）能力训练要求1. 经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念. 2. 探索并了解角的平分线、线段垂直平分线的有关性质. （三）情感与价值观要求通过师生的共同活动，培养学生的动手能力，进一步发展其空间观念. 教学重点探索角的平分线，线段的垂直平分线的性质. 教学难点体验轴对称的特征. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页教学方法启发诱导法 . 教具准备投影片四张：第一张：想一想（记作投影片7.2.1 A ）第二张：做一做（记作投影片7.2.1 B ）第三张：想一想（记作投影片7.2.1 C ）第四张：做一做（记作投影片7.2.1 D ）教学过程. 巧设现实情景，引入新课师上节课我们探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形，而显得异常美丽 . 那什么样的图形是轴对称图形呢？生如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. 师很好，大家想一想，我们以前学过的哪些几何图形是轴对称图形呢？生甲正方形、矩形. 生乙圆、菱形. 生丙等腰三角形、角. 师很好 . 今天我们就来研究简单的轴对称图形. . 讲授新课师同学们想一想： （出示投影片7.2.1 A ）角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？生甲角是轴对称图形. 生乙角平分线所在的直线是它的对称轴. 师是吗？你能验证吗？我们来做一做（出示投影片7.2.1 B ）按下面的步骤做一做1. 在一张纸上任意画一个角AOB ，沿角的两边将角剪下. 将这个角对折，使角的两边重合 . 2. 在折痕（即角平分线）上任意取一点C；3. 过点 C折 OA边的垂线，得到新的折痕CD ，其中，点D是折痕与OA边的交点，即垂足 . 4. 将纸打开，新的折痕与OB边的交点为E. 师老师和大家一起动手. （教师叙述步骤，师生共同操作）师通过第一步，我们可以验证什么？生齐声可以知道：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 师很好，在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段？生我发现了：CD与 CE是相等的 . 师为什么呢？生因为折痕CD与 CE互相重合 . 师还可以怎么说呢？可不可以利用三角形全等呢？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页图 71 师生共析如图71，CD垂直 OA 、CE垂直 OB ，则 ODC= OEC=90 . 因为： OC平分 AOB ，则 AOC= BOC. 又因为 OC是公共边，所以根据“两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等”得：COD与 COE全等，再由“全等三角形的对应边相等”得：CD=CE. 师很好，在上述操作过程中，如果在折痕即角平分线上另取一点，再折一折，然后小组讨论，你会得出什么结论呢？生角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 师同学们总结得很好，这就是角平分线除平分角外的另一个主要性质. 在这里需要注意的是：一个点在角的平分线上；角平分线上的点到角的两边的距离是相等的 . 好，大家再来想一想： （出示投影片7.2.1 C ）线段是轴对称图形吗？如果是，你能找出它的一条对称轴吗？生甲线段是轴对称图形，它的对称轴是与线段垂直的且垂足是线段中点的直线. 生乙线段还可以沿它所在的直线对折，使得与原来的线段重合，所以说：线段所在的直线也是线段的对称轴. 师很好 . 同学们知道了线段是轴对称图形，还找到了它的对称轴. 现在大家来按照研究角的思路来探索线段的轴对称性. （出示投影片7.2.1 D ）按照下面的步骤来做一做：（ 1）画一条线段AB ，对折AB 使点 A、B 重合，折痕与AB的交点为O. （2）在折痕上任取一点C，沿 CA将纸折叠 . （3）把纸展开， 得到折痕CA和 CB. （1）CO与 AB有怎样的位置关系？（2）OA与 OB相等吗？ CA与 CB呢？能说明你的理由吗？在折痕上另取一点，再试一试 . （学生操作、思考，教师指导）生甲通过折叠，我们验证了线段是轴对称图形. 生乙 CO与 AB是垂直的 . 生丙 OA与 OB相等，因为OA与 OB重合； CA与 CB也是相等的，因为它们互相精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页重合 . 师很好 .OA 与 OB相等，而A、O、B 是在同一直线上，所以可知：O是线段 AB的中点， OC与 AB是垂直的，因此可以知道：线段的一条对称轴垂直于这条直线且平分它，我们把这样的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线（midperpendicular）. 点 C是 AB的中垂线上一点，则有CA=CB ，若在线段AB的中垂线上另取一点D，是否也有 DA=DB 呢？大家来试一试. 生我们通过操作可知：DA=DB. 师那由此可以得到什么样的结论呢？同学们讨论、归纳. 生从刚才操作的过程及得出的结论可以知道：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 师很好 . 这样我们得到了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 这个性质具有绝对性. 如：有一条线段AB ，如果直线MN是线段 AB的垂直平分线，那么如果给出一点O，无论 O点是否在直线上，还是在直线外，只要O点在 MN上，我们就可以得出结论：OA=OB. 你能说明理由吗？图 72 师生共析我们可以用三角形全等来说明它. 如图 72：直线 MN是线段AB 的中垂线，则可以知道：MN AB于 D， AD=DB. 所以可得 ADC= BDC=90 ，因为CD 是公共边，所以由“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”得：ADC BDC.从而由“全等三角形的对应边相等”得：CA=CB. 师好，下面我们通过练习来熟悉掌握角平分线的性质及线段垂直平分线的性质. . 课堂练习（一）课本P193随堂练习 1 1. 如图 73，在 RtABC中， BD是角平分线， DEAB ，垂足为E，DE与 DC相等吗？为什么？图 73 答： DE与 DC相等 . 理由是： 射线 BD是 ABC的平分线， 点 D到角两边 BA 、BC的距离分别是线段DE 、DC ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页所以： DE=DC （二）看课本P191193，然后小结 . . 课时小结这节课通过探索简单图形轴对称性的过程，了解了角的平分线、线段垂直平分线的有关性质 . 同学们应灵活应用这些性质来解决问题. . 课后作业（一）课本P193习题 7.2 1、2、3. （二） 1. 预习内容 P1941952. 预习提纲：（1）等腰三角形的轴对称性. （2）等腰三角形的有关性质. （3）等边三角形的轴对称性及其性质. . 活动与探究如图 74 所示：要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短. 图 74 过程让学生探索：在街道上找一点C，使得 AC+BC 为最小 . 通过学生活动，使他们懂得：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC 最小，这时作点A关于直线“街道”的对称点 A, 然后连接AB，交“街道”于点C，则点 C就是所求的点 . 结果如图75. 图 75 作点 A 关于 l （街道看成是一条直线）的轴对称点A，连接A B 与 l 交于 C 点 .奶站应建在C点处，才能使从A、B到它的距离之和最短. 板书设计7.2.1 简单的轴对称图形（一）一、角是轴对称图形. 二、角的平分线的性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 三、线段是轴对称图形线段的垂直平分线. 四、线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页第三课时课题7.2.2 简单的轴对称图形（二）教学目标（一）教学知识点1. 等腰三角形是轴对称图形. 2. 等腰三角形的性质. 3. 等边三角形的轴对称性及性质. （二）能力训练要求1. 经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念. 2. 探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质. （三）情感与价值观要求通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形和等边三角形的轴对称性及其有关性质，从而发展其空间观念. 教学重点等腰三角形的轴对称性及其有关性质. 教学难点等腰三角形的“三线合一”的性质. 教学方法探究归纳法教具准备投影片四张：第一张：想一想（记作投影片7.2.2 A ）第二张：做一做（记作投影片7.2.2 B ）第三张：性质（记作投影片7.2.2 C ）第四张：做一做（记作投影片7.2.2 D ）教学过程. 巧设现实情景，引入新课师上节课我们探讨了简单图形线段. 角的轴对称性，知道线段和角是轴对称图形 . 除线段和角外，我们还研究过三角形，那大家想一想：三角形是轴对称图形吗？生甲是 . 生乙不对，只有等腰三角形才是轴对称图形. 生丙也不对，不但是等腰三角形是轴对称图形，而且等边三角形也是. 生丁对，除等腰三角形、等边三角形外的任意三角形不是轴对称图形. 师很好 . 等腰三角形和等边三角形是特殊的三角形. 在小学已接触过，今天我们来系统地研究一下它们的性质. . 讲授新课师什么是等腰三角形、等边三角形呢？我们共同来回忆一下. 师生共析三角形的三边，有的各不相等，有的有两边相等，有的三条边都相等.三边都不相等的三角形叫做不等边三角形（scalence triangle） ；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形（isosceles triangle） ，三条边都相等的三角形叫做等边三角形（equilateral triangle. （如图 711）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页图 711 在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. 等边三角形是特殊的等腰三角形. 即底边和腰相等的等腰三角形. 师有了上述的概念后，同学们来想一想.（出示投影片7.2.2 A ）1. 等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴. 2. 顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？3. 底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？生甲 等腰三角形是轴对称图形. 它的对称轴是顶角的平分线所在的直线. 因为等腰三角形的两条腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便可知道：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线. 师接下来大家来剪一个等腰三角形，然后进行折叠，找出它的对称轴. 生乙我剪了一个等腰三角形，然后把这个三角形对折，使两条腰重合，这样顶角的平分线的两旁的部分就可以重合. 所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线 . 生丙我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明：底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴. 生丁我折叠等腰三角形时发现：底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴. 师你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察. 生齐声它们是同一条直线. 师很好 . 现在大家再来折一折. （出示投影片7.2.2 B ）沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的哪些特征？说说你的理由. 生甲我沿等腰三角形的顶角平分线对折后，发现它两旁的部分互相重合，则说明等腰三角形的两个底角相等，顶角的角平分线与底边上的中线重合. 生乙我也是沿等腰三角形的顶角的平分线对折，同样发现它两旁的部分互相重合.由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道：顶角的角平分线既是底边上的中线，也是底边上的高. 图 712 生丙也可以通过三角形全等来说明. 即沿等腰三角形的顶角的平分线对折后，两精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页旁的部分完全重合.则说明这两部分全等. 如图 7 12：ABC中， AB=AC ，如果 AD是 BAC的平分线，则BAD= CAD.又因为 AD是公共边，所以 ABD与 ACD 全等，因此： BD=DC ， B=C ， BDA= CDA=21BDC=90 . 师很好，大家看屏幕：（电脑演示等腰三角形的折叠过程，显示“三线合一”，底角相等）由此我们得到了等腰三角形的性质（师生共同总结，然后出示投影片7.2.2 C）等腰三角形是轴对称图形. 等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（也称“三线合一”） ，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴. 等腰三角形的两个底角相等. 师我们讨论了等腰三角形的性质，那等边三角形有哪些性质呢？大家来画一个等边三角形，然后剪下来，做一做（出示投影片7.2.2 D ）（1）等边三角形是轴对称图形吗？找出它的对称轴. （2）你能发现它的哪些特征？（学生操作，教师指导）生甲我通过折叠知道：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，即：每个角的角平分线所在的直线是它的对称轴，或每条边上的高或中线所在的直线也是它的对称轴. 生乙因为等边三角形是三边都相等的三角形，所以它是特殊的等腰三角形. 因此，它的每个角的角平分线与这个角的对边上的中线、高是重合的，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴. 这样等边三角形有三条对称轴. 生丙从折叠过程中可以发现：等边三角形的三个内角都相等. 由三角形的内角和性质可以得到：这三个内角都等于60. 师很好 . 我们来共同归纳一下等边三角形的性质. 师生共析等边三角形是轴对称图形. 等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高线重合（即“三线合一”） ，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴. 等边三角形共有三条对称轴. 等边三角形的各角都相等, 都等于 60师很好 . 下面我们通过练习来进一步熟悉掌握等腰三角形的性质和等边三角形的性质 . . 课堂练习（一）课本P195随堂练习1. 图 713 是由大小不同的正三角形组成的图案，请找出它的对称轴. 图 713 答案：有 3 条对称轴 . 2. 墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平. 他拿来一个如图714 所示的测平仪，在这个测平仪中，AB=AC ，BC边的中点D 处挂了一个重锤. 小明将 BC边与木条重精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页合，观察此时重锤是否通过A点 . 如果重锤过A点，那么这根木条就是水平的. 你能说明其中的道理吗？图 714 答案：根据等腰三角形“三线合一”的性质，等腰三角形ABC底边 BC上的中线DA应垂直于底边BC （即木条） . 如果重锤过点A，说明直线AD垂直于水平线，那么木条就是水平的 . 根据是平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 3. 如图 715，在下面的等腰三角形中，A是顶角，分别求出它们的底角的度数. 图 715 解： （1）底角的度数是： （180 60） 2=60（2）底角的度数是： （180 90） 2=45（3）底角的度数是： （180 120） 2=30（二）看课本P194195然后小结 . . 课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形和等边三角形的轴对称性. 由此我们得到了等腰三角形和等边三角形的性质. 等腰三角形是轴对称图形. 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合，即三线合一. 它们所在的直线是等腰三角形的对称轴. 等腰三角形的两底角相等. 等边三角形是特殊的等腰三角形，根据其特殊性，再由等腰三角形的性质及三角形的内角和性质，可以得出等边三角形的内角均为60大家应灵活应用这些性质. . 课后作业（一）课本P196习题 7.3 1、2、3、4. （二） 1. 预习内容： P1971982. 预习提纲轴对称的基本性质是什么？. 活动与探究精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页图 716 1. 如图 716，在 ABC中，过 C 作 BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DEAB交AC于 E. 求证： AE=CE 过程通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，平行线的性质. 图 717 结果证明：延长CD交 AB的延长线于P，如图 717. 在 ADP和 ADC中. ADCADPADAD21 ADP ADC P= ACD 又 DE AP ， 4= P 4= ACD DE=EC. 同理可证： AE=DE. AE=CE. 板书设计7.2.2 简单的轴对称图形（二）一、想一想二、等腰三角形的性质轴对称图形三线合一精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页两底角相等三、做一做等边三角形的性质四、课堂练习五、课时小结六、课后作业。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页